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千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第18炼 利用导数解函数的最值 Word版含解析


第 18 炼 函数的最值
一、基础知识: 1、函数的最大值与最小值: (1)设函数 f ? x ? 的定义域为 D ,若 ?x0 ? D ,使得对 ?x ? D ,均满足 f ? x ? ? f ? x0 ? ,那 么称 x ? x0 为函数 f ? x ? 的一个最大值点, f ? x0 ? 称为函数 f ? x ? 的最大值 (2)设函数 f ? x ? 的定义域为 D ,若 ?x0 ? D ,使得对 ?x ? D ,均满足 f ? x ? ? f ? x0 ? ,那 么称 x ? x0 为函数 f ? x ? 的一个最小值点, f ? x0 ? 称为函数 f ? x ? 的最小值 (3)最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点 (4)最值为函数值域的元素,即必须是某个自变量的函数值。例如: f ? x ? ? ln x, x ??1,4? , 由单调性可得 f ? x ? 有最小值 f ?1? ? 0 , 但由于 x 取不到 4, 所以尽管函数值无限接近于 ln 4 , 但就是达不到。 f ? x ? 没有最大值。 (5)一个函数其最大值(或最小值)至多有一个,而最大值点(或最小值点)的个数可以不 唯一,例如 f ? x ? ? sin x ,其最大值点为 x ? 2. “最值”与“极值”的区别和联系 右图为一个定义在闭区间 ?a, b? 上的函数 f ( x) 的图象. 图 中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小值, f ( x2 ) 是极大值.函数 f ( x) 在
y

?
2

? 2k? ? k ? Z ? ,有无穷多个。

?a, b? 上的最大值是 f (b) ,最小值是 f ( x3 )
(1) “最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出

a

x1

O

x2

x3

b

x

的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性. (2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一; ( 3 )函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也 可能没有一个 (4)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值, 有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值. 3、结论:一般地,在闭区间 ?a, b? 上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,那么函数

-1-

y ? f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值.
4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生,其余的点位于单调区间中,意味着在这些点的 周围既有比它大的,也有比它小的,故不会成为最值点 5、利用导数求函数的最值步骤: 一般地,求函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; (2)将 f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最 小的一个是最小值,得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值 6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性,所以说,函数的单调区间是求最值与极值 的基础 7、在比较的过程中也可简化步骤: (1)利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 (2)极小值点不会是最大值点,极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 (1)关系到函数的值域 (2)由最值可构造恒成立的不等式: 例如: f ? x ? ? ln x ? x ? 1 ,可通过导数求出 f ? x ?min ? f ?1? ? 0 ,由此可得到对于任意的

x ? 0 ,均有 f ? x ? ? f ? x ?min ? 0 ,即不等式 ln x ? x ? 1
二、典型例题: 例 1:求函数 f ? x ? ? xe 的最值
?x

思路:首先判定定义域为 R ,对函数进行求导,根据单调区间求出函数的最值 解: f
'

? x? ? ?1 ? x? e? x ,令 f ' ? x ? ? 0 ,解得: x ? 1

? f ? x ? 的单调区间为:

x
f ' ( x)

? ??,1?
?

?1, ???
?

-2-

f ? x?
? f ? x ? max ? f ?1? ? 1 ,无最小值 e

?

?

小炼有话说:函数 f ? x ? ? xe? x 先增再减,其最大值即为它的极大值点,我们可以将这种先增 再减,或者先减再增的函数成为“单峰函数” ,在单峰函数中,极值点即为函数的某个最值点。 例 2:已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? 2 , x ? 2 是 f ? x ? 的一个极值点,求: (1)实数 a 的值 (2)判断 f ? x ? 在区间 ? ?1,4? 上是否存在最大值和最小值 解: (1)

f ' ? x ? ? 3x2 ? 2ax

? x ? 2 是 f ? x ? 的一个极值点

? f ' ? 2? ? 12 ? 4a ? 0
? a ? ?3
(2)思路,由第(1)问可得 f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 2 ,进而求出单调区间得到最值 解: f ' ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 3x ? x ? 2? ,令 f ' ? x ? ? 0 ,解得: ?1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 4

? f ? x ? 的单调区间为:

x
f ' ( x)

? ?1,0?
?
?

