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2015年上海市长宁区高考数学一模试卷(理科)

2015 年上海市长宁区高考数学一模试卷(理科)
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸的相应编号的空格内 填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (4 分) (2015?长宁区一模)函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是 . 2. (4 分) (2015?长宁区一模) 若集合 M={x||x|≤2}, N={x|x ﹣3x≤0}, 则 M∩N= 3. (4 分) (2015?长宁区一模)复数 = . (i 是虚数单位)
2



4. (4 分) (2015?长宁区一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=5﹣4×2 ,则其通项公式 为 .

﹣n

5. (4 分) (2015?长宁区一模)

,则 a=



6. (4 分) (2015?长宁区一模)已知 a,b∈{﹣3,﹣2,﹣1,1,2,3}且 a≠b,则复数 z=a+bi 对应点在第二象限的概率为 . (用最简分数表示) 7. (4 分) (2015?长宁区一模)已知函数 f(x)=1+logax,y=f (x)是函数 y=f(x)的反 ﹣1 函数,若 y=f (x)的图象过点(2,4) ,则 a 的值为 . 8. (4 分) (2015?长宁区一模)如图,圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆,则该圆锥的母线 与底面所成的角的大小是 .
﹣1

9. (4 分) (2015?长宁区一模)根据如图的框图,打印的最后一个数据是



1

10. (4 分) (2015?长宁区一模) 已知数列{an}是以﹣2 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和, 若 S7 是数列{Sn}中的唯一最大项,则数列{an}的首项 a1 的取值范围是 . 11. (4 分) (2015?长宁区一模)五位同学各自制作了一张贺卡,分别装入 5 个空白信封内, 这五位同学每人随机地抽取一封,则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率 是 . 12. (4 分) (2015?长宁区一模)已知△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 ,则 sinB 的值是 .

13. (4 分) (2007?江西)如图,在△ ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直 线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若 =m , =n ,则 m+n 的值为 .

2

14. (4 分) (2015?长宁区一模)已知

的展开式中的常数项为 T,f(x)

是以 T 为周期的偶函数,且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[﹣1,3]内,函数 g(x) =f(x)﹣kx﹣k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是 .

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选 对得 5 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) ,一律得零分. 2 2 15. (5 分) (2015?长宁区一模)设 z1、z2∈C,则“z1 +z2 =0”是“z1=z2=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16. (5 分) (2015?长宁区一模)函数 y=a
|x+b

|, (0<a<1,﹣1<b<0)的图象为(



A.

B.

C.

D.

17. (5 分) (2015?长宁区一模) O 是△ ABC 所在的平面内的一点, 且满足 ( ﹣2 )=0,则△ ABC 的形状一定为( ) D.斜三角形



) ? (

+

A.正三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形

18. (5 分) (2015?长宁区一模)下面有五个命题: 4 4 ①函数 y=sin x﹣cos x 的最小正周期是 2π; ②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a= ,k∈z};

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有一个公共点; ④把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 得到 y=3sin2x 的图象;

⑤在△ ABC 中,若 acosB=bcosA,则△ ABC 是等腰三角形;
3

其中真命题的序号是( ) A.①②③ B.②③④ C.③④⑤ D.①④⑤

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的相应编号 规定区域内写出必须的步骤. 19. (12 分) (2015?长宁区一模)如图:三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥底面 ABC,若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,且 PB 与底面 ABC 所成的角为 .若 M 是 BC 的中点,求:

(1)三棱锥 P﹣ABC 的体积; (2)异面直线 PM 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

20. (12 分) (2015?长宁区一模)已知 (1)求 tanα 的值; (2)求 的值.

21. (14 分) (2015?长宁区一模)已知函数 f(x)=x +(2﹣n)x﹣2n 的图象与 x 轴正半轴 的交点为 A(an,0) ,n=1,2,3,…. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 为正整数) ,问是否存在非零整数 λ,使得

2

对任意正整数 n,都有 bn+1>bn?若存在,求出 λ 的值,若不存在,请说明理由. 22. (18 分) (2015?长宁区一模)已知函数 f(x)=ax ﹣ x+c(a、c∈R) ,满足 f(1)=0, 且 f(x)≥0 在 x∈R 时恒成立. (1)求 a、c 的值; (2)若 h(x)= x ﹣bx+ ﹣ ,解不等式 f(x)+h(x)<0; (3)是否存在实数 m,使函数 g(x)=f(x)﹣mx 在区间[m,m+2]上有最小值﹣5?若存 在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理由.
2 2

4

23. (18 分) (2012?上海)已知数列{an}、{bn}、{cn}满足 . (1)设 cn=3n+6,{an}是公差为 3 的等差数列.当 b1=1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 , .求正整数 k,使得对一切 n∈N ,均有 bn≥bk;
*

(3)设



.当 b1=1 时,求数列{bn}的通项公式.

5

2015 年上海市长宁区高考数学一模试卷(理科)
参考答案

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸的相应编号的空格内 填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分.

1.

2.[0,2]

3.2i

4.

5.28

6.

7.4

8.60° 9.63

10. (12,14)

11.

12.

13.2

14.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选 对得 5 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) ,一律得零分. 15.B 16.C 17.C 18.C 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的相应编号 规定区域内写出必须的步骤. 19. 20. 21. 22. 23.

6


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