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必修2-2.3直线、平面垂直的判定及其性质


主要内容 2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定 2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质

复习1

直线和平面的位置关系

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

观察 旗杆与地面的位置关系

大桥的桥柱与水面的位置关系 线面垂直

直线和平面垂直
思考1 旗杆与地面中的直线的位置关系如何?

思考2 将一本书打开直立在桌面上, 观察书脊(想象成一条直线)与桌
面的位置关系呈什么状态?此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关

系如何?

思考3
一条直线与一平面垂直的特征是什么? 特征:直线垂直于平面内的任意一条直线.
A

?

C? C
B?
B

直线和平面垂直
定义 如果直线 l 与平面?内的任意一条直线都垂直,我们说直线 l 与平
面? 互相垂直.
记为l ? ?

? 的垂线 平面
垂足

l

?
平面内任意一条直 线

P

直线 l 的垂面

思考4 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否
与这个平面垂直?

l

α

探究

如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:
A A
D

C
B
D

C

?

B

过?ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在 桌面上(BD,DC于桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面?垂直.

A

A
D

C
B
D

C

?

B

当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时,AD 所在直线与桌面所在平面 α垂直.

思考5 (1)有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面 ? 上的一条直线垂

直,就可以判断AD 垂直平面 ? ,你同意他的说法吗?
(2)如图,由折痕 AD ? BC ,翻折之后垂直关系不变 AD ? CD
AD ? BD 由此你能得到什么结论?
A
C
B
D

A
D

C

?

B

线面垂直的判定 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线

与此平面垂直.
? ? ? a ?? ?? l ?? ? b?? ? a?b ? A ?
l ?a l ?b

l

b

?

A

a

作用: 判定直线与平面垂直. 思想:直线与平面垂直 直线与直线垂直

例1. 如图,已知 a // b, ?a

? ? ,求证 b ? ? .
a
b
n

?

m

例2 已知:正方体中,AC是面对角线,BD'是与AC 异面的体对角线.
求证:AC⊥BD' 证明:连接BD,因为正方体ABCD-A'B'C'D' 所以DD' ⊥平面ABCD 又因为 AC ? 平面ABCD 所以 AC ? DD' 因为AC、BD 为对角线 因为DD'∩BD=D 所以AC⊥BD
A B D D′ C ′ B′

A′

C

所以AC⊥平面D'DB

所以AC⊥BD'

例3 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D 为PB的中点,求证:AD⊥PC.
P

D A B

C

探究 如图,直四棱柱 A? B?C ?D? ? ABCD (侧棱与底面垂直的棱柱称

为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么条件时,A? C ? B?D? ?
A? B?
A D B

D?

C?

C

答:底面四边形ABCD对角线相互垂直.

小结
直线与平面垂直的判定定理可简述为 “线线垂直,则线面垂直” 思想方法 通过直线间的垂直,推证直线与平面垂直,即将直线与平面的 垂直关系(空间问题)转化为直线间的垂直关系(平面问题).

C′ B′

P

A′
C B D A

α
A C

B

β

问题提出:

前面讨论了直线与平面垂直的问题,那么直线与平面不垂直时
情况怎么样呢?

线面角相关概念
平面的斜线
P

平面的垂线
l

斜足A

垂足B
B

α
斜线PA在平面内的射影

A

斜线PA与平面?所成的角为?PAB

1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角 (0,900 ) 2.平面的垂线与平面所成的角为直角
3. 一条直线与平面平行或在平面内,则这条直线与平面所成的角的00角 一条直线与平面所成的角的取值范围是 [0,900 ]

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)求直线A1B和平面ABCD所成的角;
A1

D1
B1 O

C1

(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

C D A B

例2 如图,AB为平面?的一条斜线,B为斜足,AO⊥平面?,垂足为O,
直线BC在平面?内,已知∠ABC=60°,?OBC=45°,求斜线AB和平

面α所成的角.

