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通州区三余中学2009~2010学年(上)期中考试卷高一数学


通州区三余中学 2009~2010 学年(上)期中考试卷
高一数学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(共 14 题)、解答题(共 6 题),满分 160 分,考试时间为 120 分钟。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答 题纸上。 3.请认真核对答题纸密封线内规定填写的项目是否准确。 4.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其他位置 作答一律无效.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 一、填空题: 本大题共 14 题,每小题 5 分, 70 分, 共 请将答案直接填写在答题纸相应位置上. ........ 1.已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {2, 4, 6} ,则 A ? B ? 2.计算: a a =
2

▲ .



(结果用分数指数幂表示) . ▲ . ▲ .

3.已知函数 y ? x 3 ,则其值域为 4.函数 f ( x) ?

log 1 ?3 x ?1? 的定义域是
3

5.函数 y ? log 1 ( x 2 ? 3 x ? 2) 的增区间是
2

▲ .

6.设 f (x) 为定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 ( x ? 2) ,则 x ? 0 时 f (x) 的解析式为 ▲ .
x ?1 7.将函数 y ? ( ) 的图象向右平移 2 个单位且向上平移 1 个单位得函数 y ? g ?x ? 的图象,

1 4

则 g ?x ? =

▲ . ▲ .

8.已知 a ? log 2 0.3 , b ? 2 0.3 , c ? 0.30.2 ,则 a, b, c 三者从大到小的关系是

9.已知函数 f ?n ? ? ?

?1, n ? 0
? ?n ? f ?n ? 1?, n ? N

, 则 f ?6? 的值是

▲ .

10.已知函数 y ? ln( x ? 1) ? 2 x ? 9 存在唯一零点 x0 ,则大于 x0 的最小整数为 11.对任意实数 x , 若不等式 | x ? 2 | ? | x ? 1 |? k 恒成立, 则实数 k 的取值范围是

▲ . ▲ .

12.已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在 ?0,??? 上是增函数,且 f ( ) ? 0 ,则不等式

1 2

f (log2 x ) ? 0 的解是

▲ .

13.设函数 f ( x) ? log a x(a ? 0 , a ? 1) ,若 f ( x1 x2 x3 ??? x10 ) ? 30 ( x1 , x2 , ???, x10 全为正数), 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? ??? ? f ( x10 ) 的值等于 14.下列几个命题: ①方程 x ? (a ? 3) x ? a ? 0 的有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 ; ②若 f (x) 的定义域
2

▲ .

为 0,1 ,则 f ( x ? 2) 的定义域为 ? ?2, ?1? ;③函数 y ? log2 (? x ? 1) ? 2 的图象可由

? ?

y ? log2 (? x ? 1) ? 2 的图象向上平移 4 个单位,向左平移 2 个单位得到;④若关于 x 方程
x 2 ? 2 x ? 3 ? m 有两解,则 m ? 0或m ? 4 ;⑤若函数 f (2 x ? 1) 是偶函数,则 f (2 x) 的图
象关于直线 x ?

1 对称;其中正确的有 2

▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题;共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) (1)计算 log2.5 6.25 ? lg 0.01? ln (2)设 x ? log 2 3, 求

e ? 21?log2 3 ;

2 3 x ? 2 ?3 x 的值. 2 x ? 2?x

16. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? {x | 2 ? x ? 10}, C ? {x | x ? a} ; 求: (1) A ? B ; (2) (C R A) ? B ; (3)若 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围.

