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【全程复习方略】2014年人教A版数学理(福建用)课时作业:第五章 第四节数 列 求 和


课时提升作业(三十三) 一、选择题 1.已知数列{an},若点(n,an)(n∈N*)在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列{an}的前 9 项和 S9=( ) (A)9 (B)10 (C)18 (D)27 2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a n ?

1 ,则 S10 等于( n ? n ? 2?
(C)

)

(A)

11 12

(B)

11 24

173 132

(D)

175 264
)

3.在等差数列{an}中,a9= (A)24

1 a12 ? 6 ,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于( 2
(C)66 (D)132

(B)48

4.(2013·南昌模拟)已知数列{an}的通项公式是 an=2n-3( 为( )

1 n ) ,则其前 20 项和 5

3 1 (1 ? 19 ) 5 5 3 1 (C) 420 ? (1 ? 20 ) 4 5
(A) 380 ?

2 1 (1 ? 20 ) 5 5 4 1 (D) 440 ? (1 ? 20 ) 5 5
(B) 400 ?

5.(2013·太原模拟)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则

a1 ? a 3 ? a 9 =( a 2 ? a 4 ? a10
(A)

)

9 14

(B)

11 15

(C)

13 16

(D)

15 17

6.设等比数列{an}的各项均为正数,公比为 q,前 n 项和为 Sn.若对?n∈N*,有 S2n<3Sn,则 q 的取值范围是( ) (A)(0,1] (B)(0,2) (C)[1,2) (D)(0, 2 ) )

7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1- a 2 m =0,S2m- 1=38,则 m=( (A)38 (B)20 (C)10
n

(D)9 )

2 2 2 8.(能力挑战题)数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1 ? a2 ? a3 ? …+ a 2 n 等于(

(A)(2 -1) (C)4 -1
n

n

2

1 n 2 3 1 n (D) (4 ? 1) 3
(B) (2 ? 1)

二、填空题 9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3=20-a6,则 S8 等于_________. n-1 10.数列{1+2 }的前 n 项和为__________. 11.(2013·芜湖模拟)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,当整数 n>1 时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立, 则 S5=_________.
-1-

12.(能力挑战题)在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值 * (n∈N ),且 a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前 100 项的和 S100=________. 三、解答题 13.(2013·漳州模拟)已知{an}为等差数列,前 n 项和为 Sn,S5=S6 且 a3=-6. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若等比数列{bn}满足 b2=6,6b1+b3=-5a3,求{bn}的前 n 项和 Tn. 14.(能力挑战题)等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设数列{bn}满足 bn ?

3 * 其前 n 项和为 Tn,求证: Tn ? (n∈N ). , 4 Sn ?1 ? 1

1

15.(2013·泉州模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2an-n(n∈N ). (1)求证{an+1}是等比数列,并求 an. (2)设 bn=nan+n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

*

答案解析 1.【思路点拨】(n,an)在直线上说明数列{an}为等差数列. 【解 析】选 D.点(n,an)(n∈N*)在经过点(5,3)的定直线 l 上,a5=3,根据等差数列性质得: S9=9a5=27. 2.【解析】选 D. a n ?

1 1 1 1 ? ( ? ) ,所以 S10=a1+a2+…+a10 n ?n ? 2? 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 175 (1 ? ? ? ??? ? ) = (1 ? ? ? )= ,故选 D. 2 3 2 4 10 12 2 2 11 12 264 1 11 3.【解析】选 D.设公差为 d,则 a1 ? 8d ? a1 ? d ? 6 ,即 a1+5d=12,即 a6=12, 2 2
= 所以 S11=11a6=132. 4.【解析】选 C.由 a n ? 2n ? 3( ) ,
n

1 5

1 1 ? … ? 20 ) 2 5 5 1 1 (1 ? 20 ) 20 ?1 ? 20 ? 5 ? 420 ? 3 (1 ? 1 ) ,故选 C. = 2? ? 3? 5 1 2 4 520 1? 5
得 S20=2(1+2+…+20)- 3( ? 5.【解析】选 C.等差数列{an}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,因为 a1,a3,a9 恰好构成某等比数列, 所以有 a 3 ? a1a 9 ,即(a1+2d) =a1(a1+8d),解得 d=a1,所以该等差数列的通项为 an=nd .则
2
2

1 5

-2-

13 a1 ? a 3 ? a 9 的值为 . 16 a 2 ? a 4 ? a10
6.【解析】选 A.若 q=1,则 S2n=2na1<3na1=3Sn,所以 q=1 符合要求;当 q≠1 时,

a1 ?1 ? q 2n ? 1? q

?