? 0,2 ?
?
?

? 2,4 ?
?
?

f ? x?

计算 f ? ?1? ? ?2, f ?0? ? 2, f ? 2? ? ?2, f ? 4? ? 18

? f ? x ?max ? f ? 4? ? 18

f ? x ?min ? f ? 2? ? 2

小炼有话说:在本题中,最小值的求解尽管 x ? ?1 不在所给区间中,但也需要代入到 f ? x ? 中 计算, 此时计算出的是函数左边界的临界值, 如果 f ? ?1? ? f ? 2? , 则函数就不存在最小值了。 所以在求定义域为开区间的函数最值时,也要关注边界处的临界值。 例 3:已知函数 f ? x ? ? ax ? 6ax ? b ,是否存在实数 a , b ,使得 f ? x ? 在 ?1,2? 上取得最大值
3 2

-3-

4 ,最小值 ?29 ? 若存在,求出 a , b 的值,若不存在,请说明理由
思路:利用 f ' ? x ? 求出函数的单调区间,在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置,进 而根据最大最小值解出 a , b 解: f ' ? x ? ? 3ax2 ? 12ax ? 3ax ? x ? 4? , (1)当 a ? 0 时,? x ? ?1,2? ? x ? 4 ? 0, x ? 0 ? f ' ? x ? ? 0

? f ? x ? max ? f ?1? ? b ? 5a ? 4 ?a ? 3 ? ?? f ? x ? 在 ?1,2? 单调递减 ? ? ? ? f ? x ? min ? f ? 3? ? b ? 16a ? ?29 ?b ? 19
' (2)当 a ? 0 时,? x ? ?1,2? ? x ? 4 ? 0, x ? 0 ? f ? x ? ? 0

? ?a ? ?3 ? f ? x ? max ? f ? 3? ? b ? 16a ? 4 ?? f ? x ? 在 ?1,2? 单调递增 ? ? ? ? f ? x ? min ? f ?1? ? b ? 5a ? ?29 ?b ? ?44

?a ? 3 ?a ? ?3 或? ?? ?b ? 19 ?b ? ?44
小炼有话说:本题在求最值时由于函数带有参数,从而在解单调区间的过程中涉及到对参数 的分类讨论。从而确定最值的选取(有关含参数单调区间的计算详见 2.1)
3 2 例 4:求函数 f ? x ? ? 2 x ? 9 x ? 12 x ( x ? ? ?1,3? )的最值

思路一:考虑去掉绝对值得到一个分段函数,在利用导数求出每段的最值,再进行比较 解: f ? x ? ? x 2 x ? 9 x ? 12
2

?

?

? 2 x 2 ? 9 x ? 12 ? 0 恒成立

? x ? 2 x 2 ? 9 x ? 12 ? , x ? ?0,3? ? ? f ? x? ? ? 2 ? ? ? x ? 2 x ? 9 x ? 12 ? , x ? ? ?1,0 ?
当 x ? ?0,3? 时, f
'

? x? ? 2x2 ? 9x ? 12 ? 4x2 ? 9x ? 6 ? x ? 1?? x ? 2?

可得: f ? x ? 在 ? 0,1? , ? 2,3? 单调递增,在 ?1,2 ? 单调递减

? f ?0? ? 0, f ?1? ? 5, f ?3? ? 9, f ? 2? ? 4
? x ? ?0,3? 时, f ? x ?min ? 0, f ? x ?max ? 9
' 2 2 当 x ?? ?1,0? 时, f ? x ? ? ? 2 x ? 9 x ? 12 ? 4 x ? 9 x ? ?6 ? x ? 1?? x ? 2 ?

?

?

