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高考数学难点突破—难点21:直线方程及其应用


难点 21 直线方程及其应用 直线是最简单的几何图形,是解析几何最基础的部分,本章的基本概念;基本公式;直 线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达 到熟练掌握、灵活运用的程度,线性规划是直线方程一个方面的应用,属教材新增内容,高 考中单纯的直线方程问题不难,但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的. ●难点磁场 (★★★★★)已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:abc+2>a+b+c. ●案例探究 [例 1]某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室,为节约 经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜 角为α (90°≤α <180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 a m,b m,(a>b). 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳? 命题意图: 本题是一个非常实际的数学问题, 它不仅考查了直线的有关概念以及对三角 知识的综合运用, 而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力, 属★★★★★ 级题目. 知识依托:三角函数的定义,两点连线的斜率公式,不等式法求最值. 错解分析:解决本题有几处至关重要,一是建立恰当的坐标系,使问题转化成解析几何 问题求解;二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值.如果坐标系选择不当,或选择求 sinACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来. 技巧与方法:欲使看画的效果最佳,应使∠ACB 取最大值,欲求角的最值,又需求角 的一个三角函数值. 解: 建立如图所示的直角坐标系, AO 为镜框边, AB 为画的宽度, O 为下边缘上的一点,在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x>0),欲使看 画的效果最佳,应使∠ACB 取得最大值. 由三角函数的定义知:A、B 两点坐标分别为(acosα ,asinα )、 (bcosα ,bsinα ),于是直线 AC、BC 的斜率分别为: kAC=tanxCA= a sin? , a cos? ? x b sin? k BC ? tan xCB ? . b cos? ? x k ? k AC (a ? b) ? x sin? (a ? b) ? sin? 于是 tanACB= BC ? ? 2 ab 1 ? k BC ? k AC ab ? (a ? b) x cos? ? x ? x ? (a ? b) ? cos? x 由于∠ ACB 为锐角,且 x > 0, 则 tanACB ≤ ( a ? b) ? sin? 2 ab ? ( a ? b) cos ? , 当且仅当 ab =x ,即 x x= ab 时,等号成立,此时∠ACB 取最大值,对应的点为 C( ab ,0),因此,学生距离镜框 下缘 ab cm 处时,视角最大,即看画效果最佳. [例 2]预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌椅的总数尽 可能的多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,问桌、椅各买多少才行? 命题意图: 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用, 本题 主要考查找出约束条件与目标函数、 准确地描画可行域, 再利用图形直观求得满足题设的最 优解,属★★★★★级题目. 知识依托:约束条件,目标函数,可行域,最优解. 错解分析:解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件,若从图形 直观上得出的最优解不满足题设时,应作出相应地调整,直至满足题设. 技巧与方法:先设出桌、

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