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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件2.2.4平面与平面平行的性质_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.4 平面与平面平行的性质

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

? ? ? ? ? ?

●课标展示 1.理解并能证明两个平面平行的性质定理. 2.能利用性质定理解决有关的平行问题. ●温故知新 旧知再现 无公共点 1.线线、线面、面面平行的共同特征为 定义 __________ . 判定定理 反证法 ? 2.线面平行、面面平行的判定方法为: a∥b __________、__________、__________. ? 3.a∥α,a?β,α∩β=b?__________.

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4.如果直线a∥平面α,则( ) A.平面α内有且只有一条直线与a平行 B.平面α内有无数条直线与a平行 C.平面α内不存在与a垂直的直线 D.平面α内有且仅有一条与a垂直的直线 [答案] B 5.过正方体ABCD-A1B1C1D1中AD、D1C1的中 点M、N连线与面ACC1A1的位置关系为 ________. ? [答案] 平行

? 新知导学 ? 平面与平面平行的性质定理
文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 平行 那么它们的交线__________

图形 语言

符号语言 作用

a∥b α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?__________ 平行 证明两直线__________

? [破疑点] 平面与平面平行的性质:①如果两 个平面平行,那么它们没有公共点;②如果 两个平面平行,那么其中一个平面内的任意 一条直线平行于另一个平面(实质上是直线与 平面平行的判定定理.

[知识拓展]

空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

有关线面、面面平行的判定与性质,可按下面的口诀去记 忆:

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空间之中两直线,平行相交和异面. 线线平行同方向,等角定理进空间. 判断线和面平行,面中找条平行线. 已知线和面平行,过线作面找交线. 要证面和面平行,面中找出两交线. 线面平行若成立,面面平行不用看. 已知面与面平行,线面平行是必然. 若与两面都相交,则得两条平行线.

? ●自我检测 ? 1.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直 线m,n,则m,n的位置关系是( ) ? A.相交 B.异面 ? C.平行 D.平行或异面 ? [答案] C

? 2.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在 A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一 个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M 的轨迹是( ) ? A.平面 ? B.直线 ? C.线段,但只含1个端点 ? D.圆 ? [答案] C

? 3.如图所示,已知平面α∥平面β,A∈α, B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC.求证:AD=BC.

? [证明] ∵AD∥BC,∴AD与BC确定一个平面γ. ? ∵α∥β,α∩γ=AB,β∩γ=DC,∴AB∥DC. ? ∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC.

互动课堂

●典例探究
对面面平行性质的理解
(1)平面 α∥平面 β,直线 a?α,直线 b?β,下 面四种情形: ①a∥b;②a⊥b;③a 与 b 异面;④a 与 b 相交,其中可能 出现的情形有( A.1 种 C.3 种 ) B.2 种 D.4 种

? (2)给出四种说法: ? ①若平面α∥平面β,平面β∥平面γ,则平面 α∥平面γ; ? ②若平面α∥平面β,直线a与α相交,则a与β 相交; ? ③若平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,则PQ?α; ? ④若直线a∥平面β,直线b∥平面α,且α∥β, 则a∥b. ? 其中正确说法的序号是________.

? [分析] (1)两个平面平行的定义是什么?空 间中两条直线有哪几种位置关系? ? (2)平面与平面平行是否有传递性?一条直线 与两个平行平面的位置关系可能有哪些情况? 过直线外一点可以作几条直线与已知直线平 行?过平面外一点可能作几条直线与已知平 面平行?

? [解析] (1)因为平面α∥平面β,直线a?α,直 线b?β,所以直线a与直线b无公共点. ? 当直线a与直线b共面时,a∥b; ? 当直线a与直线b异面时,a与b所成的角大小 可以是90°. ? 综上知,①②③都有可能出现,共有3种情 形.

? (2)①正确.证明如下:如图,在 平面α内取两条相交直线a,b, 分别过a,b作平面φ,δ,使它们 分别与平面β交于两相交直线a′, b′,因为α∥β,所以a∥a′,b∥b′. 又因为β∥γ,同理在平面γ内存在 两相交直线a″,b″,使得a′∥a″, b′∥b″,所以a∥a″,b∥b″,所 ②正确.若直线a与平面β平行或直线a?β,则由平面α∥平 以α∥γ.
面β知a与α无公共点或a?α,这与直线a与α相交矛盾,所以a与β 相交.

