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高中数学必修4(人教A版)第三章三角恒等变换3.4知识点总结含同步练习及答案

高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 三角恒等变换 3.4 三倍角公式(公式)

一、学习任务 能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换,了解三倍角公式. 二、知识清单
三倍角公式

三、知识讲解
1.三倍角公式 描述: 正弦三倍角公式

sin 3α = 3 sin α ? 4 sin 3 α = 4 sin α sin(
证明:

π π + α) sin( ? α) 3 3

sin 3α = = = = =
余弦三倍角公式

sin(2α + α) sin 2α cos α + cos 2α sin α 2 sin α cos2 α + (1 ? 2 sin 2 α) sin α 2 sin α(1 ? sin 2 α) + sin α ? 2 sin 3 α 3 sin α ? 4 sin 3 α. π π + α) cos( ? α) 3 3

cos 3α = 4 cos3 α ? 3 cos α = 4 cos α cos(
证明:

cos 3α = = = = =

cos(2α + α) cos 2α cos α ? sin 2α sin α (2 cos2 α ? 1) cos α ? 2 sin 2 α cos α 2 cos3 α ? cos α ? 2(1 ? cos2 α) cos α 4 cos3 α ? 3 cos α.

例题: 求 sin 18? 的值. 解:因为 sin 36? = cos 54? ,所以

sin 36? = 2 sin 18? cos 18? = 4 cos3 18? ? 3 cos 18? ,
因为 cos 18? ≠ 0 ,所以

因为 cos 18? ≠ 0 ,所以

2 sin 18? = 4 cos2 18? ? 3,
即 2 sin 18? = 4 ? 4 sin 2 18? ? 3,整理得 4 sin 2 18? + 2 sin 18? ? 1 = 0,故

sin 18? =

√5 ? 1 . 4

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