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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件2.3.1直线与平面垂直的判定_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

? ●课标展示 ? 1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确 定义中“任意”两字的重要性. ? 2.掌握直线与平面垂直的判定定理,并能解 决有关线面垂直的问题. ? 3.了解直线与平面所成的角的含义,并知道 其求法.

? ●温故知新 ? 旧知再现 ? 1.在初中平面几何中能够转化为垂直关系的 垂直平分 有:①等腰三角形底边上的中线 __________ 垂直平分 垂直平分 底边;②菱形对角线互相 __________;③正 90° 方形对角线互相 __________;④圆的直径所 对圆角等于________. ? 2.在上一节,我们已经学习了直线与平面平 行的判定定理和平面与平面平行的判定定理 及其应用,线面平行、面面平行的判定最终 归结为线线平行的判定,并且研究了线面平 行和面面平行的三种判定方法:(1)定义法;

? 新知导学 ? 1.直线与平面垂直
定义 记法 有关 概念 图示 画直线与平面垂直时, 通常把直线画成与表示平面 画法 的平行四边形的一边垂直

任意一条 直线都垂直, 如果直线 l 与平面 α 内的__________ 我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直 l⊥α 垂线 ,平面 α 叫做直线 l 直线 l 叫做平面 α 的_______ 垂面 .它们唯一的公共点 P 叫做______ 垂足 . 的_____

? [破疑点] (1)定义中的“任意一条直线”这 一词语与“所有直线”是同义语,与“无数 条直线”不是同义语. ? (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种 特殊形式. ? (3)由直线与平面垂直的定义,得如果一条直 线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于该 平面内的任意一条直线.

? 2.判定定理
相交 直线都 一条直线与一个平面内的两条_______ 文字语言 垂直,则该直线与此平面垂直

图形语言

a∩b=P ?l⊥α 符号语言 l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,__________ 垂直 作用 判断直线与平面__________

? [破疑点] 直线与平面垂直的判定定理告诉我 们:可以通过直线间的垂直来证明直线与平 面垂直.通常我们将其记为“线线垂直,则 线面垂直”.因此,处理线面垂直转化为处 理线线垂直来解决.也就是说,以后证明一 条直线和一个平面垂直,只要在这个平面内 找到两条相交直线和已知直线垂直即可.

? 3.直线和平面所成的角 相交 ______,但不 ? (1)定义:一条直线和一个平面 垂直 交点 和这个平面______,这条直线叫做这个平面 垂线 的斜线,斜线和平面的______叫做斜足.过 垂足 斜足 斜线上斜足以外的一点向平面引 _______,过 锐角 _______和________的直线叫做斜线在这个平 面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上 的射影所成的________,叫做这条直线和这 个平面所成的角.

(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于

90° ;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的 _____
? π? ?0, ? 0 ° 2? 角等于______.因此,直线与平面所成的角的范围是________. ?

? ●自我检测 ? 1.直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能 ( ) ? A.平行 B.相交 ? C.异面 D.垂直 ? [答案] A ? [解析] ∵直线l⊥平面α,∴l与α相交, ? 又∵m?α,∴l与m相交或异面,由直线与平 面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平 行.

? 2.直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直 线l与平面α的关系是( ) ? A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂 直 ? C.l在平面α内 D.不能确定 ? [答案] D ? [解析] 如下图所示,直线l和平面α相互平行, 或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都 有可能.故选D.

? 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与 平面ABCD所成的角等于________. ? [答案] 45°
[解析] 如图所示,因为正方体ABCD
-A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,所以AB 即为AB1在平面ABCD中的射影,∠B1AB即 为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意 知,∠B1AB=45°,故所求角为45°.

?

规律总结:求直线与平面所成的角的关 键是找出平面的垂线,从而找出直线在平面 内的射影.

? 4.如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证:AC⊥平面BDD1B1.

? [分析] 转化为证明AC⊥BD,AC⊥BB1.

