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江苏省扬州中学2013届高三下学期开学质量检测数学试卷


扬州中学 2013 届高三下学期开学质量检测

数学试卷
第 一 部 分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.已知集合 M ? ?a, 0? , N ? x 2 x ? 5 x ? 0, x ? Z , 如果M ? N ? ?, 则a等于
2

?

?

.

2.在复平面内,复数

3.向量 a ? (3,4), b ? ( x,2) , 若 a ? b ?| a | ,则实数 x 的值为

5i 的对应点位于第 2?i

象限. .

4.右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图.那么甲、乙两人得分的平均分 x甲

x乙 (填<,>,=)

5. 设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x) ? a x 在 R 上是减函数 ” ,是“函数 g ( x) ? (2 ? a) x3 在 R 上是 增函数”的 条件. 6.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出的 S 的值为
开始 输入 p

.

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

7. 连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)两次,则出现向上点数 之和大于 9 的概率是 . 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 。 * 9.数列 {an } 满足 a1 ? 2, 且对任意的 m, n ? N ,都有 an ? m ? an am ,则 {an } 的前 n 项和 Sn ? _____. 10. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ______.

π π 1 ) ,其中 x ? [? , a ] .若 f ( x) 的值域是 [ ? ,1] ,则 a 的取值范围是 6 6 2

·1·

11. 一个等差数列 { an } 中,

an 是一个与 n 无关的常数,则此常数的集合为 a2 n



? x ? 0, ? 12. 点 P ( x, y ) 在不等式组 ? x ? y ? 3, 表示的平面区域内,若点 P ( x, y ) 到直线 y ? kx ? 1 的最大距离 ? y ? x ?1 ?
为 2 2 ,则 k ? ___. 13. 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使 a 2 b2

得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是______.
14. 设 t ? R,若 x>0 时均有 (tx ? 1)[ x
2

? (t ? 1) x ? 1] ? 0 ,则 t=______________.

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已 知 ?ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 是

a , b , c ,

tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B , a ? 2, c ? 19 .
(Ⅰ)求 tan( A ? B) 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

16.在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? CC1 ? AB =2 , AB ? BC .点 M , N 分别是 CC1 , B1C 的中 点, G 是棱 AB 上的动点. (I)求证: B1C ? 平面 BNG ; (II)若 CG //平面 AB1 M ,试确定 G 点的位置,并给出证明;

17. 如图所示,有一块边长为 1km 的正方形区域 ABCD ,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射

·2·

角 ?PAQ 始终为

(1)试用表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长; (2)求探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 的最大值。 D Q C

? Q CD 弧度(其中点 P 、 分别在边 BC 、 上运动) ,设 ?PAB ? ? , tan ? ? t 。 4

A

? 4 ?

P B

18.已知数列 ?an? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? a (a ? 0) , an?1 ? rS n (n ? N , r ? R, r ? ?1) .
*

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 若存在 k ? N , 使得 S k ?1 ,S k ,S k ?2 成等差数列, 试判断: 对于任意的 m?N , m ? 2 ,am?1 , 且
* *

a m , am?2 是否成等差数列,并证明你的结论.

19. 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 3 6 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,一条准线方程为 x ? 2 a b 3 2

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设 G , H 为椭圆 C 上的两个动点, O 为坐标原点,且 OG ? OH . ①当直线 OG 的倾斜角为 60 时,求 ?GOH 的面积;
?

②是否存在以原点 O 为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线 GH 相切?若存在,请求出该定圆方 程;若不存在,请说明理由.

·3·

20.已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? 函数” ;若 y ?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“一阶比增 x

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”. x2

我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范围;
3 2

(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b

c

a?b?c
4

d

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k , 请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? ,?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存在,求出 M 的 最小值;若不存在,说明理由.

?

?

·4·

? 1 0? ?1 0 ? 2 21. 已知 M ? ? ?, N ? ? ? ,求曲线 2x ? 2xy ? 1 ? 0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 ?0 2? ??1 1?
的曲线方程.

22. 在极坐标系中,圆 C: ? ? 10cos ? 和直线 l : 3? cos ? ? 4? sin ? ? 30 ? 0 相交于 A、B 两点,求 线段 AB 的长.

23.今年雷锋日,某中学预备从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者,学生的名 额分配如下: (I)若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传,求他们中恰
·5·

高一年级 10 人

高二年级 6人

高三年级 4人

好有 1 人是高一年级学生的概率; (II)若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是 相互独立的) ,记安排到高一年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

24.对于数集 X ? {?1, x1, x2 , ?, xn } ,其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集

Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ?Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P. (I)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值;
(II)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数) ,求有穷数列 ?xn ? 的通项公式.