3a1 ?1 ? q n ? 1? q
n

2n n n n n 若 q>1, 则可得 q -3q +2<0, 即(q -1)(q -2)<0, 即 1<q <2, 而 q>1 ,

不可能对任意 n 值都有 q <2, 所以 q>1 不符合要求; 当 0<q<1 时, 可得(q -1)(q -2)>0 , 即 q <1, n 由于 0<q<1,所以对任意 n 值都有 q <1,所以 q<1 符合要求.综合可得 q 的取值范围是(0,1].
2 7.【解析】选 C.因为{an}是等差数列,所以 am-1+am+1=2am,由 am-1+am+1- a 2 m =0,得 2a m ? a m ? 0 ,

n

n

n

所以 am=2(am=0 舍),又 S2m-1=38,即 故选 C.

(2m ? 1)(a 1 ? a 2m ?1) =38,即(2m-1)×2=38,解得 m=10, 2
0 n-1 *

8.【解析】选 D.an=Sn-Sn-1=2 (n>1),又 a1=S1=1=2 ,适合上式,∴an=2 (n∈N ),∴{ a 2 n }是
n-1 2 2 2 2 2 =1,q=2 的等比数列,由求和公式 a1 a1 ? a2 2 ? a 3 ? …? a n =

1? (1 ? 4n ) 1 n ? (4 ? 1). 1? 4 3

9.【解析】因为 a3=20-a6,所以 S8=4(a3+a6)=4×20=80. 答案:80 10.【解析】前 n 项和 Sn=1+2 +1+2 +1+2 +…+1+2 = n ?
0 1 2 n-1 n

1 ? 2n n =n+2 -1. 1? 2

答案:n+2 -1 11.【解析】由 Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1), 得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S 1=2, 即 an+1-an=2(n≥2),数列{an}从第二项起构成 等差数列,则 S5=1+2+4+6+8=21. 答案:21 12.【解析】设定值为 M,则 an+an+1+an+2=M,进而 an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得 an+3=an,即数 列{an}是以 3 为周期的数列.由 a7=2 ,可知 a1=a4=a7=…=a100=2,共 34 项,其和为 68;由 a9=3, 可得 a3=a6=…=a99=3,共 33 项,其和为 99;由 a98=4,可得 a2=a5=…=a98=4,共 33 项,其和 为 132.故数列{an}的前 100 项的和 S100=68+99+132=299. 答案:299 13.【解析】(1)由已知可得 a6=0,∴ ? 解得 d=2,a1=-10, ∴an=2n-12. (2)设{bn}的公比为 q,又-5a3=30, 由题设得 ?

?a1 ? 2d ? ?6, ?a1 ? 5d ? 0,

?b1q ? 6, ?6b1 ? b1q ? 30,
2

解得 ?

?b1 ? 3, ?b1 ? 2, 或? ?q ? 2 ?q ? 3.
-3-

当 b1=3,q=2 时,Tn=3(2 -1), 当 b1=2,q=3 时,Tn=3 -1. 14.【解析】(1)2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11, 2a3=a2+a6-4, 即 2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4,得 d=2, 则 a1=1,故 an=2n-1. (2)由(1)得 Sn=n ,∴ bn ?
2 n

n

1 Sn ?1 ? 1

?

1 (n ? 1)2 ? 1

=

1 1 ? n ? 2n n ? n ? 2 ?
2

1 1 1 ( ? ), 2 n n?2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ( ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ) 2 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 n n ? 2 1 1 1 1 1 3 ? ) ? (n ? N* ) . = ( ? ? 2 1 2 n ?1 n ? 2 4
= 【方法技巧】裂项相消法的应用技巧 裂项相消法的基本思想是把数列的通项 an 分拆成 an=bn+1-bn 或者 an=bn-bn+1 或者 an=bn+2-bn 等, 从 而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要善于根据这个基本思想变换数列 an 的通项公式, 使之符合裂项相消的条件.在裂项时一定要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列 中的相邻的两项或者是等距离间隔的两项,只有这样才能实现逐项相消后剩下几项,达到求 和的目的. 15.【解析】(1)Sn=2an-n, 当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-(n-1), 两式相减,得 an=2an-2an-1-1, 即 an=2an-1+1, 也即 an+1=2(an-1+1), 得

an ?1 ? 2, a n ?1 ? 1

又 S1=2a1-1,即 a1=1, ∴{an+1}是首项为 2,公比 q=2 的等比数列, 故 an+1=2·2 =2 ,也即 an=2 -1. (2)bn= n·2 -n+n=n·2 , Tn=1·2+2·2 +3·2 +…+(n-1)·2 + n·2 ,
n 2 3 n-1 n n n-1 n n

-4-

2Tn=1·2 +2·2 +3·2 +…+(n-1)·2 + n·2 , 两式相减,得-Tn=2+2 +2 +…+2 -n·2 ,
2 3 n n+1 n+1

2

3

4

n

-Tn=

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

-n·2 ,
n+1

n+1

得 Tn=(n-1)·2 +2.

-5-


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