? f ? x ? 在 ? ?1,0? 单调递减,? f ? x ?max ? f ? ?1? ? ?23 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0
-4-

?可得函数 f ? x ? 的最值为 f ? x ?max ? f ? ?1? ? ?23 , f ? x ?min ? f ? 0? ? 0
思路二:考虑先求出绝对值里表达式的值域,然后在加上绝对值求出最值。 解:令 g ? x ? ? 2x3 ? 9x2 ? 12x

? g ' ? x ? ? 6 ? x ? 1?? x ? 2? , x ? ? ?1,3?

令 g ' ? x ? ? 0 ,解得: ?1 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3

? g ? x ? 的单调区间为:

x
f ' ( x)

? ?1,1?
?
?

?1,2?
?
?

? 2,3?
?
?

f ? x?

? g ? ?1? ? ?23, g ?1? ? 5, g ?2? ? 4, g ?3? ? 9 ? g ? x ? 的值域为 ? ?23,9? ? f ? x ? 的值域为 ?0,23?
f ? x? ? g ? x?

f ? x ?max ? ?23 , f ? x ?min ? 0

小炼有话说: (1)第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法,绝对值的函数中若绝对值内 部比较简单,则通常先通过讨论绝对值内部的符号,将函数转化成为分段函数进行分析,而 求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较 (2)第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时(例如绝对值为 0 的点不好确定) ,也 可考虑先求出内部的取值范围,再取绝对值进而得到值域。 例 5:已知函数 f ? x ? ?

ex 的定义域为 ? 0,+? ? ,求 f ? x ? 在 ?m, m ? 1? ? m ? 0? 上的最值 x
x

? x ? 1? e , x ? 1 是 ex ' 思路: f ? x ? ? 的单调区间可通过导数来确定, f ? x ? ? f ? x ? 的极值 x x2
点,而极值点是否在 ?m, m ? 1? 会影响最值点的选取,从而要依次进行分类讨论 解: f
'

? x? ?

? x ? 1? e x
x
2

,令 f

'

? x ? ? 0 解得 x ? 1
x ? 1 为 f ? x ? 的极小值点

? f ? x ? 在 ? 0,1? 单调递减,在 ?1,+?? 单调递增
(1)当 m ? 1 时, f ? x ? 在 ?m, m ? 1? 单调递增

-5-

? f ? x ? min ? f ? m ? ?

em em?1 , f ? x ? max ? f ? m ? 1? ? m m ?1

(2)当 0 ? m ? 1 时, m ? 1 ? 1 ? f ? x ? 在 ? m,1? 单调递减,在 ?1, m ? 1? 单调递增

? f ? x ?min ? f ?1? ? e
f ?m? ?

f ? x ? max ? max ? f ? m ? , f ? m ? 1??

em em?1 , f ? m ? 1? ? m m ?1

下面比较 f ? m? , f ? m ? 1? 的大小 若 f ? m ? ? f ? m ? 1? ?

em em?1 1 e ? ? ? m m ?1 m m ?1

? m ? 1 ? em ? m ?
?m ?

1 e ?1

1 em?1 时, f ? x ? max ? f ? m ? 1? ? e ?1 m ?1 1 em ? ? e ? 1? e e?1 时, f ? x ? max ? f ? m ? 1? ? f ? m ? ? e ?1 m 1 em 时, f ? x ? max ? f ? m ? ? e ?1 m

当m ?

当0 ? m ?

综上所述: m ? 1 时, f ? x ? min ? f ? m ? ?

em em?1 , f ? x ? max ? f ? m ? 1? ? m m ?1

1 em?1 ? m ? 1 时, f ? x ?min ? f ?1? ? e , f ? x ? max ? f ? m ? 1? ? e ?1 m ?1

m?

