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千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第17炼 函数的极值 Word版含解析


第 17 炼 函数的极值
一、基础知识: 1、函数极值的概念: (1)极大值:一般地,设函数 f ? x ? 在点 x0 及其附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点都有 就说 f ? x0 ? 是函数 f ? x ? 的一个极大值, 记作 y极大值 ? f ? x0 ? , 其中 x0 f ? x ? ? f ? x0 ? , 是极大值点 (2)极小值:一般地,设函数 f ? x ? 在点 x0 及其附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点都有 就说 f ? x0 ? 是函数 f ? x ? 的一个极小值, 记作 y极小值 ? f ? x0 ? , 其中 x0 f ? x ? ? f ? x0 ? , 是极小值点 极大值与极小值统称为极值 2、在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意 以下几点: (1)极值是一个局部概念:由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止 一个 (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用: (1)极值点为单调区间的分界点 (2)极值点是函数最值点的候选点

-1-

4、费马引理: f ? x ? 在 x ? x0 处可导,那么 x ? x0 为 f ? x ? 的一个极值点 ? f ' ? x0 ? ? 0 说明:①前提条件: f ? x ? 在 x ? x0 处可导 ②单向箭头:在可导的前提下,极值点 ? 导数 ? 0 ,但是导数 ? 0 不能推出 x ? x0 为

f ? x ? 的一个极值点,例如: y ? x3 在 ? 0, 0 ? 处导数值为 0,但 x ? 0 不是极值点
③费马引理告诉我们,判断极值点可以通过导数来进行,但是极值点的定义与导数无 关(例如: y ? x 在 ? 0, 0 ? 处不可导,但是 x ? 0 为函数的极小值点) 5、求极值点的步骤: (1)筛选: 令 f
'

? x ? ? 0 求出 f ' ? x ? 的零点(此时求出的点有可能是极值点)
'

(2)精选:判断函数通过 f 极值点,否则不是极值点

? x ? 的零点时,其单调性是否发生变化,若发生变化,则该点为

(3)定性: 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点:先增后减→极大值点,先减 后增→极小值点 6、在综合题分析一个函数时,可致力于求出函数的单调区间,当求出单调区间时,极值点作 为单调区间的分界点也自然体现出来,并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点,换 言之,求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。 7、对于在定义域中处处可导的函数,极值点是导函数的一些零点,所以涉及到极值点个数或 所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。 8、极值点与函数奇偶性的联系: (1)若 f ? x ? 为奇函数,则当 x ? x0 是 f ? x ? 的极大(极小)值点时, x ? ? x0 为 f ? x ? 的极 小(极大)值点 (2)若 f ? x ? 为偶函数,则当 x ? x0 是 f ? x ? 的极大(极小)值点时, x ? ? x0 为 f ? x ? 的极 大(极小)值点 二、典型例题: 例 1:求函数 f ( x) ? xe 解: f 令f
' '
?x

的极值.

? x? ? e? x ? xe? x ? ?1 ? x ? e? x
? f ? x ? 的单调区间为:
-2-

? x ? ? 0 解得: x ? 1

x
f ' ( x)

? ??,1?
?
?
1 ,无极小值 e

1

?1,+??
?
?

0
极大值

f ? x? ? f ? x ? 的极大值为 f ?1? ?

小炼有话说: (1)求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值,所以可考虑求函 数的单调区间,进而在表格中加入一列极值点,根据单调性即可进行判断 (2)在格式上有两点要求:第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来,第 二在求极值点时如果只有一个极大(或极小)值点,则需说明另一类极值点不存在 例 2:求函数 f ( x) ? ( x 2 ? 1) 3 ? 1 的极值。 解: f
'

? x ? ? 3 ? x 2 ? 1?

2

? 2 x ,令 f ' ? x ? ? 0 解得: x ? 0

? f ? x ? 的单调区间为:

x
f ' ( x)

? ??,0?
?
?

0

?0,+??
?
?

0
极小值

f ? x?