17. (本小题满分 15 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a 的值; (2)证明:函数 f (x) 在 R 上是减函数; (3)若对任意的 t ? R , 不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2

?2 x ? a 是奇函数. 2 x ?1 ? 2

18. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) , g ( x) ? log a (4 ? 2 x) ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (Ⅱ)求使函数 f ( x) ? g ( x) 的值为正数的 x 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分) 某特许专营店销售北京奥运会纪念章,每枚进价为 5 元,每销售一枚这种纪念章还需向北京 奥组委交特许经营管理费 2 元,预计这种纪念章以每枚 20 元的价格销售时该店一年可销售

2000 枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元的基础上每减少一元则增加
销售 400 枚,每增加一元则减少销售 100 枚,现设每枚纪念章的销售价格定为 x 元. (1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y (元)与每枚纪念章的销售价格

x 的函数关系式(写出这个函数的定义域);
(2)当每枚纪念章销售价格 x 为多少时,该特许专营店一年内利润 y (元)最大, 并求出 这个最大值.

20. (本小题满分 16 分) 函数 f ( x ) ? 2 x ?

a 的定义域为 ? 0,1? ( a 为实数) . x

⑴当 a ? ?2 时,求函数 y ? f ( x ) 的最小值; ⑵若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; ⑶求函数 y ? f ( x ) 在 x ∈ ? 0,1? 上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.

通州区三余中学 2009~2010 学年(上)期中考试卷
高一数学 参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案直接填写在答题纸相应位置上. ........ 1.已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {2, 4, 6} ,则 A ? B ? 2.计算: a a =
2 3

▲ . {2, 4}
3

▲ (结果用分数指数幂表示) a 4 . ▲ . [0, ??) ▲ .? , ? 3 3

3.已知函数 y ? x ,则其值域为 4.函数 f ( x) ?

log 1 ?3 x ?1? 的定义域是
3

? 1 2? ? ?

5.函数 y ? log 1 ( x 2 ? 3 x ? 2) 的增区间是
2

▲ . (??,1)

6.设 f (x) 为定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 ( x ? 2) ,则 x ? 0 时 f (x) 的解析式为 ▲ . f ( x) ? log 2

1 ? ? log 2 (2 ? x) 2? x

x ?1 7.将函数 y ? ( ) 的图象向右平移 2 个单位且向上平移 1 个单位得函数 y ? g ?x ? 的图象,

1 4

则 g ?x ? =

x ?1 ▲ . g ( x) ? ( ) ? 1

1 4

8.已知 a ? log 2 0.3 , b ? 2 0.3 , c ? 0.30.2 ,则 a, b, c 三者从大到小的关系是 ▲ .b ? c ? a 9.已知函数 f ?n ? ? ?

?1, n ? 0
? ?n ? f ?n ? 1?, n ? N

, 则 f ?6? 的值是

▲ .720

10.已知函数 y ? ln( x ? 1) ? 2 x ? 9 存在唯一零点 x0 ,则大于 x0 的最小整数为 11. 对任意实数 x , 若不等式 | x ? 2 | ? | x ? 1 |? k 恒成立, 则实数 k 的取值范围是

▲ .4 ▲ . <1 k

12.已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在 ?0,??? 上是增函数,且 f ( ) ? 0 ,则不等式

1 2

f (log2 x ) ? 0 的解是

▲ . ? 0,

? ? ?

2? ?? 2 ? ?

?

2, ??

?

13.设函数 f ( x) ? log a x(a ? 0 , a ? 1) ,若 f ( x1 x2 x3 ??? x10 ) ? 30 ( x1 , x2 , ???, x10 全为正数), 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? ??? ? f ( x10 ) 的值等于 14.下列几个命题: ①方程 x ? (a ? 3) x ? a ? 0 的有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 ; ②若 f (x) 的定义域
2

▲ .15

为 0,1 ,则 f ( x ? 2) 的定义域为 ? ?2, ?1? ;③函数 y ? log2 (? x ? 1) ? 2 的图象可由

? ?

y ? log2 (? x ? 1) ? 2 的图象向上平移 4 个单位,向左平移 2 个单位得到;④若关于 x 方程
x 2 ? 2 x ? 3 ? m 有两解,则 m ? 0或m ? 4 ;⑤若函数 f (2 x ? 1) 是偶函数,则 f (2 x) 的图
象关于直线 x ?

