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湖北省黄冈中学2011届高三第一次八校联考数学(理)试题.do


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2011 届高三第一次联考
数学试题(理科)
命题学校:荆州中学 命题人:荣培元 审题人:李祥知 考试时间:2010 年 12 月 30 日下午 15∶00 ~ 17∶00 一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 10 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 ( 有一项是符合题目要求的)

1. 已 知 集 合 A ? {0,1, 2,3} , 集 合 B ? {x | x ? 2a, a ? A} , 则 (
A? B ? A B. C. A ? B ? B ? ? ? ? 2 . 命 题 p : 若 a ?b ? 0, 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 .



A. A ? B ? A

D. A ? B ? A

命 题 q : 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) 在 (??,0) 及 (0, ??) 上 都 是 增 函 数 , f ( x) 在 (??, ??) 上 定 则 是增函数. 下列说法正确的是( )

A. “ p 或 q ” 是 真 命 题 C.
?

B. “ p 且 q ” 是 假 命 题 D.
?

p为假命题

q 为假命题


“ 3 . a ? ?1 ” 是 “ 直 线 a 2 x ? y ? 6 ? 0 与 直 线 4 x ? (a ? 3) y ? 9 ? 0 互 相 垂 直 ” 的 (

A. 充 分 不 必 要 条 件 C. 充 要 条 件

B. 必 要 不 充 分 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件

4 . 函 数 y ? sin x(3sin x ? 4cos x) ( x ? R) 的 最 大 值 为 M , 最 小 正 周 期 为 T , 则 有 序 数 对
(M , T ) 为 (


A. (5, ? )

B. (4, ? )

C. (?1, 2? )

D. (4, 2? )

5 . 在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 长 分 别 为 a、b、c , 若 C ? 1200 , c ? 2b , 则
( )

A.

B ? 450

B.

A ? 450

C.

b?a

D. b ? a


6 . 定 义 在 区 间 (0, a) 上 的 函 数 f ( x) ?
A.
2 ln 2

x2 有反函数,则 a最大为( 2x

B. ln 2
2

C.

1 2

D. 2

??? ??? ? ? 7 . 已 知 P( x, y ) 是 圆 x 2 ? ( y ? 3)2 ? 1 上 的 动 点 , 定 点 A(2, 0), B(?2, 0) , 则 PA ? PB
的最大值为( )

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B. 0 C. D. 12 ?12 ???? 1 ???? ??? ? ??? 2 ???? ? 8 . 如 图 , 在 ?ABC 中 , AN ? NC , P 是 BN 上 的 一 点 , 若 AP ? m AB ? AC , 则 实 数 m 3 11 A. 4
的值为( ) A

9 11 3 C. 11

A.

5 11 2 D. 11

B.

N P B C

9 . 设 二 次 函 数 f ( x) ? ax 2 ? 4 x ? c ( x ? R ) 的 值 域 为 [0, ??) , 则
( )

1 9 的最大值为 ? c ?1 a ? 9

A.

31 25

B.

38 33

C.

6 5

D.

31 26

10 . 有 下 列 数 组 排 成 一 排 : 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 ( ), ( , ), ( , , ), ( , , , ), ( , , , , ),?? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
如果把上述 数组中的括号都去掉会形成一个数列:

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 , , , , , , , , , , , , , , ,?? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
则 此 数 列 中 的 第 2011 项 是 ( )

A.

7 57

B.

6 58

C.

5 59

D.

4 60

二、 填 空 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 25 分 .把 答 案 填 在 答 题 卡 中 相 应 的 横 线 上 ) (

11.已 知 点 A(0, b), B 为 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 左 准 线 与 x 轴 的 交 点 .若 线 段 AB 的 中 点 a 2 b2


C 在椭圆上,则该椭圆的离心率为

?x ? y ? 5 ? 0 ? 12 . 已 知 实 数 x, y 满 足 ? x ? y ? 0 , 则 z ? x ? 2 y 的 最 小 值 是 ? x?3 ?