高三开学质量检测数学参考答卷
1. 1或2 2.二 3. x ? ?1 4. < 5.充分不必要

2012.12.22 7.

6. S ? 30

1 6 1 2

8.

? ? 3 1 1 1 ? 9. 2n?1 ? 2 10. [ , ] 11. {1 , 1 } 12. ?1 13. ( , ) ? ( ,1) 2 6 2 3 2 2 3

14.

15. (14 分)解: (I)解? tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B ? 3(1 ? tan Atan B)

? tan( A ? B) ?

tan A ? tan B ? 3 1 ? tan A tan B
·6·

???????5 分

(II)由(I)知 A ? B ? 60? ,? C ? 120?

????????7 分

? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
∴b ? 3 ∴ S ?ABC ? 16. (14 分)

∴ 19 ? 4 ? b 2 ? 2 ? 2 ? b? ?

? 1? ? ? 2?

????????10 分

1 1 3 3 3 absin C ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2

????????14 分

(I) 证明:∵在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? CC1 ,点 N 是 B1C 的中点, ∴ BN ? B1C ??????????1 分

AB ? BC , AB ? BB1 , BB1 ? BC ? B
∴ AB ⊥平面 B1 BCC1 ?????????3 分

B1C ? 平面 B1 BCC1
∴ B1C ? AB ,即 B1C ? GB ???????5 分 又 BN ? BG ? B ∴ B1C ? 平面 BNG ?????????????7 分

(II)当 G 是棱 AB 的中点时, CG //平面 AB1 M .???????????8 分 证明如下: 连结 AB1 ,取 AB1 的中点 H,连接 HG, HM , GC , 则 HG 为 中位线 ∴ GH ∥ BB1 , GH ?

?AB1 B 的

1 BB1 ???????10 分 2
∴ CC1 ∥ BB1 ,

∵ 由 已 知 条 件 , B1 BCC1 为 正 方 形

CC1 ? BB1

∵ M 为 CC1 的中点,∴ CM ?

1 CC1 2

??????12 分

∴ MC ∥ GH ,且 MC ? GH ∴四边形 HGCM 为平行四边形∴ GC ∥ HM 又 ∵ GC ? 平面AB1 M , HM ? 平面AB1 M ????????13 分 ????????14
·7·

∴ CG //平面 AB1 M

17. (15 分) (1)设 BP ? t , CP ? 1? t , 0 ? t ? 1 , ?DAQ ?
CQ ? 1 ?

?
4

? ? , DQ ? tan (

?
4

??) ?

1? t , 1? t

1? t 2t 。?????????????????????(2 分) ? 1? t 1? t

2t 1 ? t 2 2t 2 1 ? t 2 ? ? 1 为定值。 分) ∴ PQ ? CP2 ? CQ2 ? (1 ? t )2 ? ( , l ? CP ? CQ ? PQ ? 1 ? t ? (7 ) ? 1? t 1? t 1? t 1? t 1 2 (2) S ? S正方形 ABCD ? S?ABP ? S?ADQ ? 2 ? (1 ? t ? ) (0 ? t ? 1) 。??????(10 分) 2 1? t 2 又函数 y ? 1 ? t ? 在 [0 , 2 ? 1] 上是减函数,在 [ 2 ? 1 , 1] 上是增函数,????(12 分) 1? t 2 1 1 2 ∴ 2 2 ?1? t ? ? 3 ,∴ ? 2 ? (1 ? t ? ) ? 2 ? 2 。???????(14 分) 1? t 2 2 1? t
所以探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 的最大值为 2 ? 2 ( km2 ) 。????(15 分)

18 .( 15 分 ) 解 析 :( Ⅰ ) 由 已 知 an?1 ? rSn 可 得 an?2 ? rSn?1 , 两 式 相 减 可 得

an?2 ? an?1 ? r ? Sn?1 ? Sn ? ? ran?1 ,即 an?2 ? ? r ?1? an?1 ,又 a2 ? ra1 ? ra ,
所以当 r=0 时,数列 ?an ? 为 a,0,0??,0,??;当 r ? 0, r ? ?1 时,由已知 a ? 0 ,所以

an ? 0, ? n ? N 2 ? ,于是由 an?2 ? an?1 ? ran?1 ,可得
当 n ? 2 时, an ? r ? r ? 1?
n?2

an? 2 ? r ? 1 ,所以 a2 , a3 ,?, an ,? 成等比数列, an?1

a。

综上,数列 ?an ? 的通项公式为: an ? ?

n ?1 ? a, ? n?2 ?r ? r ? 1? a, n ? 2 ?