1 对称;其中正确的有 2

▲ .① ②④ ⑤

二、解答题:本大题共 6 小题;共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) (1) 计算 log2.5 6.25 ? lg 0.01? ln

e ? 21?log2 3 ;

2 3 x ? 2 ?3 x (2)设 x ? log 2 3, 求 x 的值. 2 ? 2?x
15.解:(1)原式= 2 ? 2 ?

1 13 ? 2 ? 3 = ;………………………………………………7 分 2 2

x (2)∵ x ? log2 3, ∴ 2 ? 3 ………………………………………………………………2 分

x x 33 ? 3?3 91 2 3 x ? 2 ?3 x ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? . ∴ x = x x ?1 3 ? 3?1 9 2 ? 2?x 2 ? ?2 ? 3 ?3

…………………………………5 分

16. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? {x | 2 ? x ? 10}, C ? {x | x ? a} ; 求: (1) A ? B ; (2) (C R A) ? B ; (3) 若 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围. 16.解: (1) A ? B ? {x | 2 ? x ? 10} ; ………………………………………………4 分 (2) (CR A) ? B ? {x | 2 ? x ? 3,7 ? x ? 10} …………………………………………5 分 (3 ) a ? 3 …………………………………………………………………………………5 分 17. (本小题满分 15 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a 的值; ( 2)证明:函数 f (x) 在 R 上是减函数; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2

?2 x ? a 是奇函数. 2 x ?1 ? 2

17.解: (1)因为 f ( x ) 是奇函数,且定义域为 R,所以 f (0) ? 0 ,………………2 分

?

a ?1 1 ? 2x ? 0 ? a ? 1? f ( x) ? ………………………………………………2 分 2?2 2 ? 2 x ?1 1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 2?2 2 2 ?1
……………………1 分

(2)证明:由(Ⅰ)知 f ( x) ? 令 x1 ? x 2 ,则 0 ? 2
x1

? 2 x2 , 2 x2 ? 2 x1 ? 0 ………………………………………2 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 1 2 x2 ? 2 x1 ? x2 ? >0,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 x1 2 2 x1 ? x2
………………………………………3 分
2 2

?函数 f (x) 在 R 上为减函数

(3)? f ( x ) 是奇函数,因 f ( x ) 为减函数, f (t ? 2t ) ? f (k ? 2t )

? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 ,

………………………………………………2 分

即 3t 2 ? 2t ? k ? 0 对一切 t ? R 恒成立,

1 ? ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 3
18. (本小题满分 15 分)

………………………………………………3 分

已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) , g ( x) ? log a (4 ? 2 x) ( a ? 0 , 且 a ? 1 ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (Ⅱ)求使函数 f ( x) ? g ( x) 的值为正数的 x 的取值范围. 18.解: (Ⅰ)由题意可知,

f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 1) ? loga (4 ? 2 x) ,
由? ∴

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 , 解得 ? , ?x ? 2 ?4 ? 2 x ? 0
?1 ? x ? 2 ,

……………3 分 ……………2 分 ……………1 分

∴函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域是 (?1, 2) . (Ⅱ)由 f ( x) ? g ( x) ? 0 ,得

f ( x)? g ( x, )
① ……………2 分

即 log a ( x ? 1) ? log a (4 ? 2 x) ,

当 a ? 1 时,由①可得 x ? 1 ? 4 ? 2 x ,解得 x ? 1 , 又 ?1 ? x ? 2 ,∴ 1 ? x ? 2 ; 当 0 ? a ? 1 时,由①可得 x ? 1 ? 4 ? 2 x ,解得 x ? 1 , 又 ?1 ? x ? 2 ,∴ ?1 ? x ? 1 . 综上所述:当 a ? 1 时, x 的取值范围是 (1, 2) ; 当 0 ? a ? 1 时, x 的取值范围是 (?1,1) . 19. (本小题满分 16 分)

……………3 分 ……………3 分

……………1 分

某特许专营店销售北京奥运会纪念章,每枚进价为 5 元,每销售一枚这种纪念章还需向北京 奥组委交特许经营管理费 2 元,预计这种纪念章以每枚 20 元的价格销售时该店一年可销售

2000 枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元的基础上每减少一元则增加
销售 400 枚,每增加一元则减少销售 100 枚,现设每枚纪念章的销售价格定为

x 元.