13 . 奇 函 数 f ( x) 满 足 对 任 意 x ? R 都 有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? 0 , 且 f (1) ? 9 , 则
f (2010) ? f (2011) ? f (2012) 的 值 为
.

14 . 已 知 等 比 数 列 {an } 的 各 项 都 为 正 数 , 且 当 n ? 3 时 , a4 ? a2 n ?4 ? 102 n , 则 数 列
lg a1 , 2 lg a2 , 22 lg a3 , 23 lg a4 , ? , 2n ?1 lg an , ? 的 前 n 项 和 S n 等 于
.

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15 . 对 于 连 续 函 数 f ( x) 和 g ( x) , 函 数 f ( x) ? g ( x) 在 闭 区 间 [a, b] 上 的 最 大 值 称 为 f ( x) 与 ...
, g ( x ) 在 闭 区 间 [ a, b] 上 的 “ 绝 对 差 ” 记 为
a ? x ?b

? ( f ( x), g ( x)). 则

1? x ? 4

? ( x ?1,

1

2 2 x ? x) ? 9

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,向量 16 . ? ? ? ? ? 12 ? p ? (1 ? sin A, ), q ? (cos 2 A, 2sin A) ,且 p // q . 7 (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 b ? 2, ?ABC 的面积为 3 ,求 a .

17 .(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? log 2 (1 ? x 4 ) ?

1 ? mx ( x ? R) 是偶函数. 1 ? x2

(Ⅰ)求实常数 m 的值,并给出函数 f ( x) 的单调区间(不要求证明) ; (Ⅱ) k 为实常数,解关于 x 的不等式: f ( x ? k ) ? f ( 3 x ? 1) .

(本小题满分 12 分) 在股票市场上, 投资者常参考 18 .

股价 (每一股的价格) 的某条平滑均线 (记作 MA )

的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的 MA 均线近期走 得很有特点: 如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系 xoy , 则股价 y (元) 和时间 x 的关系在 ABC 段可近似地用解析式 y ? a sin(? x ? ? ) ? b ( 0 ? ? ? ? )来描述,从 C 点走到今天的 D 点,是震荡筑 底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且 D 点和 C 点正好关于直线 l : x ? 34 对称.老张预计这 只股票未来的走势如图中虚线所示, 这里 DE 段与 ABC 段关于直线 l 对称,EF 段是股价延续 DE 段的 趋势(规律)走到这波上升行情的最高点 F . 现在老张决定取点 A (0, 22) ,点 B (12, 19) ,点 D (44, 16) 来确定解析式 中的常数 a, b, ?, ? ,并且已经求得 ? ?

?
72

.

(Ⅰ)请你帮老张算出 a, b, ? ,并回答股价什么时 候见顶(即求 F 点的横坐标). (Ⅱ)老张如能在今天以 D 点处的价格买入该股票 5 000 股,到见顶处 F 点的价格全部卖出,不计其它 费用,这次操作他能赚多少元?

2 2 (本小题满分 12 分) 已知双曲线 x ? y ? 1的左、 右顶点分别为 A1、A2 , 19 .

动直线 l : y ? kx ? m 与圆 x ? y ? 1相切,且与双曲线左、右两支的交点分
2 2

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别为 P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) . 1 2 (Ⅰ)求 k 的取值范围,并求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅱ)记直线 P A1 的斜率为 k1 ,直线 P2 A2 的斜率为 k 2 ,那么, k1 ? k2 是定值吗?证明你的结论. 1

(本小题满分 13 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 7, an ?1 ? 3an ? 2n ?1 ? 8n . (n ? N * ) 20 . (Ⅰ)李四同学欲求 {an } 的通项公式,他想,如能找到一个函数 f (n) ? A ? 2n?1 ? B ? n

?C ( A、B、C是常数) ,把递推关系变成 an ?1 ? f (n ? 1) ? 3[an ? f (n)] 后,就容易求出 {an } 的通项
了.请问:他设想的 f (n) 存在吗? {an } 的通项公式是什么? (Ⅱ)记 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,若不等式 Sn ? 2n 2 ? p ? 3n 对任意 n ? N * 都成立,求实数 p 的取 值范围.