* (Ⅱ)对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 , am?1 , am , am? 2 是否成等差数列,证明如下:

当 r=0 时,由(Ⅰ) ,知 an ? ?

?a, n ? 1 , ?0, n ? 2

* 故对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 , am?1 , am , am? 2 7 成等差数列;

当 r ? 0, r ? ?1 时,? Sk ?2 ? Sk ? ak ?1 ? ak ?2 ,? Sk ?1 ? Sk ? ak ?1 。 若存在 k ? N ,使得 Sk ?1 , Sk , Sk ?2 成等差数列,则 Sk ?1 ? Sk ? 2 ? 2Sk ,
*

? 2Sk ? 2ak ?1 ? ak ?2 ? 2Sk ,即 ak ?2 ? ?2ak ?1 ,
由(Ⅰ) ,知 a2 , a3 ,?, an ,? 的公比 r ? 1 ? ?2 ,
* 于是对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 , am?1 ? ?2am ,从而 am? 2 ? 4am ,

·8·

? am?1 ? am?2 ? 2am ,即 am?1 , am , am?2 成等差数列。
综上,对于任意的 m ? N * ,且 m ? 2 , am?1 , am , am? 2 成等差数列。 19. 1)因为 (

c 6 a2 3 6 , , a 2 ? b 2 ? c 2 , ????????????2 分 ? ? a 3 c 2

解得 a ? 3, b ? 3 ,所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 . ??????????????4 分 9 3

? 2 9 ? y ? 3x ? x ? 10 ? 2 ? 2 (2)①由 ? x ,解得 ? ,?????????????????6 分 y ?1 ? ? ? y 2 ? 27 3 ?9 ? 10 ?

? 3 ? 2 9 x ?y ? ? ?x ? 2 ? ? 3 由? 得? , ?????????????????????8 分 2 2 3 2 x y ?y ? ? ? ?1 ? ?9 2 ? 3 ?
所以 OG ?

3 10 3 15 . ????????????10 分 , OH ? 6 ,所以 S ?GOH ? 5 5

②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为 R ,则 OG ? OH ? R ? GH
2 2 2 因为 OG ? OH ? GH ,故

1 1 1 ? ? 2, 2 2 OG OH R

当 OG 与 OH 的斜率均存在时,不妨设直线 OG 方程为: y ? kx ,

9 ? 2 ? y ? kx ? xG ? 1 ? 3k 2 9 ? 9k 2 ? ? 2 2 由 ? x2 ,得 ? ,所以 OG ? , ?????????12 分 y 1 ? 3k 2 9k 2 ? ?1 2 ?y ? ? 3 ?9 ? G 1 ? 3k 2 ?
同理可得 OH ?
2

9k 2 ? 9 1 2 (将 OG 中的 k 换成 ? 可得)?????????14 分 2 k 3? k

1 1 4 1 3 ? ? ? 2 ,R ? , 2 2 9 R 2 OG OH
当 OG 与 OH 的斜率有一个不存在时,可得
2 2 故满足条件的定圆方程为: x ? y ?

1 1 4 1 ? ? ? 2 , 2 2 9 R OG OH

9 .??????????????????16 分 4
·9·

20. (16 分)

解: (I)因为 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 , 即 g ( x) ?

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数,所以 h ? 0 x

??????2 分

而 h( x ) ?

f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h '( x ) ? 1 ? 2 2 x x x

当 h( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h( x ) 不是增函数时, h ? 0 综上,得 h ? 0 ????4 分

(Ⅱ) 因为 f ( x) ??1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c 所以

f (a ) f (a ? b ? c) 4 4a ? = ,所以 f ( a ) ? d ? , a a?b?c a?b?c a?b?c 4b 4c , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c

同理可证 f (b) ? d ?

三式相加得 f (a ) ? f (b) ? f (c ) ? 2d ? t ? 所以 2d ? t ? 4 ? 0 因为

4(a ? b ? c ) ? 4, a?b?c
??????6 分

d d b?a ? , 所以 d ( ) ? 0, a b ab

而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 所以 d (2d ? t ? 4) ? 0 ??????8 分

(Ⅲ) 因为集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k , 所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立 我们先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 ,

?

