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§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算


卧龙学案

数学(必修 5)

身心健康 厚德崇礼 志向高远 博学多才

第一章

空间向量与立体几何

§3.1.1-3.1.2 空间向量及其加减运算、数乘运算
班级:_____姓名:__________ 编号:_____

【预习·基础知识】
学习目标 1、掌握空间向量单位向量、相反向量的定义 2、用空间向量的运算意义及运算律解决问题 3、掌握空间向量的数乘运算 4、理解共线向量、共面向量的定理及推论 5、用数乘运算把未知向量用已知向量表示 自主预习(预习课本自主掌握以下概念和原理) 1、空间向量的有关概念 (1) 定义: 在空间, 把具有_____和_____的 量 叫做空间向量; (2)长度:向量的___叫做向量的长度或__ (3) 表示法: 几何表示法: ① 空间向量用_____ 表示②字母表示法:用字母表示,若向量 a 的起点 是 A,终点是 B,则向量 a 也可以记作_____,其模 记为_____或_____。 2、几类特殊向量 特殊向量 定义 零向量 长度为___的向量 单位向量 模为_____的向量 相反向量 与 a 向量长度___ 相等向量 而方向___的向量 方向___且模___
? ?0 ??0 ? ?0

方向_____ 方向_____

模的关系

? a 的模是
a 的模的
_____

? a =_____,其方向是任
意的

6、空间向量的数乘运算: (1)分配律: ? (a+b)=________ (2)结合律: ? ( ? a ) ? ______ 7、共线向量与直线的方向向量 (1)共向向量的概念:表示空间向量的有向线段 所在的直线 ______ 共线向量也叫 ______ (2)两向量共线(平行)的充要条件: 对于空间任意两个向量 a, b(b ? 0) , a ? b 的充要 则

表示法 0
?a

条件是存在实数 ? ,使 ______ (3)直线的方向向量:如果 l 为经过点 A 且平行于 已知非零向量 a 的直线,那么对于空间任一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,使

??? ??? ? ? OA ? OP ? ta ①,其中 a 叫做直线 l 的 ______
图像为 8、共面向量 (1)共面向量的定义:平行于 ______ 的向量 (2)三个向量共面的充要条件: 如果两个向量 a, b

3、空间向量的加法和减法运算 空间 向量 运算 加法 运算 加法 减法 (1)交换律:a+b=_____ (2)结合律:(a+b)+c=_____

______ ,那么向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件
是存在唯一的有序实数对 ( x, y ), 使 p ? ____

4、空间向量的数乘运算:实数 ? 与空间向量 a 的 乘积____,成为向量的数乘运算。 5、向量 a 与向量 ? a 的关系

? 的范围

方向关系

模的关系

【突破·核心知识】
1

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【典例训练】

典型例题(合作.探究.展示) 题型一:空间向量的概念问题 例 1.给出以下命题: (1)两个空间向量相等,则它们的起点相同, 终点也相同 (2)若空间向量 a, b 满足 a ? b , 则a =b; (3)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,有 (4)若空间向量 m, n, p 满足

已知平行六面体(底面是平行四边形的四棱 柱) ABCD ? A' B 'C ' D ' (如图) , 化简下列向量表达式,并标出化简结果的向 量:

???? ????? AC ? A1C1 成立

???? ???? ???? ???? ???? ? ? ⑴ AB ? BC ; ⑵ AB ? AD ? AA '; ????? ????? 1 ????? ? ? ? 1 ???? ???? ???? (3) AB ? AD ? CC ' ; ⑷ ( AB ? AD ? AA ' ). 2 3

m ? n , n ? p , 则m ? p
(5)空间中任意两个单位向量一定相等 其中正确命题的序号是 ______ ______

【典例训练】判断下列命题的真假 (1)四点 A, B, C , D 构成平行四边形 ABCD 的充 ??? ???? ? 要条件是 AB ? DC (2)若 a ? b , 且a,b 的方向相同或相反,则
a =b;
(3)任一向量与它的相反向量不相等 (4)若 AB与CD 是共线向量,则 A, B, C , D 四点 必在一条直线上 (5)共线的向量,若起点不同,则终点一定不同 题型二:空间向量的加减运算 例 2. 已知平行六面体 ABCD-A′ B′ C′ D′化简下列 向量表达式,标出化简结果的向量. ⑴ AB ? BC 题型三:空间向量的数乘运算 例 3.空间四边形 ABCD 中,

??? ??? ? ?