? f ? x ? 的极小值为 f ?0? ? 0 ,无极大值
小炼有话说:本题若使用 f
'

? x ? ? 0 解极值点,则 x ? ?1 也满足 f ' ? x ? ? 0 ,但由于函数通过

这两个点时单调性没有发生变化,故 x ? ?1 均不是极值点。对比两个方法可以体会到求极值 点归根结底还是要分析函数的单调区间 例 3:求函数 f ? x ? ? 思路:利用 f 解: f ' ? x ? ?
'
3

?x

2

? 4 ? 在 R 上的极值
2

? x ? 求出 f ? x ? 的单调区间,进而判断极值情况
4x
3 2

3 x ?4

=

4x 3 3 ? x ? 2?? x ? 2?

令f

'

? x ? ? 0 解得: x ? ? ?2,0? ? ?2, ???

? f ? x ? 的单调区间为:

x

? ??, ?2?

? ?2,0?
-3-

? 0,2 ?

?2,+??

f ' ( x)

?
?

?
?

?
?

?
?

f ? x?

? f ? x ? 的极小值为 f ? ?2? ? f ? 2? ? 0 ,极大值为 f ? 0? ? 3 16 ? 2 3 2
小炼有话说:在本题中如果仅令 f ' ? x ? ? 0 ,则仅能解得 x ? 0 这一个极值点,进而丢解。对 于 x ? ?2 与 x ? 2 , 实质上 f ? x ? 在这两点处没有导数, 所以在 f ' ? x ? ? 0 中才无法体现出来, 由此我们可以得到以下几点经验 (1)利用 f
'

? x ? ? 0 来筛选极值点的方法在有些特殊函数中会丢解,此类点往往是不存在导

2 函数的点。例如: y ? x ? 4 中的 x ? ?2, x ? 2 ,是极值点却不存在导数

(2)在寻找极值点时,若能求出 f ? x ? 的单调区间,则利用单调区间求极值点是可靠的 例 4:已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 2bx ,在点 x ? 1 处有极小值 ?1 ,试确定 a , b 的值,并求 出 f ( x) 的单调区间。 思路: f
'

? x ? ? 3x2 ? 6ax ? 2b ,由极值点 ?1, ?1? 条件可得: ? ?

? f ?1? ? ?1
' ? ? f ?1? ? 0

,两个条件可解出

a , b ,进而求出单调区间
解: f
'

? x ? ? 3x2 ? 6ax ? 2b

?在点 x ? 1 取得极小值 ?

7 2

1 ? a? f 1 ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? 3 a +2 b ? ? 1 ? ? ? 3 ?? ' ?? ?? ? 3 ? 6a ? 2 b ? 0 ? f ?1? ? 0 ?b ? ? 1 ? ? ? 2
1 ? f ' ? x ? ? 3x2 ? 2x ? 1 ? ?3x ? 1?? x ? 1? ,令 f ' ? x ? ? 0 ,解得 x ? ? 或 x ? 1 3

? f ? x ? 的单调区间为:

x
f ' ( x)

1? ? ? ??, ? ? 3? ?

? 1 ? ? ? ,1? ? 3 ?
?
?

?1,+??
?
?

?
?

f ? x?

-4-

小炼有话说:关注“在点 x ? 1 处有极小值 ?1 ” ,一句话表达了两个条件,作为极值点导数等 于零,作为曲线上的点,函数值为 1,进而一句话两用,得到关于 a , b 的两个方程。 例 5:若函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 时有极值 10 ,则 a ? b ? _________
2 ? ?a ? 4 ? f ?1? ? 1 ? a ? b ? a ? 10 思路: f ? x ? ? 3x ? 2ax ? b , 依题意可得:? , 可解得:? ' ?b ? ?11 ? ? f ?1? ? 3 ? 2a ? b ? 0

'

2

或?

?a ? ?3 ?a ? ?3 2 ' 2 ,但是当 ? 时, f ? x ? ? 3x ? 6 x ? 3 ? 3 ? x ? 1? 所以尽管 f ' ?1? ? 0 但 ?b ? 3 ?b ? 3

?a ? 4 x ? 1 不是极值点,所以舍去。经检验: ? 符合, a ? b ? ?7 ?b ? ?11
答案: a ? b ? ?7 小炼有话说:对于使用极值点条件求参数值时,求得结果一定要代回导函数进行检验,看导 数值为 0 的点是否是极值点 例 6: f ( x) ? x( x ? c) 2 在 x ? 1 处有极小值,则实数 c 为 思路: f
'

.

