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四川省绵阳市南山中学2016届高三上学期10月月考数学试卷【解析版】(文科)


2015-2016 学年四川省绵阳市南山中学高三(上)10 月月考数学 试卷(文科)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)21 世纪教育网版权所有 1.已知集合 M={1,2,3},N={2,3},则( ) A.M=N B.M∩N=? C.M?N D.N?M

2.设函数 A.0 B.1 C.2 D.

,则 f[f(2)]=(

)

3.若 cosα>0,则( ) A.tanαsinα≥0 B.sin2α≤0

C.sinα≤0

D.cos2α<0

4.下列说法正确的是( ) 2 A.命题“?x0∈R,x0 +x0+2013>0”的否定是“?x∈R,x2+x+2013<0” B.命题 p:函数 f(x)=x2﹣2x 仅有两个零点,则命题 p 是真命题 C.函数 在其定义域上是减函数

D.给定命题 p、q,若“p 且 q”是真命题,则?p 是假命题 5. B、 C 是△ ABC 的三内角, 5B, 2C 成等差数列, 已知 A、 且满足 2A, 则 tanB 的值为( A. B. C. D. )

6.已知点(a,b)与点(2,0)位于直线 2x+3y﹣1=0 的同侧,且 a>0,b>0,则 z=a+2b )21·世纪*教育网 的取值范围是( A. B. C. D.

7.如图右边是 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象,则下列函数图象正确的是(

)

1

A.

y=a|x|

B.

y=1+a|x| C.

y=logax D.

y=loga(1﹣x) 8.已知 A.a+b=0 B.a﹣b=0 ,若 C.a+b=2 D.a﹣b=2 ,则( )

9.某公司一年需分 x 批次购买某种货物,其总运费为

万元,一年的总存储费 )

用为 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则批次 x 等于( A.10 B.11 C.40 D.41

10.若三角形 ABC 所在平面内一点 M 满足条件 ( A. ) B. C. D.

,则 S△ MAC:S△ MAB 等于

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. =__________.

2

12.等比数列{an}的公比不为 1,若 a1=1,且对任意的 n∈N*,都有 an+1、an、an+2 成等差数 列,则{an}的前 5 项和 S5=__________.21 教育名师原创作品 13.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x) ,当 x∈(0,1]时,f(x)=x2﹣x,则 =__________.

14.将函数 变,再将所得图象沿 x 轴向左平移 区间是__________.

图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不 个单位得到函数 g(x)的图象,则 g(x)的单调递增

15.设函数 f(x)=lnx,有以下 4 个命题 21 世纪教育网 ①对任意的 x1、x2∈(0,+∞) ,有 f( )≤ ;

②对任意的 x1、x2∈(1,+∞) ,且 x1<x2,有 f(x1)﹣f(x2)<x2﹣x1; ③对任意的 x1、x2∈(e,+∞) ,且 x1<x2 有 x1f(x2)<x2f(x1) ; ④对任意的 0<x1<x2,总有 x0∈(x1,x2) ,使得 f(x0)≤ 其中正确的是__________(填写序号) . .

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 16.已知集合 A={x|(x﹣a) (x﹣a2﹣1)>0},B={x||x﹣3|≤1}. (Ⅰ)若 a=2,求 A∩B; (Ⅱ)若不等式 x2+1≥kx 恒成立时 k 的最小值为 a,求(?RA)∩B. 17.已知向量 在 x=π 时取得最小值. (Ⅰ)求 φ 的值; a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边, (Ⅱ) 在△ ABC 中, 若 求 b 的值. 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3,若数列{Sn+1}是公比为 4 的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=lg ,n∈N*,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最小值. , ,且函数

3

19.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,g(x)=xlnx. (1)若函数 f(x)<0 的解集为(1,3) ,且 f(x)的最小值为﹣1,求函数 f(x)的解析 式; (2)当 a=1,c=2 时,若函数 φ(x)=f(x)+g(x)有零点,求实数 b 的最大值. 20. (13 分)如图,DE 把边长为 2a 的等边△ ABC 分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 【来源:21cnj*y.co*m】 在 AC 上,设 AD=x(x≥a) ,DE=y, (1)试用 x 表示 y; (2)求 DE 的最小值.

21. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣1﹣alnx(其中 a 为参数) . (Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)若对任意 x>0 都有 f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)为曲线 y=f(x)上的两点,且 0<x1<x2,设直线 AB 的斜率为 k, ,当 k>f'(x0)时,证明 a<0.2-1-c-n-j-y

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2015-2016 学年四川省绵阳市南山中学高三 10 月月 (上) 考数学试卷(文科)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M={1,2,3},N={2,3},则( ) A.M=N B.M∩N=? C.M?N D.N?M 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题;集合思想;综合法;集合. 【分析】利用子集的定义,即可得出结论. 【解答】解:∵集合 M={1,2,3},N={2,3},21 世纪教育网 ∴N?M, 故选:D. 【点评】本题主要考查集合关系的应用,正确理解子集的含义是关键.

2.设函数 A.0 B.1 C.2 D.

,则 f[f(2)]=(

)

【考点】函数的值. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】直接利用分段函数求解函数值即可. 【解答】解:函数 ,则 f[f

(2)]=



故选:B. 【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 3.若 cosα>0,则( ) A.tanαsinα≥0 B.sin2α≤0

C.sinα≤0

D.cos2α<0

【考点】三角函数值的符号. 【专题】计算题;函数思想;三角函数的求值. 【分析】直接判断角所在象限,然后判断表达式的符号即可. 【解答】解:由 cosα>0 知 α 的终边在Ⅰ或Ⅳ象限,或 x 正半轴上,于是 , 故选:A. 【点评】本题考查角所在象限,三角函数的值的符号,是基础题.

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4.下列说法正确的是( ) 2 A.命题“?x0∈R,x0 +x0+2013>0”的否定是“?x∈R,x2+x+2013<0” B.命题 p:函数 f(x)=x2﹣2x 仅有两个零点,则命题 p 是真命题 C.函数 在其定义域上是减函数

D.给定命题 p、q,若“p 且 q”是真命题,则?p 是假命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;定义法;简易逻辑. 【分析】A.对存在命题的否定,应把存在一个改为对任意的,再把结论取反面; B.零点问题转换为函数的交点问题,通过图象可知,应有三个交点; C.中函数 的减区间为(﹣∞,0)和(0,+∞) ,但整个区间不是递减;

D.“p 且 q”是真命题,则 p 和 q 都是真命题; 【解答】解:A.对存在命题的否定,应把存在一个改为对任意的,再把结论取反面,应是 “?x∈R,x2+x+2013≤0”,故错误;www-2-1-cnjy-com B.做出 x2 和 2x 的图象可知,应有三个交点,故错误; C.中函数 的减区间为(﹣∞,0)和(0,+∞) ,但在其定义域上不是减函数,

故错误; D.“p 且 q”是真命题,则 p 为真命题,得?p 是假命题,故正确, 故选 D. 【点评】考查了存在命题的否定,函数零点的概念,单调区间的理解和且命题的概念.属于 基础题型,应牢记. 5. B、 C 是△ ABC 的三内角, 5B, 2C 成等差数列, 已知 A、 且满足 2A, 则 tanB 的值为( A. B. C. D. )

【考点】等差数列的通项公式. 【专题】方程思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的性质、三角形内角和定理,即可得出. 【解答】解:由已知得 2A+2C=10B, ∴A+C=5B=π﹣B, ∴ ∴ , ,

故选:B.[来源:21 世纪教育网] 【点评】本题考查了等差数列的性质、三角形内角和定理,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 6.已知点(a,b)与点(2,0)位于直线 2x+3y﹣1=0 的同侧,且 a>0,b>0,则 z=a+2b ) 21*cnjy*com 的取值范围是(

6

A.

B.

C.

D.

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】 作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即 可 【解答】解:由已知条件得 ,该区域是第一象限的不封闭区域,如图

由 z 的几何意义,知 z 过 A( ,0)时使 z 取最小值,此时 z= ,所以 z 的取值范围是 ; 故选:C.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 7.如图右边是 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象,则下列函数图象正确的是( )

A.

y=a|x|

B.

7

y=1+a|x| C.

y=logax D.

y=loga(1﹣x) 【考点】函数的图象. 【专题】作图题;数形结合;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】先由图象求出 a=3,再根据图象的变化即可判断答案. 【解答】解:由图可知 y=logax 过点(3,1) , ∴1=logax, ∴a=3 答案 A 应该是 y=3﹣|x|的图象,显然错误. 答案 B 应该是 y=3|x|的图象,也是错误的. 答案 C 应该是 y=log3(﹣x)的图象,是错误的, 答案 D 应该是 y=log3(1﹣x)的图象,是正确的, 故选 D. 【点评】本题考查了函数图象和识别,以及对数函数和指数的函数的变化,属于基础题.