? ③正确.如图,过直线PQ作平面γ,γ∩α=a, γ∩β=b,由α∥β得a∥b.因为PQ∥β,PQ?γ, 所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线平行,所以直线a与直线PQ 重合.因为a?α,所以PQ?α.

? ④错误.若直线a∥平面β,直线b∥平面α, 且α∥β,则a与b平行、相交和异面都有可

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规律总结:常用的面面平行的其他几个
性质 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一 条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相 等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知 平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对 应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那

?

? (2013~2014·杭州高二检测)已知直线a∥平 面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为 ________. ? [答案] a?β或a∥β ? [解析] 若a?β,则显然满足题目条件.若 a?β,过直线a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c, 于是由直线a∥平面α得a∥b,由α∥β得b∥c, 所以a∥c,又a?β,c?β,所以a∥β.

用平面与平面平行的性质定理证明线线平行
(1)如图,已知平面 α∥β,P?α 且 P?β, 过点 P 的直线 m 与 α, β 分别交于 A, C,过点 P 的直线 n 与 α,β 分别交于 B,D, 且 PA = 6, AC = 9, PD = 8 ,则 BD 的长为 ________.

(2)已知:如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,D1 分别 AD 为 AC,A1C1 上的点.若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求DC的值.

? [分析] (1)关于三角形一边的平行线有哪些 性质? ? (2)应用平面与平面平行的性质定理证题的关 键是什么?

[解析] (1)因为 AC∩BD=P, 所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. 因为 α∥β,α∩平面 PCD=AB,β∩平面 PCD=CD, PA PB 所以 AB∥CD,所以AC=BD, 6 8-BD 即9= BD . 24 所以 BD= 5 .

(2)如图,连接 A1B 交 AB1 于点 O,连接 OD1. 由棱柱的性质, 知四边形 A1ABB1 为平行四边形, 所以点 O 为 A1B 的中点. 因为平面 BC1D∥平面 AB1D1, 且平面 A1BC1∩平面 BDC1=BC1, 平面 A1BC1∩平面 AB1D1=D1O, 所以 BC1∥D1O, 所以 D1 为线段 A1C1 的中点, 1 所以 D1C1=2A1C1.

因为平面 BC1D∥平面 AB1D1, 且平面 AA1C1C∩平面 BDC1=DC1, 平面 AA1C1∩平面 AB1D1=AD1, 所以 AD1∥DC1.又因为 AD∥D1C1, 所以四边形 ADC1D1 是平行四边形, 1 1 所以 AD=C1D1=2A1C1=2AC, AD 所以DC=1. 24 [答案] (1) 5

?

规律总结:应用平面与平面平行性质定 理的基本步骤

已知三个平面 α、β、γ 满足 α∥β∥γ,直线 a 与这三个平 面依次交于点 A、B、C,直线 b 与这三个平面依次交于点 E、 AB EF F、G.求证:BC=FG.

[证明] 连接 AG 交 β 于 H,连 BH、 FH、AE、CG. ∵ β ∥ γ ,平面 ACG∩β = BH. 平面 ACG∩γ=CG, ∴BH∥CG.同理 AE∥HF, AB AH EF ∴BC=HG=FG.

? [点评] ①当a与b共面时,有AE∥BF∥CG.上 述证明过程也是正确的,只是此时B、H、F三 点共线. ? ②连接CE,可同理证明.(连接AF,连接EB, 连接CF,连接GB,并都延长后与第三个平面 相交.同理可证明.) ? ③当a与b异面时,可过A(或B、C)作b的平行 线或过E(或F、G)作a的平行线,再利用面面 平行的性质定理可证得结论.

? 以上思路都遵循同一个原则,即“化异为

线线平行、线面平行和面面平行的综合应用

如下图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、 P、Q 分别是 BC、C1D1、AD1、BD 的中点.

? (1)求证:PQ∥平面DCC1D1. ? (2)求证:EF∥平面BB1D1D. ? [分析] 审题导引流程图

? [证明] (1)证明:法一:如下图,连接AC、 CD1.