A

B D α

O C

思考1 如图,∠BAD为斜线AB与平面α所成的角,AC为平面α内的一条

直线,那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何?
解:作BO?AD于O,BE?AC于E, 则 BD<BE sin?BAD<sin?BAC
α A E B o C

D

∠BAD <∠BAC

思考2
两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何?反之成 立吗?一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何?

思考3 1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形? 2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形? 3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?

小结
1. 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量. 线面垂 直和线面平行是特殊情况.

2. 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角 .
3. 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影.

? 1.直线与平面垂直的判定
类型 文字语言 如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直 __________ ,就说直线l与平面α互 图形语言 符号语言

直线与
平面垂 直的定 义

l⊥ α _____

相垂直,l叫做平面α的
垂线

类型
线面 垂直 的判 定

文字语言
一条直线与平面内的 两条相交直线 都垂 ______________ 直,则该直线与此平 面垂直

图形语言

符号语言

a ?α ? ? ? b ?α ? a∩b=P??l⊥α ? l⊥a ? ? l⊥b ?

? 若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( ? A.平面OAB ? C.平面OBC B.平面OAC D.平面ABC

)

? 解析:由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC. ? 答案:C

? 2.直线与平面所成的角

定义 平面的一条斜线和它在平面上的
射影 所成的_____ _____ 锐角 ,叫做这条直线和

范围

画法
∠ PAO 就是 如图, _____ 斜线 AP 与平面 α 所成的角.

这个平面所成的角. 当直线与平面垂直时,它们所成的角 直角 ; 是_____ 当直线与平面平行或在平面
0° 的角 内时,它们所成的角是_____

[0° ,90° ]

? 如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角
等于________;AB1与平面ADD1A1所成的角等于________;AB1与平

面 DCC1D1所成的角等于________.

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.

1.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂
直.( )

2.若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直.(

)

3.若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的

直线.(

)

4.若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的

直线.(
答案:1.×

)
2.× 3.√ 4.×

?线面垂直的定义及判定定理的理解 ? 如图所示,直角△ABC所在的平面外一点S,SA=SB=SC,

点D为斜边AC的中点.则直线SD与平面ABC的位置关系为________.

由已知条件 由三角形全等 思路点拨: → 知SD⊥ AC 证SD⊥ BD → 判定定理证明

? 解析:∵SA=SC,点D为斜边AC的中点,
? ∴SD⊥AC. ? 连接BD,在Rt△ABC中,则AD=DC=BD, ? ∴△ADS≌△BDS. ? ∴SD⊥BD.又AC∩BD=D, ? ∴SD⊥平面ABC. ? 答案:垂直

? 【互动探究】 在本例中,若AB=BC,其他条件不变,则BD与平面 SAC的位置关系为________. ? 解析:∵AB=BC,点D为斜边AC的中点, ? ∴BD⊥AC. ? 又由例题知SD⊥平面ABC,∴SD⊥BD. ? ∵AC∩SD=D,即BD垂直于平面SAC内的两条相交直线, ? ∴BD⊥平面SAC. ? 答案:垂直

? 直线与平面垂直定义的“双向”作用
? (1)证明线面垂直. ? 若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,该直线与已知平面垂 直.即线线垂直?线面垂直. ? (2)证明线线垂直. ? 若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直. 即线面垂直?线线垂直.

? 1.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直

于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点,有以下四个命题:
? ①PA∥平面MOB;

? ②MO∥平面PAC;
? ③OC⊥平面PAC; ? ④平面PAC⊥平面PBC. ? 其中正确的命题是________ ? (填上所有正确命题的序号)

线面垂直判定定理的应用

? ?
?

如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M,N

分别是AB,PC的中点.

(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.