8.已知 A.a+b=0 B.a﹣b=0

,若 C.a+b=2 D.a﹣b=2

,则(

)

【考点】函数奇偶性的性质;函数的值. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】化简函数的解析式,利用函数的奇偶性求解即可. 【解答】解: 所以 = ,则 f(x)﹣1 是奇函数,而 =2, ,

所以 a+b=2, 故选:C. 【点评】本题考查函数的解析式的应用,函数的奇偶性的应用,考查计算能力.

9.某公司一年需分 x 批次购买某种货物,其总运费为

万元,一年的总存储费 )

用为 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则批次 x 等于( A.10 B.11 C.40 D.41 【考点】函数模型的选择与应用.

8

【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】利用条件,求出函数的解析式,通过基本不等式求解 x 的值. 【解答】解:总运费与总存储费用之和, ,

于是

,当

,即 x=11 时取等号,

故选:B. 【点评】本题考查函数的解析式的求法,以及基本不等式的应用,考查计算能力.

10.若三角形 ABC 所在平面内一点 M 满足条件 ( A. ) B. C. D.

,则 S△ MAC:S△ MAB 等于

【考点】向量在几何中的应用. 【专题】计算题;数形结合;向量法;平面向量及应用. 【分析】可作图,作向量 ,从而 ,可设 B 到边 AC 的距离

为 d1,M 到 AC 的距离为 d2,d2 也等于 E 到 AC 的距离,这样便可得出

,而同理

可以得出

【版权所有:21 教育】 ,从而便可得出 S△ MAC:S△ MAB 的值.

【解答】解:如图,

,则



M 到 AC 的距离为 d2, d2 也是 E 到 AC 的距离, 令 B 到 AC 的距离为 d1, 则



同理







9





故选 A. 【点评】考查向量数乘的几何意义,向量加法的平行四边形法则,相似三角形的比例关系, 以及三角形的面积公式. 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. = .21 世纪教育网

【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】直接由对数的运算性质化简得答案. 【解答】解: = = = .

故答案为: . 【点评】本题考查了对数的运算性质,是基础题. 12.等比数列{an}的公比不为 1,若 a1=1,且对任意的 n∈N*,都有 an+1、an、an+2 成等差数 列,则{an}的前 5 项和 S5=11. 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【专题】方程思想;分析法;等差数列与等比数列. 【分析】运用等差数列的性质可得 2an=an+1+an+2,令 n=1 可得 a3+a2﹣2a1=0,设公比为 q, 由等比数列的通项公式,解方程可得 q,再由等比数列的求和公式,计算可得前 5 项和 S5. 【解答】解:对任意的 n∈N*,都有 an+1、an、an+2 成等差数列, 即有 2an=an+1+an+2, 令 n=1 可得 a3+a2﹣2a1=0,设公比为 q, 则 a1(q2+q﹣2)=0. 由 q2+q﹣2=0 解得 q=﹣2 或 q=1(舍去) , 则 S5= = =11.

故答案为:11. 【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项、性质以及求和公式的运用,考查运算能力, 属于基础题. 13. =2f 1]时, f =x2﹣x, 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x+1) (x) , 当 x∈ (0, (x) 则 ﹣2. 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】方程思想;转化法;函数的性质及应用.[21 世纪教育网

=

10

【分析】根据抽象函数关系进行转化求解即可. 【解答】解:由 f(x+1)=2f(x)得 f(x)=2f(x﹣1) , 则

. 故答案为:﹣2 【点评】本题主要考查函数值是计算,利用抽象函数关系进行递推是解决本题的关键.21 世纪教育网

14.将函数 变,再将所得图象沿 x 轴向左平移 区间是[kπ﹣ ,kπ+

图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不 个单位得到函数 g(x)的图象,则 g(x)的单调递增

],k∈Z.21 教育网

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)的解析式,再利用 正弦函数的图象的单调性得出结论. 【解答】解:将 得到 再将所得图象沿 x 轴向左平移 的图象.21*cnjy*com 令 2kπ﹣ ≤2x≤2kπ+ ,求得 kπ﹣ , 故答案为: . ≤x≤kπ+ ,可得它的增区间是 的图象, 个单位得到 g(x)=2sin[2(x+ )﹣ ]﹣1=2sin2x﹣1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,

【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的单调性, 属于基础题. 15.设函数 f(x)=lnx,有以下 4 个命题 ①对任意的 x1、x2∈(0,+∞) ,有 f( )≤ ;

②对任意的 x1、x2∈(1,+∞) ,且 x1<x2,有 f(x1)﹣f(x2)<x2﹣x1; ③对任意的 x1、x2∈(e,+∞) ,且 x1<x2 有 x1f(x2)<x2f(x1) ; ④对任意的 0<x1<x2,总有 x0∈(x1,x2) ,使得 f(x0)≤ .

