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陕西省咸阳市长武县中学2017-2018年度数学必修一北师大版必修1第三章指数函数和对数函数水平测试

陕西省咸阳市长武县中学 2017-2018 年度数学必修一北师大版必修 1 第三章指数函数和对数 函数水平测试有答案.doc

指数函数、对数函数测试卷

一、选择题:

? ? ? ? 1、若集合 S ? y y ? 3x , x ? R ,T ? y y ? x2 ?1, x ? R , 则 S ?T 是(

)。

AS

BT

C?

D 有限集

2、已知 0 ? a ? b ? 1, 设 a a , ab , ba , bb 最大的一个值是 M ,最小的一个值是 N ,则( )。

A M ? aa, N ? bb B M ? bb, N ? aa C M ? ab, N ? ba D M ? ba, N ? ab

3、函数 y ? 2x ? 2 的图象是( )。

y 2

0

1

x

-1

A

y 2
0 1x -1 B

y 2

0

1

x

-1

y 2
-1 0 1 x -1

C

D

4、已知 y ? log a (2 ? ax) 在 ?0,1?上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是(



A (0,1)

B (1, 2) C (0, 2)

D (2, ? ? )

5、已知函数 f (x) 的图象与函数 g(x) ? 2x ?1的图像关于点(0,1)对称,则 f (x) 等于( )

A ?2x ? 3

B ?(1)x ? 3 2

C 2x ?1

D (1)x ?1 2

6、如果方程 lg2 x ? (lg 7 ? lg 5) lg x ? lg 7 lg 5 ? 0 的两根为?, ? ,则? ? ? 的值是( )

A、 lg 7 ? lg 5

B、 lg 35

C、35

D、 1 35

7 、 设 f ( x)? l oa g x( a ? 0 且 a ? 1 ), 若 f (x1) ? f (x2 ) ? … … + f (xn ) = 1 , 则

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f (x12 ) ? f (x22 ) ? f (x32 ) ? ……+ f (xn2 ) 的值等于( )

1
A
2

B1

C2

D 2 loga 2

8、在 ???,0? 上为减函数的是( )

(A) y ? x x ?1
(C) y ? 1? x2

(B) y ? log0.5 ??x?
(D) y ? x2 ? 2x

二、填空:

1、 函数 f (x) ? (a2 ? 2)x 在 (??, ??) 上是减函数, a 的取值范围是



2、用清水洗衣服。若每次能洗去污垢的 3 ,要使存留的污垢不超过 1%,则至少要清洗的次数 4





3、 函数 f (x) ? loga x(a ? 0且a ? 1) ,满足 f (9) ? 2 ,则 f ?1(log9 2) ?



4、给出下列四个命题,其中正确命题的序号是



(1) 函数 y ? ax (a ? 0且a ? 1) 与函数 y ? loga ax (a ? 0且a ? 1) 的定义域相同;

(2) 函数 y ? x3 和 y ? 3x 的值域相同;

(3)

函数

y

?

1 2

?

1 2x ?1



y

?

(1? 2x )2 x ? 2x

都是奇函数;

? (4) 函数 y ? (x ?1)2 与 y ? 2x?1 在区间 0, ??? 都是增函数。
三、问答题
1、已知函数 f (x) ? log2 (x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1? 3?? 上是单调递减函数,求实数 a 的取值
范围。
2、已知函数 f (x) ? loga (a ? ax )(a ? 0) 。

(1)求 f (x) 的定义域、值域;

(2)判断 f (x) 的单调性并证明之。

(3)解不等式 f ?1(x2 ? 2) ? f (x) 。

3、是否存在实数 a ,使得 f (x) ? loga (ax ? x) 在区间?2, 4? 上是增函数?若存在,求出 a 的
取值范围。

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答案: 一、选择:
1、A 解:由于 S ? ?y y ? 0?,T ? ?y y ? ?1?,?S ? T,? S ?T ? S 。

2、D 3、B

解:? 0 ? a ? b ? 1, ?aa ? ab ? 0,ba ? bb ? 0 ,而 aa ? ba ? ( a )a , b
0 ? a ? 1?0 ? ( a )a ? 1,? aa ? ba , 同理可得, ab ? bb 。 b

0 ? a ? 1, b

解:

y

?

2x

?

2

??2x ? 2(x ? 1)

=

? ???2

x

?

2( x

?