1 1 21 .(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( ? ax) ? x 2 ? ax .( a 为常数, a ? 0 ) 2 2 1 (Ⅰ)若 x ? 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [ , ? ?) 上是增函数; 2 1 (Ⅲ)若对任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x0 ? [ , 1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a 2 ) 成立,求实数 m 的取值 .. .. 2
范围.

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又 cos A ? ? 1 ? sin A ? ?
2

4 , 5

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5cos A ? 29 ? 20cos A ,

4 2 时, a ? 13, a ? 13 ; 5 4 2 当 cos A ? ? 时, a ? 45, a ? 3 5 . 5
当 cos A ?

10 分 12 分

17 .(Ⅰ)? f ( x) 是偶函数, ? f (? x) ? f ( x) ,
1 ? mx mx ? 1 , ? log 2 (1 ? x 4 ) ? 2 1? x 1 ? x2 2分 ? mx ? 0 ,? m ? 0 . 1 , f ( x) 的递增区间为 [0, ??) ,递减区间为 (??,0] . ? f ( x) ? log 2 (1 ? x 4 ) ? 1 ? x2 ? log 2 (1 ? x 4 ) ?
4分 (Ⅱ)? f ( x) 是偶函数 ,? f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) , 不等式即 f ( x ? k ) ? f ( 3x ? 1) ,由于 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数,

? x ? k ? 3x ? 1 , ? x2 ? 2kx ? k 2 ? 9x2 ? 6x ? 1 ,
即 8 x ? (6 ? 2k ) x ? (1 ? k ) ? 0 ,? ( x ?
2 2

k ?1 k ?1 )( x ? )?0, 2 4

7分

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18 . (Ⅰ)? C, D 关于直线 l 对称?C 点坐标为 (2 ? 34 ? 44, 16) 即 (24, 16) ,
? ? 22 ? a sin ? ? b ? ? ? ?19 ? a sin( ? ? ) ? b 6 ? ? ? ?16 ? a sin( 3 ? ? ) ? b ?

① ② ③

把 A 、 B 、 C 的坐标代入解析式,得

② ? ①,得 ③ ? ①,得

a[sin( ? ? ) ? sin ? ] ? ?3 , 6 a[sin( ? ? ) ? sin ? ] ? ?6 , 3

? ?

3 3 ? ? cos ? ? sin ? , ? 2sin( ? ? ) ? 2sin ? ? sin( ? ? ) ? sin ? ,? cos ? ? 3s in ? ? 2 2 6 3 ? (1 ? 3 3 3 ) cos ? ? ( ? 3)sin ? ? 3( ? 1)sin ? , 2 2 2

? tan ? ? ?

3 ,? 0 ? ? ? ? 3

?? ? ? ?

?
6

?

5? , 代入②,得 b ? 19 , 6

再由①,得 a ? 6 ,

? a ? 6, b ? 19 , ? ?

于是, ABC 段的解析式为 y ? 6sin(

?
72

x?

5? ) ? 19 , 6

5? . 6

7分

由对称性得, DEF 段的解析式为 y ? 6sin[

?

72 ?当 x ? 92 时,股价见顶.

?

?

(68 ? xF ) ?

5? ? ? , 解得 xF ? 92 , 6 2

72

(68 ? x) ?

5? ] ? 19 , 6

10 分 , 故 这 次 操 作 老 张 能 赚 5000 ? (25 ? 16) ? 45 000 元 .

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 可 知 , yF ? 6 ? 19 ? 25 12 分
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由于 x1 ? x2 ?