11

其中正确的是②(填写序号) . 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用. 【分析】利用对数函数的单调性性质求解即可. 【解答】解:∵f(x)=lnx 是(0,+∞)上的增函数, ∴对于①由 f( )=ln ,

=ln









故 f(

)>



故①错误. 对于②,∵x1<x2 则有 f(x1)<f(x2) , 故由增函数的定义得 f(x1)﹣f(x2)<x2﹣x1 故②正确, 对于③由不等式的性质得 x1f(x1)<x2f(x2) ,故③错误; 对于④令 1=x1<x2=e2,x0=e 得,f(x0)> 故④错误. 故答案为②. 【点评】 本题考查对数函数的图象与性质的理解运用能力以及判断命题真假的方法, 如特例 法. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 16.已知集合 A={x|(x﹣a) (x﹣a2﹣1)>0},B={x||x﹣3|≤1}. (Ⅰ)若 a=2,求 A∩B; (Ⅱ)若不等式 x2+1≥kx 恒成立时 k 的最小值为 a,求(?RA)∩B. 【考点】交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;转化法;集合. 【分析】 (Ⅰ)若 a=2,求出集合 A,即可求 A∩B; (Ⅱ) 若不等式 x2+1≥kx 恒成立时 k 的最小值为 a, 根据一元二次不等式的性质即可求 (?RA) ∩B. 【解答】解: (Ⅰ)a=2 时,A={x|x<2 或 x>5},B={x|2≤x≤4},于是 A∩B=?.…6 2 (Ⅱ)由 x +1≥kx,得 x2﹣kx+1≥0,依题意△ =k2﹣4≤0, ∴﹣2≤k≤2,∴a=﹣2.…9 当 a=﹣2 时,A={x|x<﹣2 或 x>5}, ∴?RA={x|﹣2≤x≤5}, ∴(?RA)∩B={x|2≤x≤4}.…12 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. .

12

17.已知向量 在 x=π 时取得最小值. (Ⅰ)求 φ 的值; a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边, (Ⅱ) 在△ ABC 中, 若

,且函数



求 b 的值. 【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数. 【专题】综合题;转化思想;综合法;解三角形. 【分析】 (Ⅰ)利用向量的数量积公式,结合辅助角公式,求 φ 的值; (Ⅱ)先求出 sinA,sinB,再利用正弦定理,即可求 b 的值. 【解答】解: (Ⅰ) =sinxcosφ+cosxsinφ=sin(x+φ) .…3 由于 sin(π+φ)=﹣1,且 0<φ<π,∴ (Ⅱ)由上知 f(x)=cosx,于是 ∵ ,∴ .…6 ,∴ .…10 .…8

由正弦定理得:

…12

【点评】本题考查向量的数量积公式,辅助角公式,正弦定理,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3,若数列{Sn+1}是公比为 4 的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=lg ,n∈N*,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最小值.

【考点】数列的求和;等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)由于 a1=3,数列{Sn+1}是公比为 4 的等比数列.可得 Sn+1=4×4n﹣1,再利用当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出.21 世纪教育网 21cnjy.com (2)利用对数的运算性质可得 bn=lg =2n﹣7,由 bn≤0,解得 n 即可得出.

【解答】解: (1)∵a1=3,数列{Sn+1}是公比为 4 的等比数列. ∴Sn+1=4×4n﹣1, ∴ .

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1﹣(4n﹣1﹣1)=3×4n﹣1. 当 n=1 时,上式也成立.