思路点拨:(1) 取 PD的中点E → 说明MN∥AE → 证CD⊥面 PAD → 得 MN⊥CD (2) 先证AE∥ MN → 证明AE⊥面PCD → 证 MN⊥面 PCD

证明:(1)如图所示,取 PD 的中点 E,连接 AE、NE, ∵ N 为 PC 的中点,E 为 PD 的中点, 1 ∴NE∥CD 且 NE= CD. 2 1 1 而 AM∥ CD,且 AM= AB= CD. 2 2 ∴NE∥AM 且 NE=AM. ∴四边形 AMNE 为平行四边形. ∴ MN∥AE.又 PA⊥平面 ABCD, ∴ PA⊥CD.又∵ABCD 为矩形,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

∴AD⊥CD.而AD∩PA=A, ∴CD⊥平面PAD. ∴CD⊥AE.又AE∥MN, ∴MN⊥CD. (2)由(1)可知CD⊥AE,MN∥AE. 又∠PDA=45°, ∴△PAD为等腰直角三角形. 又E为PD的中点, ∴AE⊥PD.∵CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN,∴MN⊥平面PCD.

? 证明线面垂直的方法 ? (1)线面垂直的定义. ? (2)线面垂直的判定定理. ? (3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一

条直线也垂直于这个平面.
? (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它 也垂直于另一个平面.

? 2.如图所示,在三棱柱ABC -A1B1C1中,侧棱AA1⊥
底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°

,D为BB1的中点.求证:AD⊥平面A1DC1.

证明:∵AA1⊥底面 ABC, 平面 A1B1C1∥平面 ABC, ∴AA1⊥平面 A1B1C1. ∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90° ,

∴A1C1⊥A1B1.而 A1B1∩AA1=A1, ∴A1C1⊥平面 AA1B1B.又 AD?平面 AA1B1B, ∴A1C1⊥AD. 由已知计算得 AD= 2,A1D= 2,AA1=2.
2 ∴AD2+A1D2= AA1 .

∴A1D⊥AD.∵ A1C1∩A1D=A1, ∴AD⊥平面 A1DC1.

?求直线与平面所成的角 ? 如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中

,E是棱DD1的中点.求直线BE与平面ABB1A1所成 的角的正弦值.

思路点拨: 取AA1的中点M → 证明EM⊥平面A1B1BA → 在△BEM中求角的正弦值

解:取 AA1 的中点 M,连接 EM,BM,
因为 E 是 DD1 的中点, 四边形 ADD1A1 为正方形, 所以 EM∥AD. 又在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, AD⊥平面 ABB1A1, 所以 EM⊥平面 ABB1A1.

从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影,∠EBM 即为直 线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角. 设正方体的棱长为 2,则 EM=AD=2,BE= 22+ 22+12=3, EM 2 于是在 Rt△ BEM 中,sin∠EBM= BE = , 3 2 即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3

? 求斜线与平面所成角的步骤 ? (1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作 平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足 的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.

? (2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
? (3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.

? 3.如图所示,三棱锥A SBC中,∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°

,SA=SB=SC.求直线AS与平面SBC所成的角.

? 1.异面直线垂直的证明策略. ? (1)作出异面直线所成的角,设法证明该角为直角.

? (2)转化为证明一条直线垂直于过另外一条直线的平面.
? 2.线线垂直和线面垂直的相互转化.

作业
P67练习1,2,3

地球赤道面
卫星轨道面

概念 直线上的一点将直线分割成两部分,每一部分都叫做射线. 平面 上的一条直线将平面分割成两部分,每一部分叫半平面.

射线

射线

半平面

半平面

概念 从一点出发的两条射线,构成平面角.
记作?AOB 同样,从一条直线出发的两个半平面所
?

A O B

组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二
面角的棱,这两个半平面叫做二面角的

m

?

面.
记为:二面角?-m-?

二面角的图示

二面角的记号 (1)以直线 l为棱,以 ? , ? 为半平面的二面角记为:? ? l ? ?
?
l

(2)以直线AB为棱,以 ? , ? 为半平面的二面角记为: ? ? AB ? ?
?
B

?

?

A

思考3 两个相交平面有几个二面角?

探究

如何用平面角来表示二面角的大小?
β
B l O A

二面角?-l-?

β

α

l O

A

α

二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱
的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角

注意:二面角的平面角必须满足: (1)角的顶点在棱上. (2)角的两边分别在两个面内. (3)角的边都要垂直于二面角的棱.

二面角的取值范围 00 ,1800 或[0,? ]

?

?