? ? ? ?

[证明] ∵BB1⊥AB,BB1⊥BC, ∴BB1⊥平面AC, 又AC?平面AC,∴BB1⊥AC. 又四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC.又BD? 平面BDD1B1,BB1?平面BDD1B1,BB1∩BD=B, ? ∴AC⊥平面BDD1B1.

互动课堂

●典例探究
线面垂直的判定
如图, P 为△ABC 所在平面 外一点,PA⊥平面 ABC,∠ABC=90° ,AE ⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F.求证: (1)BC⊥平面 PAB; (2)AE⊥平面 PBC; (3)PC⊥平面 AEF.

? [分析] 本题是证线面垂直问题,要多观察题 目中的一些“垂直”关系,看是否可利 用.如看到PA⊥平面ABC,可想到PA⊥AB、 PA⊥BC、PA⊥AC,这些垂直关系我们需要哪 个呢?我们需要的是PA⊥BC,联系已知,问 题得证.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

[证明] (1)∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC, ∴PA⊥BC. ∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC. 又AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB,AE?平面PAB,∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE,BC∩PB=B, ∴AE⊥平面PBC. (3)∵AE⊥平面PBC,PC?平面PBC, ∴AE⊥PC.∵AF⊥PC,AE∩AF=A, ∴PC⊥平面AEF.

? 规律总结:线面垂直的判定定理的应用 ? (1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线 与平面垂直的步骤: ? ①在这个平面内找两条直线,使它和这条直 线垂直; ? ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线; ? ③根据判定定理得出结论.

? (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线 与平面垂直的技巧: ? 证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找 隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进 而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、 梯形底边的中线、高;菱形、正方形的对角 线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直 的方法.

? 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的 中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB =SC.

? (1)求证:SD⊥平面ABC; 在平面内找两条相交 由线面垂直的判定 [分析 ] =BC,求证:BD⊥平面 → ? (2) 若AB SAC. 直线与已知直线垂直 定理得线面垂直

? [解析] (1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以 SD⊥AC. ? 在Rt△ABC中,AD=BD, ? 又SA=SB,SD=SD, ? 所以△ADS≌△BDS,所以SD⊥BD. ? 又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC. ? (2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC. ? 由(1)知SD⊥BD,又SD∩AC=D, ? 所以BD⊥平面SAC.

?

规律总结:线面垂直的判定定理实质是 由线线垂直推论线面垂直,途径是找到一条 直线与平面内的两条相交直线垂直.推论线 线垂直时注意分析几何图形,寻找隐含条 件.

线面角

在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

? (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切 值. ? (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.

? [分析] 求线面角的关键是找出直线在平面内 的射影,为此须找出过直线上一点的平面的 垂线.(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线,该垂 线必与B1D1、BB1垂直,由正方体的特性知, 直线A1C1满足要求.
[解析] (1)∵直线 A1A⊥平面 ABCD, ∴∠A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角,设 A1A=1,则 AC= 2,∴tan∠A1CA 2 =2.

(2)连接 A1C1 交 B1D1 于 O,在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥ B1D1,∵BB1⊥平面 A1B1C1D1,A1C1?平面 A1B1C1D1,∴BB1 ⊥A1C1, 又 BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面 BDD1B1,垂足为 O. ∴∠A1BO 为直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角,在 Rt△ 1 1 A1BO 中,A1O=2A1C1=2A1B,∴∠A1BO=30° . 即 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角为 30° .

? 规律总结:求线面角的方法: ? (1)求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜 线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和 斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其 射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把 该角归结在某个三角形中,通过解三角形, 求出该角. ? (2)求线面角的技巧:在上述步骤中,其中作 角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作 角的关键,几何图形的特征是找射影的依据, 射影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂 心、重心等.