13

∴an=3?4n﹣1. (2)bn=lg = , =﹣9. =2n﹣7,

由 bn≤0,解得

∴当 n=3 时,数列{bn}的前 n 项和 Tn 取得最小值 T3=

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列通项公式与前 n 项和的关系、对数的运算性 质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.21·cn·jy·com 19.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,g(x)=xlnx. (1)若函数 f(x)<0 的解集为(1,3) ,且 f(x)的最小值为﹣1,求函数 f(x)的解析 式; (2)当 a=1,c=2 时,若函数 φ(x)=f(x)+g(x)有零点,求实数 b 的最大值. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【专题】计算题;导数的综合应用.[21 世纪教育网] 【分析】 (1)由函数 f(x)<0 的解集为(1,3)可知,1,3 是方程 ax2+bx+c=0 的根,则 f(x)=a(x﹣1) (x﹣3) ,又由 f(x)的最小值为﹣1 可知 a>0 且在对称轴 x=2 上取得最 小值,从而解出;2·1·c·n·j·y (2)φ(x)=f(x)+g(x)=x2+bx+2+xlnx, (x>0) ,函数 φ(x)=f(x)+g(x)有零点 可化为方程 x2+bx+2+xlnx=0 有解,则 b=
【来源:21·世纪·教育·网】 大值即可. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)<0 的解集为(1,3) , 2 ∴1,3 是方程 ax +bx+c=0 的根, ∴f(x)=a(x﹣1) (x﹣3) , 又∵f(x)的最小值为﹣1, ∴f(2)=﹣a=﹣1, 解得,a=1, 则 f(x)=(x﹣1) (x﹣3)=x2﹣4x+3; (2)由题意, φ(x)=f(x)+g(x)=x2+bx+2+xlnx, (x>0) , 则函数 φ(x)=f(x)+g(x)有零点可化为 方程 x2+bx+2+xlnx=0 有解,

=﹣x﹣lnx﹣ ,求这个函数的最

则 b=

=﹣x﹣lnx﹣ ,

则 b′=﹣1﹣ +

=

=



则当 x∈(0,1)时,b′>0,b=﹣x﹣lnx﹣ 在(0,1)上是增函数,

14

当 x∈(1,+∞)时,b′<0,b=﹣x﹣lnx﹣ 在(1,+∞)上是减函数, 则 bmax=﹣x﹣lnx﹣ |x=1=﹣1﹣0﹣2=﹣3. 即实数 b 的最大值为﹣3.21 世纪教育网 【点评】 本题考查了导数的综合应用, 同时考查了二次函数的解法与二次函数的特征及方程 21 【出处: 教育名师】 与函数的转化,属于中档题. 20. (13 分)如图,DE 把边长为 2a 的等边△ ABC 分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E AC 在 上,设 AD=x(x≥a) ,DE=y, (1)试用 x 表示 y; (2)求 DE 的最小值.

【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的值域. 【专题】解三角形. 【分析】 (1)由面积公式及已知 DE 把边长为 2a 的等边△ ABC 分成面积相等的两部分,可 用 x 表示 AE,在△ ADE 中,由余弦定理得到用 x 表示 y; (2)根据上述表达式,使用基本不等式即可求得 y 的最小值. ∵△ABC 是边长为 2a 的等边三角形, ∴ 【解答】 解: (1) 又 ∴ = ,且已知 , ,解得 AE= . , ,

在△ ADE 中,由余弦定理得



(a≤x≤2a) .

(2)由基本不等式可得

=4a2,当且仅当 x=

时取等号.



=

,即当 x=

时,y 的最小值是



【点评】本题考查了三角形的面积、余弦定理及基本不等式,充分理解以上知识是解决此问 题的关键. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣1﹣alnx(其中 a 为参数) . (Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程;

15

(Ⅱ)若对任意 x>0 都有 f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)为曲线 y=f(x)上的两点,且 0<x1<x2,设直线 AB 的斜率为 k, ,当 k>f'(x0)时,证明 a<0.www.21-cn-jy.com

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】综合题;转化思想;构造法;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)求出 a=1 的函数的导数,求得切线的斜率和切点,即可得到所求切线的方程; (Ⅱ)由题意可得 f(x)min≥0.对 a 讨论,a≤0 时,a>0 时,通过导数判断单调性,即可 得到最小值,解不等式可得 a=1; (Ⅲ)运用两点的斜率公式和函数的导数,k>f'(x0)转化为 .令 求得导数判断单调性,即可得证. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=x﹣1﹣lnx, 导数为 . ,即有 ,

切点坐标(1,0) ,于是切线方程为 y=0; (Ⅱ)由题意知 f(x)min≥0. 当 a≤0 时,f(x)=x﹣1﹣alnx 在(0,+∞)是增函数,无最小值; 当 a>0 时,f(x)导数为 f′(x)=1﹣ ,可得 f(x)的减区间是(0,a) , 增区间是(a,+∞) ,于是 f(x)min=f(a)=a﹣1﹣alna. 令 g(x)=x﹣1﹣xlnx,则 g′(x)=﹣lnx, 因此 g(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)=0, 所以 f(x)min=f(a)=a﹣1﹣alna≥0 的解只有 a=1. 综上:a=1. (Ⅲ)证明: . k>f'(x0)等价于 ,







,则 t>1,上式即为



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,则



所以 h(t)<h(1)=0,故



又 0<x1<x2,所以 a<0. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值和最值,考查不等式恒成立 问题的解法和不等式的证明,注意运用构造函数,求出导数,通过单调性解决,属于难题.

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