β

l

α

0度角

00~1800

180度角

例1.在正方体中,找出二面角C1-AB-C的平面角,并指出大小.
D1 B1 C1

A1

N M D C

A

B

端点

例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B1-AC-B的正切值.
C1 B1 A1 D1

C B

D A

例3 如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角为300,堤面上有一条

直道CD,它与堤角的水平线AB的夹角为450 ,沿这条直道从堤脚C向
上行走10m到达E处,此时人升高了多少m?
D

E
A O

C

F

B

小结二面角的平面角的作法:
1.定义法: 根据定义作出来. 2.作垂面: 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到. 3.应用三垂线定理: 应用三垂线定理或其逆定理作 出来.
?
A o

l
B

?

o
A
l

?
l

?
B A

?
?

o

l

B

平面与平面垂直的判定

定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说 这两个平面互相垂直. 记为???
β ? a A α b ?

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
β

a?? ?? ? ? a ? 面?
α

a A

线线垂直

线面垂直

面面垂直

例1 如图,⊙O在平面α内,AB是⊙O的直径, PA⊥α,C为圆
周上不同于A、B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. P

C A
O

B

例2 在四面体ABCD中,已知AC⊥BD,∠ BAC= ∠CAD=45°,
∠BAD=60°,求证:平面ABC⊥平面ACD.
D

C

B

A

例3 如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,
M为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面PCD.
P

F
D C

A

M

B

探究:

已知AB ? 面BCD, BC ? CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
A

AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD
B

D C

小结
1. 知识小结
1)二面角及其平面角

2)两个平面互相垂直
2. 思想方法 线线垂直 线面垂直 面面垂直

作业
P69练习 P73习题2.3 A,1,2,3,4.

? 1.二面角

? (1)二面角的定义.
? 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做________ 二面角 ,这条直线 叫做___________ 二面角的棱 .这两个半平面叫做___________ 二面角的面 ,如图(1),(2)中, 棱为l或AB,面为α、β.记作α -l -β(α -AB -β)或P -l -Q(P -AB -Q)(P ,Q分别为在α、β内且不在棱上的点).

? (2)二面角的平面角.
文字 语言 在二面角 α l -β 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半
垂直 于棱 l 的_____ 射线 OA 和 OB,则射线 平面 α 和 β 内分别作_____ ∠AOB 叫做二面角的平面角 OA 和 OB 构成的________

图形 语言 符号 α∩β=l,O∈l,OA?α,OB?β, _____ _____ OA ⊥l , OB ⊥l ?∠AOB 为 语言 二面角 α l -β 的平面角

(3)二面角大小的度量. 平面角 来度量,二面角的平面角是多少度, 二面角的大小可以用它的________ 就说这个二面角是多少度. 直二面角 . 平面角是直角的二面角叫做__________

? 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的 大小是________. ? 答案:45°

2.平面与平面相互垂直
直二面角 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是________ ,

就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.
(2)判定定理.

文字语言
另一个平面 一个平面过__________ 的垂线 ,则这两个平面 _______

图形语言

符号语言 l⊥ β ? ? ??α⊥β l ?α ? ?

垂直

? 在三棱锥P -ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图所示, 则在三棱锥P -ABC的四个面中,互相垂直的面有________对.

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. 1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有无数个.( )

2.异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二 面角相等或互补.( )
3.二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小 角.( ) 4.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.( )

? 答案:1.× 2.√

3.×

4.√

?二面角及其大小的计算问题
? ? ? ? 四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB. (1)求二面角A -PD -C平面角的度数; (2)求二面角B -PA -D平面角的度数; (3)求二面角B -PA -C平面角的度数.

思路点拨:(1) 证明面 PAD⊥面 PCD → 得二面角A PD C的大小 (2) 证明∠BAD为所求 → 得二面角B PA -D的大小 (3) 证明∠BAC为所求 → 得二面角B PA C的大小

解:(1)∵ PA⊥平面 ABCD, ∴ PA⊥CD.又四边形 ABCD 为正方形, ∴CD⊥AD.PA∩AD= A, ∴CD⊥平面 PAD.又 CD?平面 PCD, ∴平面 PAD⊥平面 PCD. ∴二面角 A PD C 平面角的度数为 90° .

