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2016-2017年《金版学案》数学·选修4-5(人教A版)练习:第一讲1.2-1.2.1绝对值三角不等式 Word版含解析

第一讲 1.2 1.2.1

不等式和绝对值不等 绝对值不等式 绝对值三角不等式

A级 一、选择题

基础巩固

1. 若|x-m|<ε, |y-m|<ε, 则下列不等式中一定成立的是( A.|x-y|<ε C.|x-y|>2ε B.|x-y|<2ε D.|x-y|>ε

)

解析:|x-y|=|x-m-(y-m)|≤|x-m|+|y-m|<2ε. 答案:B 2.如果 a,b 都是非零实数,则下列不等式中不成立的是( A.|a+b|>a-b C.|a+b|≤|a|+|b| B.2 ab≤|a+b|(ab>0)
?b a? D.?a+b?≥2 ? ?

)

解析:令 a=1,b=-1,则 A 不成立. 答案:A 3.已知 h>0,a,b∈R,命题甲:|a-b|<2h;命题乙:|a-1| <h,且|b-1|<h,则甲是乙的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:显然 a 与 b 的距离可以很近,满足|a-b|<2h,但此时 a,

b 与 1 的距离也可以最大,因此甲不能推出乙;若|a-1|<h,|b-1| <h,则|a-b|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|b-1|<2h,乙可以推出甲. 因此甲是乙的必要不充分条件. 答案:B 4.函数 y=|x-4|+|x-6|的最小值为( A.2 C.4 B. 2 D.6 )

解析:y=|x-4|+|x-6|≥|x-4-(x-6)|=2. 故最小值为 2. 答案:A 5.若|a-c|<b,则下列不等式不成立的是( A.|a|<|b|+|c| C.b>||c|-|a|| B.|c|<|a|+|b| D.b<|a|-|c| )

解析:由|a-c|<b 知 b>0,所以 b=|b|. 因为|a|-|c|≤|a-c|, 所以|a|-|c|<b,即|a|<b+|c|=|b|+|c|,故 A 成立. 同理由|c|-|a|≤|a-c|,得|c|-|a|<b. 所以|c|<|a|+b=|a|+|b|,故 B 成立. 而由 A 成立得|c|-|a|>-|b|, 由 B 成立得|c|-|a|<|b|,所以-|b|<|c|-|a|<|b|, 即||c|-|a||<|b|=b,故 C 成立.

故由 A 成立知 D 不成立. 答案:D 二、填空题 6.若不等式|x-4|+|x-3|>a 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1, 得(|x-4|+|x-3|)min=1, 故 a 的取值范围是(-∞,1). 答案:(-∞,1) 7.若不等式|x-4|-|x-3|≤a 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的 取值范围是________. 解析:设 f(x)=|x-4|+|x-3|,则 f(x)≤a 对一切 x∈R 恒成立的 充要条件是 a≥f(x)的最大值. 因为|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1, 即 f(x)max=1,所以 a≥1. 答案:[1,+∞) 8.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,|x-2y+1|的最大值 是________. 解析:|x-2y+1|=|x-1-2(y-2)-2|≤|x-1|+2|y-2|+|-2|≤ 1+2+2=5. 答案:5 三、解答题

? 1? 9.(2014· 课标全国Ⅱ卷)设函数 f(x)=?x+a?+|x-a|(a>0),证 ? ?

明:f(x)≥2. 证明:由 a>0,有
? ? ? 1 1? 1 f(x)=?x+a?+|x-a|≥?x+a-(x-a)?= +a≥2. ? ? ? ? a

所以 f(x)≥2. 10.求函数 f(x)=|x-5|-|x+3|的最大值,并求出取最大值时 x 的范围. 解:f(x)=|x-5|-|x+3|≤|(x-5)-(x+3)|=8, 当且仅当(x-5)(x+3)≤0,即-3≤x≤5 时等号成立, 所以当-3≤x≤5 时,f(x)=|x-5|-|x+3|取得最大值为 8. B级 能力提升

1.设集合 {x|x- 3|- |x- 4|>m}≠ ? ,则实数 m 的取值范围为 ( ) A.m>1 C.m<1 B.m≥1 D.m≤1

解析: |x-3|- |x-4|≤|x- 3- (x-4)|=1.集合非空即|x-3|- |x -4|>m 有解,所以 m<1. 答案:C 2.以下三个命题: (1)若|a-b|<1,则|a|<|b|+1; (2)若 a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;

?x? 2 (3)若|x|<2,|y|>3,则?y ?< . ? ? 3

其中正确的有________个. 解析: (1)因为|a|-|b|≤|a-b|<1, 所以|a|<|b|+1, 所以(1)正确. (2) 因为|a+b|-2|a|≤|a+b-2a|=|b-a|=|a-b|,所以(2)正确.(3)因为
?x? 2 |x|<2,|y|>3,所以?y?< ,所以(3)正确. ? ? 3

答案:3 3.x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,求 x+y 的取值范围. 解:因为|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1, 当且仅当 0≤x≤1 时取等号, |y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,当且仅当 0≤y≤1 时取等号, 所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2.① 又因为|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,② 所以只有当 0≤x≤1,0≤y≤1 时,①②两式同时成立. 所以 0≤x+y≤2.


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