? (2013~2014·湖南陶铸中学月考)如 图所示,Rt△BMC中,斜边BM=5 且它在平面ABC上的射影AB长为4, ∠MBC=60°,求MC与平面ABC所 成角的正弦值.
[分析] 找出相应 利用直角三角形的性质 → 的线面角 计算该线面角的正弦值

[解析] 由题意知,A 是 M 在平面 ABC 内的射影, ∴MA⊥平面 ABC, ∴MC 在平面 ABC 内的射影为 AC, ∴∠MCA 为直线 MC 与平面 ABC 所成的角. 又在 Rt△MBC 中,BM=5,∠MBC=60° , 3 5 ∴MC=BMsin∠MBC=5sin60° =5× 2 =2 3. 在 Rt△MAB 中,MA= MB2-BA2= 52-42=3. 3 2 MA 在 Rt△MAC 中,sin∠MCA=MC=5 =5 3. 2 3 2 ∴MC 与平面 ABC 所成角的正弦值为5 3.

线面垂直的综合应用
如图,四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PD⊥底面 ABCD, AD=PD,E,F 分别为 CD,PB 的中点. (1)求证:EF⊥平面 PAB; (2)设 AB= 2BC, 求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值.

? [分析] (1)要证线面垂直,需证平面内有两 条相交直线与已知直线垂直,而根据条件易 得EF⊥PB,EF⊥AF,所以本题得证;(2)要求 线面角,得先找出或作出这个角.根据条件 易得BP⊥平面EFA.故在△BEF中,只需过AC与 BE的交点G作BF的平行线GH,则GH⊥平面 EFA,∠GAH为所求角.

? ? ? ? ? ? ?

[解析] (1)证明:连结BE,EP. ∵ED=CE,PD=AD=BC, ∴Rt△PDE≌Rt△BCE,∴PE=BE. ∵F为PB中点,∴EF⊥PB. ∵PD⊥底面ABCD,DA⊥AB,∴PA⊥AB. 在Rt△PAB中,∵PF=BF,∴PF=AF. 又∵PE=BE=EA,∴△EFP≌△EFA, ∴EF⊥FA. ? ∵PB∩AF=F,∴EF⊥平面PAB.

(2)不妨设 BC=1,则 AD=PD=1,AB= 2,PA= 2,AC = 3. ∴△PAB 为等腰直角三角形,且 PB=2. ∵F 是 PB 的中点,∴BF=1,AF⊥PB. ∵AF∩EF=F,∴PB⊥平面 AEF. 设 BE 交 AC 于点 G, 过点 G 作 GH∥PB 交 EF 于点 H, 则 GH⊥平面 AEF.故∠GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角.

1 由△EGC∽△BGA 可知,EG=2GB,AG=2CG, 1 2 2 3 ∴EG=3EB,AG=3AC= 3 . 1 1 由△EGH∽△EBF,可知 GH=3BF=3. 3 GH ∴sin∠GAH= AG = 6 , 3 ∴AC 与平面 AEF 所成角的正弦值为 6 .

?

规律总结:(1)中还可取AB中点Q,连结 EQ,FQ,证明AB⊥平面EFQ,则AB⊥EF,加 上EF⊥PB,则EF⊥平面PAB.(2)中在求线面角 时,首先得找出或作出这个角,再解三角形 求角.

如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD= 2. (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.
[分析] 利用线面垂直的判定 分别求出四棱锥 → 定理证明线面垂直 的底面面积和高

计算出该四 → 棱锥的体积

[解析] (1)证明: 因为四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA=1,PD= 2, 所以 PD2=PA2+AD2,所以 PA⊥AD, 又 PA⊥CD,AD∩CD=D,所以 PA⊥平面 ABCD. (2)四棱锥 P-ABCD 的底面积为 1, 因为 PA⊥平面 ABCD, 所以四棱锥 P-ABCD 的高为 PA=1, 1 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为3.