(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B -PA -D的平面角.

又由题意∠BAD=90°,
∴二面角B -PA -D平面角的度数为90°.

(3)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B -PA -C的平面角.

又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°.
即二面角B -PA -C平面角的度数为45°.

? 解决二面角问题的策略

? 清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需
要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为:一作,即

先作出二面角的平面角;二证,即说明所作角是二面角的平面角;三
求,即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中

关键是“作”.

? 1.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分
SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC.

? 求二面角E - BD - C的大小.
? 解:∵E为SC中点,且SB=BC.

? ∴BE⊥SC.又DE⊥SC,BE∩DE=E,
? ∴SC⊥平面BDE.

? ∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD.又SC∩SA=S,

∴BD⊥平面 SAC.从而 BD⊥AC,BD⊥ DE. ∴∠EDC 为二面角 E BD C 的平面角. 设 SA= AB=1,△ABC 中 AB⊥BC, ∴SB=BC= 2,AC= 3. ∵BC⊥AB,BC⊥SA,∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥SB. ∴SC= SB2+ BC2=2.∴在 Rt△SAC 中,∠DCS=30° . ∴∠EDC=60° ,即二面角 E BD C 为 60° .

?平面与平面垂直的定义及应用

?

如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC

=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折 叠后BC=______.

? 面面垂直定义的两个作用

? (1)证明面面垂直.
? 首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角,然后证明 此平面角是直角. ? (2)证明线线垂直. ? 首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角,然后根据 面面垂直推出该直二面角的平面角是直角.

? 2.正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动 点P在棱锥表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长 为______________. 解析:如图,取SC的中点M,CD的中点N ,连接ME,EN,MN,连接AC,BD, 且交于点O,由题意可知SO⊥平面

ABCD,SO?平面SBD,由面面垂直的
判定知平面SBD⊥平面ABCD.

因为 M, N,E 均为中点,所以 MN∥SD, ME∥SB.又 MN∩EM = M,故平面 EMN∥平面 SBD,则有平面 EMN⊥平面 ABCD.因 为 AC⊥EN,所以 AC⊥平面 EMN.故 P 是△EMN 的边上除点 E 外 1 1 6 2 2 的任一点.易知 MN= ME= SD= SO + OD = ,EN= 2,故 2 2 2 轨迹的周长为 2+ 6.
答案: 2+ 6

?面面垂直的判定与证明 如图所示,已知∠BSC=90°, ∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC. 求证:平面ABC⊥平面SBC.
S B

A

C

证明:证法一: (利用定义证明) ∵∠BSA=∠CSA=60° , SA= SB= SC, ∴△ASB 和△ASC 是等边三角形. 则有 SA=SB=SC=AB=AC, 令其值为 a,则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三角形. 取 BC 的中点 D,如图所示, 连接 AD,SD,则 AD⊥BC,SD⊥ BC,

∴∠ADS 为二面角 A BC S 的平面角. 在 Rt△BSC 中,∵SB=SC=a, 2 BC 2 ∴SD= a,BD= = a. 2 2 2 2 在 Rt△ABD 中,AD= a, 2 在△ADS 中,∵SD +AD = SA , ∴∠ADS=90° ,即二面角 A -BC -S 为直二面角.故平面 ABC ⊥平面 SBC.
2 2 2

证法二: (利用判定定理) ∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60° , ∴SA=AB=AC. ∴点 A 在平面 SBC 上的射影为△SBC 的外心. ∵△SBC 为直角三角形, ∴点 A 在△SBC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点. ∴AD⊥平面 SBC. 又∵AD?平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 SBC.

? 【互动探究】 在本例中,若SA=SB=SC=2,其他条件不变,如何

求三棱锥S ABC的体积呢?