(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y (元)与每枚纪念章的销售价格

x 的函数关系式(写出这个函数的定义域);
(2 )当每枚纪念章销售价格 x 为多少时,该特许专营店一年内利润 y (元)最大,并求出 这个最大值. 19.解: (Ⅰ)依题意 y ? ?

?[2000 ? 400(20 ? x)]( x ? 7), 0 ? x ? 20 ?[2000 ? 100(20 ? x)]( x ? 7), 20 ? x ? 40 ), 07? x ? 2 0 7), 2 0? x ? 4 0
……………………………………6 分



? ? ?4 0 0 ( 2 5x x ) ( y?? ? ? ?1 0 0 ( 4 0x x ) (

此函数的定义域为 (0, 40) ;

……………………………2 分

?400[?( x ? 16)2 ? 81], 0 ? x ? 20 ? (Ⅱ) y ? ? 27 2 1089 , 20 ? x ? 40 ?100[?( x ? ) ? ? 4 4
当 0 ? x ? 20 ,则当 x ? 16 时, ymax ? 32400 (元) ; 当 20 ? x ? 40 ,则当 x ?

………………………2 分

………………………2 分 ………………………2 分 …………2 分

47 时, ymax ? 27225 (元) ; 2

综合上可得当 x ? 16 时,该特许专营店获得的利润最大为 32400 元. 20. 本小题满分 16 分) ( 函数 f ( x ) ? 2 x ?

a 的定义域为 ? 0,1? ( a 为实数) . x

⑴当 a ? ?2 时,求函数 y ? f ( x ) 的最小值; ⑵若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; ⑶求函数 y ? f ( x ) 在 x ∈ ? 0,1? 上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值. 20.解: (1)函数 y ? f ( x ) ? 2( x ? ∴ y ? f ( x ) 的最小值为 f (1) ? 4

1 ) 在 (0,1] 上单调递减, x
…………………………………………4 分

( 2)若函数 y ? f ( x ) 在 定义域上是减函 数,则任取 x1 , x 2 ? (0,1] 且 x1 ? x 2 都 有

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立, 即 ( x1 ? x2 )(2 ? x a ) ? 0 x
1 2

只要 a ? ?2 x1 x 2 即可, ………………………………………………………………3 分 由 x1 , x 2 ? ( 0.1] ,故 ?2 x1 x 2 ? ( ?2,0) ,所以 a ? ?2 , 故 a 的取值范围是 ( ?? ,?2] ;………………………………………………………… 3 分 (3)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 (0,1] 上单调增,无最小值, 当 x ? 1 时取得最大值 2 ? a ; ………………………………………………2 分

由(2)得当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x ) 在 (0,1] 上单调减,无最大值, 当 x ? 1 时取得最小值 2 ? a ; ……………………………………………………2 分

当 ?2 ? a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 (0, 当x?
?2a 2

?2a ] 上单调减,在 [ 2

?2a 2

, 1] 上单调增,无最大值

时取得最小值 2 ? 2a ………………………………………………………2 分

通州区三余中学 2009~2010 学年(上)期中考试卷

高一数学答案纸
一.填空题:( 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把结果直接填在 题中横线上)

1.___________ 2.__________ 3._____________ 4.____________
线

5.___________ 6.__________ 7.____________ 9.___________ 10._________ 11.___________ 13.__________ 14.___________

8.____________ 12.___________

二.解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.)

15.

姓名 学号 封

16.
班级 密

17.

18.

班级 封 线

学号

姓名



19.

20.


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