●误区警示 易错点一 空间情形 已知四边形 ABCD 中,四个角∠ABC,∠BCD, ∠CDA,∠DAB 都是直角,求证:四边形 ABCD 是矩形. 在几何题的证明中,只考虑平面情形,而忽略

? [错解] ∵四边形ABCD中,四个角∠ABC, ∠BCD,∠CDA,∠DAB都是直角,∴四边形 ABCD是矩形. ? [错因分析] 把ABCD当作平面四边形(未加共 面证明)就得出结论.

? [思路分析] 四边形ABCD有两种存在形式: 平面四边形ABCD和空间四边形ABCD,需分类 证明. ? [正解 ] 当四边形 ABCD是平面图形时,它显 若四边形 ABCD 是空间四边形时, 然是矩形. 可设点 C在平面ABD之外.如图,过点C
作 CC1⊥ 平 面 ABD , 则 AB⊥ 面 BCC1 ,
∴∠ABC1=90°.同理,∠ADC1=90°.

又∵∠BAD=90° ,∴∠BC1D=90° ,
2 ∴BD2=BC2 + DC 1 1.

又∵∠BCD=90° ,
2 2 2 ∴BD2=BC2 + DC = BC + DC . 1 1 2 而事实上,BC2+DC2>BC2 1+DC1,矛盾.

∴点 C 在平面 ABD 内,即四边形 ABCD 是矩形.

? 如图所示,a∥b,点P在a,b所确定的平面外, PA⊥a于点A,AB⊥b于点B.求证PB⊥b.

? [错解] ∵PA⊥a,a∥b,∴PA⊥b, ? ∴PA⊥平面α,∴PB⊥b.

? [错因分析] 上述证法的错误在于没有正确使 用线面垂直的判定定理,由PA⊥a,PA⊥b, 得PA⊥α,忽略了a与b不相交. ? [正解] ∵PA⊥a,a∥b,∴PA⊥b. ? 又∵AB⊥b,且PA∩AB=A,∴b⊥平面PAB. ? 又∵PB?平面PAB,∴PB⊥b.

随堂测评

? 1.若直线a与平面α内的两条直线垂直,则直 线a与平面α的位置关系是( ) ? A.垂直 B.平行 ? C.斜交或在平面内 D.以上均有可能 ? [答案] D ? [解析] ∵a与α内的两条直线垂直,而这两 条直线的位置关系不确定,∴a与α可能平行、 垂直、斜交或a在α内.

? 2.如果一条直线垂直于一个平面内的:
? ①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两 条直径;④正六边形的两条边. ? 则能保证该直线与平面垂直( ) ? A.①③ B.①② ? C.②④ D.①④ ? [答案] A ? [解析] 三角形的两边,圆的两条直径一定是 相交直线,而梯形的两边,正六边形的两条 边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的 是①③.

? 3.下列命题中正确的个数是( ) ? ①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直, 则l⊥α; ? ②如果直线l与平面α内的一条直线垂直,则 l⊥α; ? ③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的 直线; ? ④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数 条直线与l垂直. ? A.0 B.1 ? C.2 D.3

? 4.一条直线和平面所成角为θ,那么θ的取值 范围是( ) ? A.(0°,90°) B.[0°,90°] ? C.(0°,90°] D.[0°,180°] ? [答案] B ? [解析] 由线面角的定义知B正确.

5.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 2,BC=AA1=1, 则 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角的大小为________.

[答案]

π 6

? [解析] 如下图所示,连接B1D1.

则 B1D1 是 BD1 在平面 A1B1C1D1 上的射影,则∠BD1B1 是 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角. BB1 1 3 在 Rt△BD1B1 中, tan∠BD1B1=B D = = 3 , 则∠BD1B1 3 1 1 π =6.

? 6.(2013·重庆)如图,四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD,BC=CD,∠ACB=∠ACD.求 证:BD⊥平面PAC.

? [分析] 解答本题的关键是将证明线面垂直问 题转化为证明线线垂直问题.

? [证明] 因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角 形, ? 又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC. ? 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD. ? 从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都 垂直,所以BD⊥平面PAC.

课后强化作业
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