解:由法一或法二可得 SD⊥AD. 又∵SD⊥BC,AD∩BC=D,∴SD⊥平面 ABC,即 SD 的长就 是顶点 S 到底面 ABC 的距离. 在 Rt△SBC 中,BC= SB + SC =2 2,BD= 2. 又 AB=AC=2, 1 1 2 2 ∴S△ABC= BC· AD= ×2 2× 2 -? 2? =2. 2 2 1 1 2 2 故 VS SD= ×2× 2= . ABC= S△ ABC· 3 3 3
2 2

? 证明面面垂直的方法有两种 ? (1)根据定义:若∠ABE是二面角α - l - β的平面角,且∠ABE =90°,则α⊥β. ? 具体作法是,作出两面构成的二面角的平面角,计算其为90°.

? (2)利用面面垂直的判定定理.具体作法是在其中一个平面内寻
找与另一个平面垂直的直线.

? 3.如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,底面 △ABC为等边三角形,E是BB1的中点. ? 求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C. ? (注:侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱.) ? 证明:连接A1C交AC1于点O,连接EO、EA1、EC, ? 则A1O=OC,AO=OC1. ? 在直三棱柱ABC -A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,BB1⊥平面A1B1C1, AB?平面ABC,B1C1?平面A1B1C1,

∴BB1⊥AB,BB1⊥B1C1. ∵AB=B1C1,BE=EB1, ∴△ABE≌△C1B1E. ∴AE=EC1. 又 AO= OC1,∴EO⊥ AC1.同理 EO⊥A1C. 又 AC1∩A1C= O,∴EO⊥平面 AA1C1C. ∵EO?平面 AEC1,∴平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.

? 1.确定二面角的平面角的方法. ? (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内 分别过该点作垂直于棱的射线.如例3. ? (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的

两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的
平面角.

? 2.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂
直→面面垂直来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要

注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直
的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的.

? 3.下面的结论,有助于判断面面垂直:
? (1)m∥n,m⊥α,n?β?α⊥β; ? (2)m⊥α,n⊥β,m⊥n?α⊥β; ? (3)α∥β,γ⊥α?γ⊥β.

复习

a??

直线与平面垂直的定义是什么?
直线与平面垂直的判定定理是什么?

a α

思考1 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在 直线与底面ABCD的位置关系如何?它们彼此之间具有什么位置关系?
C1 B1 C B A1 D1

D A

思考2
如果直线a,b都垂直于同一条直线l,那么直线a,b的位置关系 如何?

l
a
相交

l
a b
平行

b

l
a
异面

b

思考3
如果直线a,b都垂直于平面α,那么a与b一定平行吗?

a

b

?

直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行

a

b

a ??? ? ? a // b b ???

?

直线与平面垂直
性质定理的证明 反证法证明:

a

b

b′
c

α

O

小结
直线与平面垂直的性质定理可简述为
“线面垂直,则线线垂直”

“线面垂直,则线线平行”
思想方法 线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行 的方法,也提供了作平行线的一种方法.

作业 P71练习1,2 P73习题2.3 A组,5,6. B组1,2

复习1 两个平面相互垂直 α 三个平面两两垂直

α β

β

l

γ

l

复习2

两个平面垂直的判定

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相 垂直.
β l α α β

a
A

1.黑板所在平面与地面所在平面垂直,在黑板上是否存在直线与

地面垂直?若存在,怎样画线?
α

β

2.如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,平面A1ADD1与平面ABCD垂
直,其交线为AD,直线A1A,D1D都在平面A1ADD1内,且都与交线

AD垂直,这两条直线与平面ABCD垂直吗?
C1 B1 C B D1

A1 D A

3. 设 ? ? ? , ? ? ? ? CD AB ? ? , AB ? CD
垂足为B,那么直线AB与平面?的位置关系如何?为什么?
β E D B C A

α

两个平面垂直的性质
性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与

另一个平面垂直.
β
a l α A

? ?? ? ? ? ? ? l? ? ? a ?? a?? ? ? a?l ?

面面垂直?线面垂直

若α⊥β,过平面α内一点A作平面β的垂线a,那么垂线a与平面α 具有

什么样的位置关系?
α A

反证法证明点B在两个平面的交线上

注意:过一点只能作一条直线垂
B B′
β

直于已知平面.