? x ? ? 3x2 ? 4cx ? c2 ,? x ? 1 为极小值点,? f ' ?1? ? 3 ? 4c ? c2 ? 0 ,解得:c ? 1

' 2 或 c ? 3 ,考虑代入结果进行检验: c ? 1 时, f ? x ? ? 3x ? 4 x ? 1 ? ?3x ? 1?? x ? 1? ,可得

1? ? ?1 ? f ? x ? 在 ? ??, ? ?1, ?? ? 单调递增,在 ? ,1? 单调递减。进而 x ? 1 为极小值点符合题意,而 3? ? ?3 ?
' 2 当 c ? 3 时, f ? x ? ? 3x ? 12 x ? 9 ? 3? x ? 1?? x ? 3? ,可得 f ? x ? 在 ? ??,1?? 3, ??? 单调递

增,在 ?1,3? 单调递减。进而 x ? 1 为极大值点,故不符合题意舍去 ? c ? 1 答案: c ? 1 小炼有话说:在已知极值点求参数范围时,考虑利用极值点导数值等于零的条件,但在解完 参数的值后要进行检验,主要检验两个地方:① 已知极值点是否仍为函数的极值点 ② 参数 的值能否保证极大值或极小值点满足题意。 例 7: (1)已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 3x ? 4 有两个极值点,则 a 的取值范围是___________
3 2

(2)已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 3x ? 4 存在极值点,则 a 的取值范围是_________
3 2

(1)思路: f

'

? x? ? 3x2 ? 2ax ? 3 ,若 f ? x ? 有两个极值点,则方程 3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 有两
-5-

2 个不等实根,从而只需 ? ? 0 ,即 ? ? 4a ? 36 ? 0 ? a ? ?3 或 a ? 3

答案: a ? ?3 或 a ? 3 (2)思路: f ? x ? 存在极值点即 f ' ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 有实数根, ? ? 0 ,但是当 ? ? 0
' 2 即 a ? ?3 时, f ? x ? ? 3x ? 6 x ? 3 ? 3 ? x ? 1? ? 0 , 不存在极值点, 所以方程依然要有两个 2

不等实数根, a 的范围为 a ? ?3 或 a ? 3 答案: a ? ?3 或 a ? 3 小炼有话说:本题有以下几个亮点 (1)在考虑存在极值点和极值点个数时,可通过导数转化成为方程的根的问题,使得解决方 法多样化,可与函数零点和两图象的交点找到关系 (2)方程 f
'

? x ? ? 0 根的个数并不一定等于极值点的个数,所以要判断函数在通过该点时单

调性是否发生了变化 (3)本题两问结果相同,是由导函数方程为二次方程,其 ? ? 0 时,其根不能作为极值点所 致。 例 8:设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x ,其中 b 为常数.若函数 f ( x ) 的有极值点,求 b 的取值
2

范围及 f ( x ) 的极值点;
'

思路: f 则f
'

? x ? ? 2 ? x ? 1? ?

b 2 x2 ? 2 x ? b ? ,定义域为 ? 0, ??? ,若函数 f ( x ) 的有极值点, x x

进而转化为二次方程根分布问题, 通过韦达定理刻画根的符号, ? x ? ? 0 有正根且无重根,

进而确定 b 的范围 解: (1) f
'

? x ? ? 2 ? x ? 1? ?

b 2 x2 ? 2 x ? b 2 ' ? ,令 f ? x ? ? 0 即 2x ? 2 x ? b ? 0 x x

? f ? x ? 有极值点 ? 2x 2 ? 2 x ? b ? 0 有正的实数根,设方程的根为 x1 , x2
? ? ? ? 4 ? 8b ? 0 1 ? ?0?b? ① 有两个极值点,即 x1 , x2 ? 0 ,? ? x1 ? x2 ? 1 2 ? b ? x1 x2 ? ? 0 ? 2
② 有一个极值点,即 x1 x2 =

b ?0?b?0 2
-6-

1? ? ?综上所述: b ? ? ??, ? 2? ?
(2)思路:利用第(1)问的结论根据极值点的个数进行分类讨论 方程 2x ? 2 x ? b ? 0 的两根为: x ?
2

2 ? 4 ? 8b ? 1 ? 1 ? 2b 2

① 当0 ? b ?