1 e?1 时, f ? x ?max ? f ? m ? 1? ? f ? m? ? ? e ? 1? e e ?1
1 em 时, f ? x ? max ? f ? m ? ? e ?1 m

0?m?

m (m ? R) 在区间 [1, e] 上取得最小值 4,则 m ? ___________. x 1 m 1 m 思路一: 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) , f ?( x) ? ? 2 .当 f ?( x) ? 0 时, ? 2 ? 0 , x x x x
例 6:已知函数 f ( x) ? ln x ? 当 m ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数,所以 f ( x)min ? f (1) ? ?m ? 4 , m ? ?4 ,矛盾舍 去;当 m ? 0 时,若 x ? (0, ?m) , f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数,若 x ? (?m, ??) , f ?( x) ? 0 ,
-6-

所以 f (?m) ? ln(?m) ? 1 为极小值, 也是最小值; ①当 ? m ? 1 , 即 ?1 ? m ? 0 f ( x) 为增函数, 时, f ( x ) 在 [1, e] 上单调递增,所以 f ( x)min ? f (1) ? ?m ? 4 ,所以 m ? ?4 (矛盾) ;②当

?m ? e , 即 m ? ?e 时 , f ( x) 在 [1, e] 上 单 调 递 减 , f ( x) min ? f (e) ? 1 ?
m ? ?3e . ③ 当 ?1 ? ? m ? e , 即 ?e ? m ? 1 时 , f ( x) 在 [1, e]
.综上 m ? ?3e . f (?m) ? ln(?m) ? 1 ? 4 ,此时 m ? ?e2 ? ?e (矛盾) 思路二: f
'

m ? 4 ,所以 e

上的最小值为

? x? ?

1 m x?m ? 2 ? ,令导数 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ?m ,考虑最小值点只有可能在 2 x x x

边界点与极值点处取得,因此可假设 x ? m, x ? 1, x ? e 分别为函数的最小值点,求出 m 后再 检验即可。 答案: ?3e 小炼有话说: (1)思路一为传统解法,即考虑函数是否有极值点,以及结合函数单调性分析 最小值点的位置,但由于函数 f ? x ? 含有参数,导致解单调区间和极值点时要进行分类讨论, 过程较为复杂 (2)思路二的想法源于最值点的出处,即最值点只会在边界点与极值点处产生,而本题中

f ? x ? 的边界点与可能的极值点个数较少,故采取先算再验的手段,方法比较简便。
例 7 : 已 知 函 数 f ? x ? ? ? x ln x ? ax 在 ? 0, e ? 上 是增 函 数 , 函 数 g ? x ? ? e ? a ?
x

a2 .当 2

3 x ??0,ln3? 时,函数 g ? x ? 的最大值 M 与最小值 m 的差为 ,则 a ? ________. 2
思路: g ? x ? 含有绝对值,故考虑利用分段函数去掉绝对值后寻找最值,先利用 f ? x ? 的条件 确定 a 的取值范围, f
'

? x ? ? a ? 1 ? ln x , 由 f ? x ? 在 ? 0, e ? 上 是 增 函 数 可 得 对 任 意 的

x ? ? 0, e? , f ' ? x ? ? a ? 1 ? ln x ? 0 恒成立 ?a ? ?1 ? ln x ?max ,而 1 ? ln x ? 1? lne ? 2 ,
?a ? 2 ,

g ? x? ? ex ? a ?

a2 x ,绝对值的分界点为 e ? a ? 0 ? x ? ln a ,由 a ? 2 及定义域 ?0,ln 3? 2

需对 ln a 是否在区间中进行分类讨论
x x (1)当 a ? 3 时,则 e ? a ? g ? x ? ? a ? e ?

a2 ,可判断出 g ? x ? 为减函数 2

-7-

? g ? x ? max ? g ? 0? ?

a2 ? a ?1 2

g ? x ? min ? g ? ln 3? ?

a2 ?a ?3 2

? g ? x ? max ? g ? x ? min ? 2 ?