结论
如果两个平面互相垂直,那么经过一个平面内一点且垂直于另一个
平面的直线,必在这个平面内. α
A

B

β

例1.如图,已知α⊥β,a⊥β,a??,试判断直线l与平面α的位置关
系,并说明理由.
α b l β A a

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,AB=2, BC ? 2 , 侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD. (1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC;
P

(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
A B D

C

对于三个平面?、?、?,如果???,???,β??,???= l ,那么直线l与 平面? 的位置关系如何?为什么?

l α
b a ?

β

解答:在?内分别作平面的垂线a、b,则 a? l,b? l, a与b必相交.

所以l⊥?

小结
1. 知识小结

几个结论和性质的应用
2. 思想方法
面面垂直 线面垂直或线线垂直

文字语言 线面 垂直 的性 质定 理 符号语言

平行 垂直于同一个平面的两条直线_____

a ⊥ α? ? a∥ b ??_____ b ⊥ α? ?

图形语言

作用

①线面垂直?线线平行 ②作平行线

一个平面内 垂直于 文字 两个平面垂直,则____________ 交线 的直线与另一个平面_____ 垂直 语言 _____

面面 符号 垂直 语言 的性 质定 图形 理 语言

α⊥ β ? α∩β=l? ??a⊥β a ? α _____ ? a⊥ l ? _____

线面 垂直 ①面面垂直?_____ 作用 ②作面的垂线

? 1.直线n⊥平面α,n∥l,直线m?α,则l,m的位置关系是( ? A.相交 ? C.平行 B.异面 D.垂直

)

? 解析:由题意可知l⊥α,∴l⊥m. ? 答案:D

? 2.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则( ? A.α∥γ B.α⊥γ D.以上都有可能

)

? C.α与γ相交但不垂直

? 解析:可能平行,也可能相交.如图,α与δ平行,α与γ相交. ? 答案:D

? 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打

“×”.
? 1.已知两个平面垂直,那么一个平面内已知直线必垂直于另一个平

面内的任意一条直线.(

)

? 2.已知两个平面垂直,那么一个平面内的已知直线必垂直于另一个

平面的无数条直线.(

)

? 3.已知两个平面垂直,那么一个平面内的任一条直线必垂直 于另一个平面.( )

? 4.已知两个平面垂直,那么过一个平面内任意一点作交线的 垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.( )

? 答案:1.× 2.√ 3.×

4.×

?线面垂直的性质定理的应用 如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足 分别为A,B,a?α,a⊥AB. 求证:a∥l.

思路点拨: 证明l⊥面PAB → 证明a⊥面PAB → 证得a∥l

证明:∵PA⊥α,l?α,∴PA⊥l. 同理PB⊥l. ∵PA∩PB=P,∴l⊥平面PAB. ∵PA⊥α,a?α,∴PA⊥a. ∵a⊥AB,PA∩AB=A,∴a⊥平面PAB.∴a∥l

? 线面垂直的性质作用是可用来证明线线平行,同时反过来,若两平行

直线中一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面,从而证明
线面垂直,这也体现了平行与垂直的相互转化作用.

1.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别

是AB,A1C的中点. 求证:MN⊥平面A1DC.
证明:连接 AD1,与 A1D 交于点 O,连接 ON. ∵在△A1DC 中,A1O=OD, 1 1 A1N= NC,∴ON DC AB AM. 2 2 ∴四边形 AMNO 为平行四边形.∴MN∥ AD1. 又∵AD1⊥A1D,AD1⊥ DC,A1D∩DC=D, ∴AD1⊥平面 A1DC.∴ MN⊥平面 A1DC.

?利用面面垂直的性质定理证垂直问题 ? 如图,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是 ∠DAB=60°且边长为a的菱形.△PAD为正三角形,其所在平面垂直 于平面ABCD.若G为AD边的中点,求证:平面PBG⊥平面PAD.
思路点拨: 欲证平面 PBG⊥平面PAD ―→ 需证BG⊥平面PAD ―→ 因平面 PAD⊥平面ABCD,只需证BG⊥AD

证明:∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,

∴△ABD是正三角形.
∵G为AD边的中点, ∴BG⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD,
BG?平面ABCD, ∴BG⊥平面PAD.