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∵P、Q分别是AD1、AC的中点, ∴PQ∥CD1. 又PQ?平面DCC1D1,CD1?平面DCC1D1, ∴PQ∥平面DCC1D1. 法二:取AD的中点G,连接PG、GQ, 则有PG∥DD1,GQ∥DC,且PG∩GQ=G, ∴平面PGQ∥平面DCC1D1. 又PQ?平面PGQ, ∴PQ∥平面DCC1D1.

(2)证明:法一:连接 B1D1,取 B1D1 的中点 O1, 1 连接 FO1,则有 FO1 綊2B1C1. 1 又 BE 綊2B1C1,∴BE 綊 FO1. ∴四边形 BEFO1 为平行四边形, ∴EF∥BO1, 又 EF?平面 BB1D1D,BO1?平面 BB1D1D, ∴EF∥平面 BB1D1D.

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法二:取B1C1的中点E1,连接EE1、FE1, 则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1. ∴平面EE1F∥平面BB1D1D. 又EF?平面EE1F,∴EF∥平面BB1D1D.

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规律总结: (1)证明线面平行的方法主 要有三种: ①应用线面平行的定义; ②应用线面平行的判定定理; ③应用面面平行的性质,即“两个平面平行 时,其中一个平面内的任意一条直线都平行 于另一个平面.” (2)应用平面与平面平行的性质证题的关键是 找到过直线和已知平面平行的平面并给予证 明,这时注意线线平行,线面平行和面面平 行之间的相互转化.本题法一使用线面平行

? 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是菱 形,M为OA的中点,N为BC的中点.证明: 直线MN∥平面OCD.

? [证明] 证明一:如图(1),取OB的中点G,连 接GN,GM. ? ∵M为OA的中点,∴MG∥AB. ? ∵AB∥CD,∴MG∥CD. ? ∵MG?平面OCD,CD?平面OCD, ? ∴MG∥平面OCD. ? 又∵G,N分别为OB,BC的中点,∴GN∥OC. ? ∵GN?平面OCD,OC?平面OCD, ? ∴GN∥平面OCD. ? 又∵MG?平面MNG,GN?平面MNG, MG∩GN=G,

证法二:如图(2),取 OD 的中点 P,连接 MP,CP. 1 ∵M 为 OA 的中点,∴MP 綊2AD. 1 ∵N 为 BC 的中点,∴CN 綊2AD, ∴MP 綊 CN,∴四边形 MNCP 为平行四边形, ∴MN∥PC. 又∵MN?平面 OCD,PC?平面 OCD, ∴MN∥平面 OCD.

●误区警示 易错点 对平面与平面平行的性质定理理解不正确,忽略

“第三个平面”这一条件 如图,α∥β,AB,CD 是夹在平面 α 和平面 β 间的两条线段, 则 AC 所在的直线与 BD 所在的直线平 行,这个说法正确吗?

? [错解] 这个说法正确.

? [错因分析] 忽略了AB,CD可能异面的情 况.当AB,CD异面时,AC与BD不平行. ? [思路分析] AB,CD共面时,AC∥BD;AB, CD异面时,AC∥β,但AC与BD不平行.同理 BD∥α,但BD与AC不平行. ? [正解] 这个说法错误.

如右图,已知平面 α∥β,直线 AB 分别交 α,β 于 A、B,直线 CD 交 α、β 于 C、D,M、N 分别在线段 AB、CD 上, AM CN 且MB=ND.求证:MN∥平面 β.

? [分析] 本题应分两种情况分别研究,当AB、 CD共面时,易得MN∥BD,可推出MN∥平面 β.当AB、CD异面时,可通过作辅助平面化异 为共,由“面面平行”推出“线线平行”.