1)

故选

B

4、B 解:由 loga u 知 a ? 0 ,因此 u ? 2 ? ax 单减函数,要使复合函数 y ? loga (2 ? ax) 递

减,则 y ? loga u 必递增,所以 a ?1,故排除 A、C,又因为当 a ? 2 ,y ? log2 (2 ? 2x) 在 x ?1

时没意义,但原函数 x 的取值范围是?0,1? ,所以 a ? 2,因此排除了 D,故选 B。

5、B 解:设 M (x, y) 为 f (x) 的图象上任一点,它关于(0,1)对称点为 (?x, 2 ? y) ,把它

代入 g(x) ? 2x ?1,得 2 ? y ? 2?x ?1即 y ? ?(1 )x ? 3 。故选 B。 2

6、D

解: ?, ? 是方程的根,解出 lg x ? ? lg 7或 lg x ? ? lg 5 ,从而 ? ? 1 , ? ? 1 , 75

?? ? ? ? 1 。故选 D 35

7、C

解:f (x1) ? f (x2 ) ?……+f (xn )=loga x1 ? loga x2 ?……+loga xn=loga (x1 ? x2……xn )=1

? x1 ? x2……xn ? a , ? f (x12 ) ? f (x22 ) ? …… ? f (xn2 ) = loga (x1 ? x2……xn )2 =

loga a2 ? 2 ,故选 C。

8、A

解: y ? x ? 1 ? 1 . 故选 A。 x ?1 x ?1

二、填空:

1、 解: 0 ? a2 ? 2 ? 1, 2 ? a2 ? 3,? 2 ? a ? 3或 ? 3 ? a ? ? 2

2、4 解:设至少要清洗 x 次,则由题意得 (1? 3)x ? 1 ,取对数得 x lg 1 ? lg 1 ,即

4 100

4 100

x ? 1 ? 3.321。 x 是整数,? x 的最小值是 4。 lg 2

3、解: f ?1(log9 2) ? 2

f ( 9 ?) ,2?loga 9 ? 2,?a ? 3, ? f (x) ? log3 x ,由互为反

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函数的性质,设 f ?1(log9 2) ? t ,则 f (t) ? log3 t ? log9 2 ,?t ? 2 ,即 f ?1(log9 2) ? 2 。

4、 解:(1)(3) (1)正确,定义域都是 R,(2)错, y ? x3 的值域是 R,而 y ? 3x 的值

? 域是 y y ? 0? ;(3)正确,都是奇函数;4,错, y ? (x ?1)2 在?0, ??? 不单调。

三、解答题:

1、解:令 g(x) ? x2 ? ax ? a ,则 g(x) ? (x ? a )2 ? a ? a2 ,

2

4

由以上知 g(x) 的图象关于直线 x ? a 对称且此抛物线开口向上。 2

因 为 函 数 f (x) ? log2 g(x) 的 底 数 2 > 1 , 在 区 间 (??,1? 3?? 上 是 减 函 数 , 所 以

g(x) ? x2 ? ax ? a 在区间 (??,1? 3?? 上也是单调减函数,且 g(x) ? 0 。

? ???1 ?

3?a 2

??g(1? 3) ? 0



??a ?

?

2

?

2

3,

??(1? 3)2 ? a(1? 3) ? a ? 0

? 故 a 的取值范围是 a 2 ? 2 3 ? a ? 2? 。

解得 2 ? 2 3 ? a ? 2 。

2、解:(1)要使函数 f (x) 有意义,必须满足 a ? ax ? 0 ,即 ax ? a 。

a ? 1,? x ? 1。

又 0 ? a ? ax ? a,? f (x) ? loga (a ? ax )(a ? 1) 的值域为 (??,1) 。 (2)设 x1 ? x2 ? 1,则 ax1 ? ax2 ? a 。?a ? ax1 ? a ? ax2 ? 0 。
故 loga (a ? ax1 ) ? loga (a ? ax2 ) 。 即 f (x1) ? f (x2 ) ,所以 f (x) 为 (??,1) 上的减函数。 (3) 设 y ? loga (a ? ax ) ,则 a ? ax ? ay , ax ? a ? a y , x ? loga (a ? a y ),? f ?1(x) ? loga (a ? ax ), x ? (??,1) , 由 f ?1(x) ? f (x) 及 f ?1(x2 ? 2) ? f (x) ,得 f (x2 ? 2) ? f (x) 。

f

(

x)

为(

??,1

)上的减函数。?

? ?

x

2

?

2

?

x

解得

?1

?

x

?

1.

?x ? 1,

3。解:设 t ? x ,则 ax ? x ? at2 ? t(t ? 0) 。

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由对数定义, at2 ? t ? at(t ? 1) ? 0 , a ? 0,t ? 0,?t ? 1 .

a

a

又U (t)

?

at 2

?t



?1 ?? 2a

,

??

? ??

上是增函数,而

1 a

?

1 2a

,? U (t)



? ??

1 a

,

??

? ??

上是增函数,

当 2 ? x ? 4 时, 2 ? t ? 2 ,要使原函数在?2, 4? 上递增,即要 loga (at2 ? t) 在 ?? 2, 2?? 上递增。

?a ?1且 ??

2

,

2??

?

(

1 a

,

??)



a

?1

。即存在实数

a

,只要

a

?

(1,

??)

即可满足要求。

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