∵BG?平面PBG, ∴平面PBG⊥平面PAD.

证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利 用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性 质定理.利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意 以下三点: (1)两个平面垂直; (2)直线必须在其中一个平面内;

(3)直线必须垂直于它们的交线.

2.如图所示,在三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面
PBC. 求证:BC⊥AC.

证明:在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D. ∵平面 PAC⊥平面 PBC,AD?平面 PAC,且 AD⊥PC,平 面 PAC∩平面 PBC=PC, ∴AD⊥平面 PBC. 又∵BC?平面 PBC,∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,∴PA⊥BC. ∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面 PAC. ∵AC?平面 PAC,∴BC⊥AC.

利用面面垂直的性质定理求二面角 在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,∠ABC=
90°,∠BCD=135°,沿AC将四边形折成直二面角B -AC -D. (1)求证:平面ABC⊥平面BCD. (2)求平面ABD与平面ACD所成的角的度数.

(1)证明:如图所示,其中图①是平面四边形,图②是折后 的立体图.

在四边形 ABCD 中,∵AB=BC,AB⊥BC. ∴∠ACB=45° .而∠BCD=∠ACB+∠ACD=135° , ∴∠ACD=90° , 即 CD⊥AC.又平面 ABC 与平面 ACD 的二 面角的平面角为直角,且平面 ABC∩平面 ACD=AC, ∴CD⊥平面 ABC.又 CD?平面 BCD, ∴平面 ABC⊥平面 BCD. (2)解:过点 B 作 BE⊥AC,E 为垂足,则 BE⊥平面 ACD. 又过点 E 在平面 ACD 内作 EF⊥AD,F 为垂足,连接 BF.

由已知可得 BF⊥AD,∴∠BFE 是二面角 B -AD -C 的平 面角. 1 2 ∵E 为 AC 的中点,∴AE= AC= a. 2 2 CD 3 3 又 sin ∠DAC= = ,EF= AE, AD 3 3 3 2 6 BE ∴EF= · a= a,tan ∠BFE= = 3. 3 2 6 EF ∴∠BFE=60° , 即平面 ABD 与平面 ACD 所成的角的度数为 60° .

? 当一个平面与二面角的一个面垂直时,常利用面面垂直的性 质作出二面角面的垂线,而作出平面角.

3.如图所示,平面ABC⊥平面ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD 是正三角形,则二面角C -BD -A的平面角的正切值为________.

解析:过 C 点作 CO⊥AB,垂足为 O, 作 OH⊥BD,垂足为 H,连接 CH. ∵平面 ABC⊥平面 ABD,交线为 AB, ∴CO⊥平面 ABD.∴ CO⊥BD. 又∵OH⊥BD, OH∩CO=O,

∴BD⊥平面 COH.∴BD⊥ CH. ∴∠CHO 为二面角 C BD A 的平面角. 2 设 CA=CB=a,则 AB= BD=AD= 2a,CO= a. 2 1 3 6 ∴OH= × × 2a= a. 2 2 4 2 a CO 2 2 3 ∴ tan ∠ CHO=OH= = . 3 6 a 2 3 4 答案: 3

1.平面与平面垂直的其他性质. (1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的 直线在第一个平面内. (2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平

面.
(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在

另一个平面内.

2.解决折叠问题的关键和解题步骤. (1)关键:认真分析折叠前后元素的位置变化情况,看看哪些元素的位置

变了,哪些没有变.
(2)解题步骤:①平面→空间:根据平面图形折出满足条件的空间图形.

想象出空间图形,完成平面图形与空间图形在认识上的转化.另外弄
清楚变与不变的元素以后,再立足于不变的元素的位置关系、数量关

系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系.
②空间→平面:为解决空间图形问题,要回到平面上来,重点分析元素

的变与不变.

作业
P73练习:1,2. P73习题2.3A组:7,8,9 P74习题2.3B组:3,4


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