[证明] (1)当 AB、CD 共面时,平面 ABDC∩α=AC,平 面 ABDC∩β=BD,又 α∥β,所以 AC∥BD.在平面 ABCD 内, AM CN ∵MB=ND.又 AC∥BD,∴AC∥MN∥BD,∵BD?β,MN?β, ∴MN∥β. 2)当 AB、 CD 异面时, 过点 A 作 AD′
∥CD 交 β 于 D′, 再在平面 ABD′内作 AE AM AM CN ME∥BD′,则 = ,又MB=ND. ED′ MB AE CN AE CN 所以 = , ∴ = , 连接 EN, ED′ ND AD′ CD 设 AD′、CD 确定平面 γ,

? 则γ∩α=AC,γ∩β=DD′,又α∥β,所以 AC∥DD′, ? ∴AD′DC为平行四边形,∴AD′=CD,∴AE= CN,即AENC为平行四边形,所以 AC∥EN∥D′D,因为ME∥BD′,BD′?β, ME?β,所以ME∥β,同理:EN∥β,所以平 面MEN∥平面β,所以MN∥β.

? [解法探究] 本例通过过点A作AD′∥CD,实 现化“异”为“共”(AB与AD′相交,AD′与CD 平行),借助AD′实现AB与CD的联系.同理还 可以过C作AB的平行线,过B作CD的平行线, 过D作AB的平行线,其效果是完全相同 的.还可以连接AD(或BC)实现化“异”为 “共”,过M作ME∥BD交AD于E(或过M作 ME∥AC交BC于E),连接EN,进行推证,这也 是常用的“化异为共”的方法.

随堂测评

? 1.若α∥β,a?α,b?β,下列几种说法中正 确的是( ) ? ①a∥b; ? ②a与β内无数条直线平行; ? ③a与β内的任何一条直线都不垂直; ? ④a∥β. ? A.①② B.②④ ? C.②③ D.①③④ ? [答案] B

? 2.已知长方体ABCD-A′B′C′D′中,平面α∩平 面AC=EF,平面α∩平面A′C′=E′F′,则EF与E′F′ 的位置关系是( ) ? A.平行 B.相交 ? C.异面 D.不确定 ? [答案] A

? ? ? ?

3.如果平面α平行于平面β,那么( ) A.平面α内任意直线都平行于平面β B.平面α内仅有两条相交直线平行于平面β C.平面α内任意直线都平行于平面β内的任意 直线 ? D.平面α内的直线与平面β内的直线不能垂 直 ? [答案] A ? [解析] 利用面面平行的定义知平面α内任意 直线与平面β无公共点.

? 4.已知平面α∥平面β,P?α,P?β,过点P的 两直线分别交α、β于A、B和C、D四点,A、 C∈α,B、D∈β,且PA=6,AB=2,BD=12, 则AC之长为( ) ? A.10或18 B.9 ? C.18或9 D.6 [解析 ? [答案 ]] 由 C PA=6,AB=2 知,P 点不可能在 α 与 β 之间,
PA AC PB BD ∴点 P 在两平行平面所夹空间外面,∴PB=BD或 PA =AC ,∴ AC=9 或 AC=18,∴选 C.

? 5.如图所示,平面四边形ABCD所在的平面 与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平 行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形 ABCD的形状一定是________.

? [答案] 平行四边形

? 6.如图,正方体ABCD- A′B′C′D′中,点E在 AB′上,点F在BD上,且 B′E=BF.求证:EF∥平面 BB′C′C.
如图所示. ∵AD∥BC, ∴△AFD∽△MFB. AF DF ∴MF= BF .

[证明] 证法一: 连接 AF 并延长交 BC 于点 M, 连接 B′M.

又∵BD=B′A,B′E=BF, AF AE ∴DF=AE,∴FM= , EB′ ∴EF∥B′M. 又 EF?平面 BB′C′C,B′M?平面 BB′C′C, ∴EF∥平面 BB′C′C.

证明二:作 FH∥AD 交 AB 于 H,连接 HE.如上图所示. ∵AD∥BC,∴FH∥BC. 又 FH?平面 BB′C′C,BC?平面 BB′C′C, ∴FH∥平面 BB′C′C. BF BH 由 FH∥AD,可得BD= BA ,

B′E BH 又 BF=B′E,BD=AB′,∴ = . B′A BA ∴EH∥B′B. 又 EH?平面 BB′C′C,B′B?平面 BB′C′C, ∴EH∥平面 BB′C′C.又 EH∩FH=H, ∴平面 FHE∥平面 BB′C′C. 又∵EF?平面 FHE,EF?平面 BB′C′C, ∴EF∥平面 BB′C′C.

课后强化作业
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