?

f ( x) 2 f ( x0 ) f ( x) ? m ? 0 因为 记 是二阶比增函数,即 x 是增函数. x0 2

所以当 x ? x0 时,

f ( x ) f ( x0 ) ? ? m ,所以 f ( x) ? mx 2 x2 x0 2

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k
·10·

这与 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立矛盾
f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立

??????11 分

所以 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,

下面我们证明 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 则因为 f ( x ) 是二阶增函数,即

f ( x) 是增函数 x2 f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾 一定存在 x3 ? x2 ? 0 , x32 x2 2

所以 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 综上,我们得到 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立

1 x f ( x) ?1 又有 2 ? 3 在 (0, ??) 上是增函数 ,所以 f ( x ) ? ? , x x 而任取常数 k ? 0 ,总可以找到一个 x0 ? 0 ,使得 x ? x0 时,有 f ( x ) ? k

又令 f ( x) ? ? ( x ? 0) ,则 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立,

所以 M 的最小值 为 0

??????16 分

21.【解析】本题考查矩阵的乘法,MN= ?
2

?1 0 ? ? 1 0 ? ? 1 0 ? ?? ?=? ? ,??????4 分 ?0 2? ? ?1 1 ? ? ?2 2 ?

设 P x?, y?) 是曲线 2 x ? 2 xy ? 1 ? 0 上任意一点,点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P? x, y) , ( (

x? ? 1 0? ? x '? ? ? ? ? y '? ? ? ?2 x? ? 2 y?? ? ? y ? ? ?2 2? ? ? ? y 于是 x? ? x , y ? ? x ? . ??????????????8 分 2
则有 ? ? ? ?

? x?

代入 2x? ? 2x?y? ? 1 ? 0 得 xy ? 1 ,
2

所以曲线 2 x ? 2 xy ? 1 ? 0 在 MN 对应的变换作用下
2

得到的曲线方程为 xy ? 1 . 22.

???????????10 分

·11·

1 2 23.解: (I)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ,则 P? A? ? C10 C10 ? 15 3 38 C20

答:若从选派的学生中任选 3 人进行文明交通宣传活动,他们中恰好有 1 人是高一年级学生的概率 为

15 . 38

?????????4 分

(II)解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为 所以
16 ?1? ? 2? P?? ? 0? ? C ? ? ? ? ? ; 3? ? 3? 81 ?
0 4 0 4

1 . 3

1? 1 ? P?? ? 1? ? C4 ? ? ? 3?

1

32 ; ? 2? ? ? ? 3? 81 ?
1

3

24 8 ; 8 2?1? ? 2? 3? 1? ? 2 ? P?? ? 2? ? C4 ? ? ? ? ? ? P?? ? 3? ? C4 ? ? ? ? ? ; 81 27 ? 3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 81

2

2

3

1 ?1? ? 2? P?? ? 4? ? C ? ? ? ? ? . 81 ? 3? ? 3?
4 4

4

0

随机变量 ? 的分布列为: 2 3 4

?
P

0

1

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81

16 32 24 8 1 4 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 81 81 81 81 81 3 1 1 解法 2: 随机变量 ? 服从参数为 4, 的二项分布,即 ? ~ B(4, ) . 3 3
所以 E? ? 0 ? 随机变量 ? 的分布列为:

?

0

1

2

3

4

·12·

16 32 8 8 81 81 27 81 1 4 所以 E? ? np ? 4 ? ? 3 3 24.(1)选取 a1 ? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) .
P
所以 x=2b,从而 x=4. (2)[解法一]猜测 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, n. 记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, ?, n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P.

1 81

……2 分 ……4 分 ``

任取 a1 ? (s, t ) , s 、? Ak .当 s 、中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak , t1 ? xk ?1 .由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 , s ? txk ?1 ? xk ?1 , s ? Ak 则 得 与 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P. 现用数学归纳法证明: xi ? q 当 n=2 时,结论显然成立; 假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, k; 当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} . 取 a1 ? ( xk ?1, q) ,并设 a2 ? (s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 , xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s=-1 或 t=-1. 即
i ?1

……6 分

,i=1, 2, ?, n.

q ? q 不可能; s 所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k .
若 t ? ?1 ,则 xn ?1 ? 综上所述, xi ? qi ?1 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, n. [解法二]设 a1 ? (s1, t1 ) , a2 ? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于
s1 t1

……10 分
t ? ? s22

.

记 B ? { s | s ? X , t ? X ,| s |?| t |},则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于 t 原点对称. 注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn }共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn xn?1

?

xn xn?2

???

xn x2

?

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

xn x n ?1
x n ?1 x n?2

?
?

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

xn x2
x n ?1 x1

?

xn x1

??
x2 x1

·13·

注意到

xn x1

?

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为

2 xk ? x1 ( x1 ) k ?1 ? q k ?1 ,k=1, 2, x

?, n.

·14·


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