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高中数学20分钟专题突破-数系的扩充与复数的引入


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高中数学 20 分钟专题突破 17 数系的扩充与复数的引入
一.选择题 1.已知 0 ? a ? 2 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则 z 的取值范围是( A. (1 , 5) B. (1 , 3) C. (1 ,5) D. (1 ,3) )

2.已知复数 z=1-i,则 A.2i

z 2 ? 2z =( z ?1

) C.2 D.-2 ) D. ±i

B.-2i

3.设 z 的共轭复数是 z ,或 z+ z =4,z· z =8,则 A.1 B.-i C.±1

z 等于( z

2 4.若 z ? cos ? ? i sin ? ( i 为虚数单位) ,则 z ? ?1 的 ? 值可能是

A

? 6

B

? 4

C

? 3

D

? 2
2

5.已知 2 ? ai, b ? i 是实系数一元二次方程 x ? px ? q ? 0 的两根,则 p, q 的值为 ( A、 p ? ?4, q ? 5 二.填空题 1. B、 p ? 4, q ? 5 C、 p ? 4, q ? ?5



D、 p ? ?4, q ? ?5

1? i 表示为 a ? bi (a, b ? R) ,则 a ? b = 1? i



2.若复数 z 满足 z=i(2-z)(i 是虚数单位) ,则 z= 3.若 z1=a+2i,z2=3-4i,且

z1 为纯虚数,则实数 a 的值是 z2
___



4.若复数 z ? a ?1 ? (a ? 1)i ( a ? R )是纯虚数,则 z =
2

三.解答题 实数 m 分别取什么数时,复数 z=(1+i)m +(5-2i)m+6-15i 是: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数; (4)对应点在第三象限; (5)对应点在直线 x+y+5=0 上; (6) 共轭复数的虚部为 12.
2

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答案
一.选择题 1. 【解析】由于 0<a<2,故 1 ? a ? 1 ? 5 ∴ z ?
2

a 2 ? 1 ? 1, 5 。

?

?

【答案】C

z 2 ? 2 z ?1 ? i ? ? 2 ?1 ? i ? ?2 ?2 2. 【解析】将 z ? 1 ? i 代入得 ? ? ? ? ?2i ,选B. z ?1 1 ? i ?1 ?i ?i
2

【答案】B

z z 2 ? 2 ? 2i ? 3. 【解析】 可设 z ? 2 ? bi ,由 z ? z ? 8 得 4 ? b ? 8, b ? ?2. ? ? ? ?i. z 8 8
2

2

【答案】:D.

4. 【解析】 :把 【答案】 D

? 代入验证即得。 2

5. 【解析】 因为 2? a?i,b?i( i 是虚数单位)是实系数一元二次方程 x ? px ? q ? 0 的两个根,
2 2 所 以 a= - 1 , b=2 , 所 以 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x ? px ? q ? 0 的 两 个 根 是 ? 2 ? i 所 以

p? ? [ ( 2 ?i ) ? ( 2? i )? ] ?q4 , ?
【答案】A 二.填空题 1. 【解析】? 【答案】1

( i? 2

)i ? ( 2 ?)

5.

1? i ? i,? a ? 0, b ? 1 ,因此 a ? b =1。 1? i

2. 【解析】由 z ? i (2 ? z ) ? z ? 【答案】 1 ? i

2i ?1? i . 1? i

3. 〖解析〗

a ? 2i (a ? 2i )(3 ? 4i ) (3a ? 8) ? (4a ? 6)i 8 z1 ? ? = ,则由条件可得 3a-8=0,得 a= . z2 3 ? 4i 5 5 3

〖答案〗

8 3
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4. 〖解析〗由 ? 〖答案〗.2 三.解答题

?a 2 ? 1 ? 0 ?a ? 1 ? 0

? a ? 1 ,所以 z =2.

解:z=(1+i)m +(5-2i)m+6-15i=(m +5m+6)+(m -2m-15)i ∵m∈R,∴z 的实部为 m +5m+6,虚部为 m -2m-15. (1)若 z 是实数,则
2 2

2

2

2

?m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ? m=5 或 m=-3 ? ?m ? R
(2)若 z 是虚数,则

m2-2m-15≠0 ? m≠5 且 m≠-3.
(3)若 z 是纯虚数,则
2 ? ? m ? 5m ? 6 ? 0 ? m=-2 ? 2 ? ?m ? 2m ? 15 ? 0

(4)若 z 的对应点在第三象限,则
2 ? ? m ? 5m ? 6 ? 0 ? -3<m<-2 ? 2 ? ?m ? 2m ? 15 ? 0

(5)若 z 对应的点在直线 x+y+5=0 上,则(m +5m+6)+(m -2m-15)+5=0 ? m=-4 或 m=1.
2 2

(6)若 z 的共轭复数的虚部为 12,则-(m -2m-15)=12 ? m=-1 或 m=3.
2

w w w . j b 1 0 福田区农轩路龙溪花园 38 栋 301.302 0 0 w . w c

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