??? ? ??? ? AB ? a ? 2c, CD ? 5a ? 6b ? 8c, 对角线 AC、 的 BD

D
⑵ AB ? AD ? AA?

C B′ ′ C B

??? ? EF ? _________ 中点分别是 E、F,则
题型四:向量的共线、共面问题 例 4:已知

A′

′ D

? ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引

⑶ AB ? AD ?

1 CC ? 2

A

??? ? ??? ???? ? ??? ???? ???? ???? ? ? ???? OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC , OH ? kOD , 向量
求证:四点 E , F , G, H 共面;

O
⑷ ( AB ? AD ? AA?)

1 3

D

C

A
H

B
G

E
2

F

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【归纳 ? 知识方法】
【知识梳理】 【题型归纳】

【随堂 ? 自我测评】 ? ? ? ? a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y 的值 1、对于空间非零向量 AB, BC , AC 下列各式 一定不成立的是(
?


?

?

?

A、 AB + BC = AC C、 AB + BC = CA
? ? ?

B、 AB - AC = BC
?
?

?

?

?

?
?

?

D、 AB - AC = CB
?

2、 设有四边形 ABCD 中, 为空间任意一点, o 且 AO ? OB ? DO ? OC , 则四边形 ABCD 是 A、平行四边形 C、等腰梯形
?

B、空间四边形 D、矩形

6.已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满
? ?

3、
?

a

?

?

b

?

?

0

b ,且 a、 不共线时 a ? b 与

?

?

a ? b 的关系是( )
B、不共面 D、无法确定 ?? ?? ? e1 , e2 4、已知两个非零向量 不共线,如 ??? ?? ?? ???? ? ? ?? ?? ???? ? ?? ?? ? A B? 1 ? 2e AC ? 2e1 ? 8e2 AD ? 3e1 ? 3e2 e , , 求 证: A, B, C, D 共面. A、共面 C、共线

?

??? 1 ??? 2 ??? 2 ???? ? ? ? OP ? OA ? OB ? OC 5 5 5 足条件 , 试判断: P 点
与 A, B, C 是否一定共面?

5 已知 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , 【课后 ? 知能提升】
3

?

?

?

? ?

?

?

?

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???? ? ??? ?

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身心健康 厚德崇礼 志向高远 博学多才 A.有相同起点的向量 C.共面向量 B.等长的向

1.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式:

??? ???? ? ???? ? ①( A1D1 ? A1 A )- AB ; ② ( BC ? BB1 )- D1C1 ;

???

D.不共面向量

DD1 ,

????

③ ( A D? A1 B DD1 ; )+

? ? ??

???? ? ? ??

④ ( B1 D1? A1 A )-

? ? ? ??

? ? ??

5 、 向 量 a, b, c 两 两 夹 角 都 是 60? ,

? ? ?

? ? ? ? ? ? | a |? 1,| b |? 2,| c |? 3 , | a ? b ? c |? 则



其中运算结果为向量 B1 D1 的是( A、①② B、③④ C、②④

???? ?

) D、①③

6、 如图, 在空间四边形 ABCD 中, , F 分别是 AD E 与 BC 的中点, 求证: EF ?

??? ?

??? ? ? 2.在空间四边形 ABCD 中,设 AB ? a , ???? ? AD ? b ,M 点是 BD 的中点,则下列对

? 1 ??? ???? ( AB ? DC ) . 2

应关系正确的是(
???? 1 ? ? A. MA ? (a ? b) 2 ???? 1 ? ? ? C. MD ? (b ? a) 2

)
???? 1 ? ? ? B. MC ? (a ? b) 2 ???? 1 ? ? D. MB ? (b ? a) 2

??? ? ? 3.空间四边形 ABCD 中, AB ? a ,
??? ? ???? ? ? ??? ? BC ? b, AD ? c, 则 CD ? ( ? ? ? A. a ? b ? c ? ? ? C. a ? b ? c ? ? ? B. c ? a ? b ? ? ? D. b ? a ? c

7、已知 E , F , G, H 分别是空间四边形 ABCD 边

)

(1)用向量法证明: AB, BC , CD, DA 的中点,

E , F , G, H 四点共面;
(2)用向量法证明: BD // 平面 EFGH .

???? 4.在长方体 ABCD—A′B′C′D′中,向量 AB? 、 ???? ??? ? ? AD? 、 BD 是(

A

E
B

H
D G
C

) 【拓展 ? 数学空间】

F

向量概念的推广与应用(阅读课本第 99 页至第 101 页的阅读与思考)

N 维向量空间两点 AB 间的距离是什么?

4


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