1 时, x1 ? 1 ? 1 ? 2b , x2 ? 1 ? 1 ? 2b 2

? f ? x ? 的单调区间为:

x
f ' ( x)

?0,1 ?
?

1 ? 2b

? ?1 ?

1 ? 2b ,1 ? 1 ? 2b

? ?1 ?

1 ? 2b , ??

?

?

?
?

?
?

f ? x?

? f ? x ? 的极大值点为 x ? 1 ? 1 ? 2b ,极小值点为 x ? 1 ? 1 ? 2b
② 当 b ? 0 时, x1 ? 1 ? 1 ? 2b ? 0, x2 ? 1 ? 1 ? 2b

? f ? x ? 的单调区间为:

x
f ' ( x)

?0,1 ?
?

1 ? 2b

?

?1 ?

1 ? 2b , ??

?

?

?
?

f ? x?

? f ? x ? 的极小值点为 x ? 1 ? 1 ? 2b ,无极大值点
综上所述: 当0 ? b ?

1 时, f ? x ? 的极大值点为 x ? 1 ? 1 ? 2b ,极小值点为 x ? 1 ? 1 ? 2b 2

当 b ? 0 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? 1 ? 1 ? 2b ,无极大值点 小炼有话说: (1)导函数含有参数时,其极值点的个数与参数的取值有关,一方面体现在参数的取值能否 保证导函数等于 0 时存在方程的解,另一方面体现在当方程的解与参数有关时,参数会影响 到解是否在定义域内。只有符合这两个条件的解才有可能成为极值点。这两点也是含参函数 中对参数分类讨论的入手点
-7-

(2)对于二次方程而言,可利用韦达定理或者实根分布来处理极值存在问题。韦达定理主要 应用于判定极值点的符号,而根分布的用途更为广泛,能够将实根分布区间与二次函数的判 别式,对称轴,端点值符号联系起来。在本题中由于只需要判定根是否为正,从而使用韦达 定理即可 例 9: 若函数 f ? x ? ? x ?
2

1 ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间 ? k ? 1, k ? 1? 内不是单调函数, 2

则实数 k 的取值范围_______________ 思路: f 数,所以
'

? x? ? 2x ?

1 1 ' ,令 f ? x ? ? 0 ? x ? .? 函数 f ? x ? 在 ? k ? 1, k ? 1? 内不是单调函 2x 2

1 ? ? k ? 1, k ? 1? ,又因为 ? k ? 1, k ? 1? 是定义域 ? 0,+?? 的子区间,所以 k ? 1 ? 0 , 2

?k ? 1 ? 0 3 ? ?1? k ? 综上可得: ? 1 2 k ?1 ? ? k ?1 ? ? 2
答案: ?1, ? 小炼有话说:本题虽然没有提到极值点,但是却体现了极值点的作用:连续函数单调区间的 分界点。所以在连续函数中, “不单调”意味着极值点位于所给区间内。 例 10:设 a ? R ,若函数 f ? x ? ? e ? 3x, x ? R 有大于零的极值点,则(
ax

? 3? ? 2?

) D. a ? ?3

A. a ? ? 思路: f
'

1 3

B. a ? ?

1 3

C. a ? ?3

? x ? ? aeax ? 3, f ' ? x ? ? 0 ? aeax ? 3 ? 0 ? x ?

1 ? 3? 1 ? 3? ln ? ? ? ,? ln ? ? ? ? 0 , a ? a? a ? a?

由此可得: ? 所以 0 ? ? 答案:C

3 1 ? 3? ? 0 ? a ? 0 ? ? 0 ,所解不等式化为: ln ? ? ? ? 0 ? ln1 a a ? a?

3 ? 1 ? a ? ?3 a

-8-


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