5 ,故舍去 2

? a2 a ? ? e x ,0 ? x ? ln a ? ? 2 (2)当 2 ? a ? 3 时, g ? x ? ? ? 2 ?e x ? a ? a ,ln a ? x ? ln 3 ? ? 2

? x ??0,ln a? 时, e x ? a ? 0 ? g ? x ? ? a ?
? g ? x ? min ? g ? ln a ? ?
当 x ? ?ln a,ln3? 时

a2 ? e x 单调递减, 2

a2 a2 , g ? x ? max ? g ? 0? ? a ? ? 1 2 2

a2 a2 a2 g ? x? ? e ? a ? , g ? x ? max ? g ? ln 3? ? ?a ? ? 3 。 单 增 , ? g ? x ? min ? g ? ln a ? ? 2 2 2
x

? a ? 2 , 所 以 ?a ?

a2 a2 a2 a2 ? 3 ? a ? ? 1 。 所 以 M ? g ? 0? ? a ? ? 1, N ? ,从而有 2 2 2 2

M ? N ? a ?1 ?
答案:

5 3 ,解得 a ? 。 2 2

5 2

例 8:若函数 f ? x ? ? log a ? x ? ax ?
2

? ?

1? ? 有最小值,则实数 a 的取值范围是( 2?
2



A.

? 0,1?

B.

? 0,1? ? ?1,

?

C. 1, 2

?

?

D. ? 2, ??

?

?

思路:观察到真数部分为开口向上的抛物线,所以若 f ? x ? 取到最小值,则底数 a ? 1 且 真数

t ? x ? ? x 2 ? ax ?

1 1 2 取到最小值,而真数部分恒大于零,所以只需 t ? x ? ? x ? ax ? 有大于 2 2
2 2

a2 1 1 ? a ? a2 1 零的最小值即可。 t ? x ? ? x ? ax ? ? ? x ? ? ? ? ,从而 t ? x ?min ? ? ? ? 0 , 4 2 2 ? 2? 4 2
解得 a ? 答案:C 例 9:已知 f

2 ,另一方面 a ? 1 ,所以 a ? 1, 2

?

?

? x? ?

3 在 区 间 ?0 , 2 x ?3 x ? m ? 上 任 取 三 个 不 同 的 数 a, b, c , 均 存 在 以

-8-

f ? a ? , f ?b? , f ?c? 为边长的三角形,则 m 的取值范围是

.

思 路 : 考 虑 三 角 形 成 立 的 条 件 : 两 条 较 短 的 边 的 和 大 于 第 三 边 , 由 于 a, b, c 任 取 ,

f ? a ? , f ?b? , f ?c? 也 可取值 域中的 任意值 。 要保证 能构成 三角形, 满足两 个条件 :① f ? a ? , f ?b? , f ?c? 均大于零,即 f ? x ?min ? 0 ,② 极端情形短边均取最小值,和大于第三边
即可。 f ' ? x ? ? 3x2 ? 3 令 f ' ? x ? ? 0 结合定义域解得:1 ? x ? 2 ,故 f ? x ? 在 ? 0,1? 单调减, 在 ?1,2 ? 单调增。 f ? x ?min ? f ?1? ? m ? 2 , f ? x ?max ? f ? 2? ? m ? 2 ,

?2 ? m ? 2 ? ? m ? 2 ?? ?m?6 ?m ? 2 ? 0
答案: m ? 6
2 例 10:若函数 f ? x ? ? x3 ? 3x 在 a , 6 ? a 上有最小值,则实数 a 的取值范围是(

?

?

)

A. ? 5,1 思路: f
'

?

?

B. ? ? 5,1

?

?

C. ? ?2,1?

D. ? ?2,1?

? x ? ? 3x2 ? 3,令 f ' ? x? ? 0 ? x ? 1 或 x ? ?1 ,所以 f ? x ? 在 ? ??, ?1? , ?1, ??? 单

2 调递增,在 ? ?1,1? 单调递减,? x ? 1 为函数的极小值点。因为函数 f ? x ? 在 a , 6 ? a 上有 2 最小值,则函数 f ? x ? 的极小值点必在区间 a , 6 ? a

?

?

?

?

内,且左端点的函数值不小于 f ?1? ,

?a ? 1 2 ? a ? 1 ? 6 ? a ? ? ?? ? ? ? 5 ? a ? 5 ,?a ???2,1? ? ? f ? a ? ? f ?1? ?a ? ?2 ?
答案:C

-9-


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