2mk 2 2 2 2 ? x2 ? x1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? , 2 2 1? k 1? k 2 1? k

?0 ? k 2 ? 1

?当 k 2 ? 0 时, x2 ? x1 取最 小值 2 2 .

6分

(Ⅱ)由已知可得 A1 , A2 的坐标分别为 (?1, 0), (1, 0) ,

? k1 ?

y1 y y1 y2 (kx ? m)(kx2 ? m) , k2 ? 2 , ? k1 ? k2 ? ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2

m2 ? 1 2mk k ? 2 ? mk ? 2 ? m2 k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 k ?1 k ?1 ? ? 2 x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 m ?1 2 2 ? ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

?

m 2 k 2 ? k 2 ? 2m 2 k 2 ? m 2 k 2 ? m 2 k 2 ? m2 ? 2 , m2 ? 1 ? 2 2 ? k 2 ? 1 m ? k2 ? 2 ? 2 2

由 ①,得

m2 ? k 2 ? 1, ? k1 ? k2 ?

?1 ? ?(3 ? 2 2) 为定值. 3? 2 2

12 分

20 . (Ⅰ)? an?1 ? f (n ? 1) ? 3[an ? f (n)] ? an?1 ? 3an ? f (n ? 1) ? 3 f (n) ,
所以只需 f (n ? 1) ? 3 f (n) ? 2
n ?1

? 8n ,

? f (n ? 1) ? 3 f (n) ? ? A ? 2n?1 ? 2 Bn ? ( B ? 2C ) ,?? A ? 1, ?2B ? ?8, B ? 2C ? 0 ,
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b n ?1 ? bn ? 1 ?
当 n ? 6 时, 2

2n ?1 ? 4(n ? 1) 2n ? 4n 2n ? 8n ? 4 2n ? 4(2n ? 1) , ?1? ? ? 3n ?1 3n 3n ?1 3n ?1
n?2 1 2 n ?3 n?2 ? (1 ? 1) n?2 ? 1 ? Cn?2 ? Cn?2 ? ? ? Cn?2 ? Cn?2

(n ? 2)(n ? 3) ? 2n ? 2 ? 2(n ? 3) ? 4n ? 8 ? 2n ? 1 ,(用数学归纳法证也行) 2 689 ? p 的取值范 , ?n ? 6 时, bn ?1 ? bn . 容易验证 , 1 ? n ? 5 时, bn|?1 ? bn ,? p ? (bn )min ? b6 ? 729 689 围为 (??, 13 分 ). 729 ? 2(1 ? n ? 2) ?

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a . ? 2x ? a ? 21 . f ?( x) ? 2 1 1 1 ? ax ? ax 2 2
(Ⅰ)由已知,得 f ?( ) ? 0 且

1 2

a2 ? 2 ? 0 ,? a 2 ? a ? 2 ? 0 ,? a ? 0 ,? a ? 2 . 2a
2分

(Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,?

a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) 1 a2 ? 2 , ? ? ? ? 0 ,? ? 2a 2 2a 2a 2 2a

?当 x ?
5分

1 2ax 1 a2 ? 2 时, x ? ? 0 , ? f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 [ , ? ?) 上 是 增 函 数 . ? 0 .又 2a 2 1 ? ax 2

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1 1 可知 g ( a ) 在区间 (1, min{2, 在此区间上, g (a) ? g (1) ? 0 , g (a 0 有 与 ) ? ?1 ? 1 , ? 1}) 上递减, 2m 2m 1 恒成立矛盾,故 ? 1 ? 1 ,这时, g ?(a) ? 0 , g (a ) 在 (1, 2) 上递增,恒有 g (a) ? g (1) ? 0 ,满足题设要 2m


?m ? 0 1 ? 求,? ? 1 ,即 m ? , 4 ? 2m ? 1 ? 1 ?
所以,实数 m 的取值范围为 [ , ? ?) .

1 4

14 分

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