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河北省保定市高阳中学2014届高三上学期第九次周练数学试题 Word版含答案


高三上学期第九次周练数学试题

一、选择题: 1.用反证法证明命题“ 2+ 3是无理数”时,假设正确的是( A.假设 2是有理数 B.假设 3是有理数 C.假设 2或 3是有理数 D.假设 2+ 3是有理数 2.已知 ai,bi∈R(i=1,2,3,…,n),a12+a22+…+an2=1,b12+b22+…+bn2=1,则 a1b1+a2b2+…+anbn 的最大值为( A.1 B.2 ) C.n 2 ) D.2 n )

3.下列符合三段论推理形式的为( A.如果 p?q,p 真,则 q 真 B.如果 b?c,a?b,则 a?c C.如果 a∥b,b∥c,则 a∥c D.如果 a>b,c>0,则 ac>bc

4.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列性 质,你认为比较恰当的是( )

①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形, 相邻两个面所成的二面角都相等; ③各面都是面积相等 的三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等. A.① B.② C.①②③ ) D.③

5.在下列函数中,最小值是 2 的是( x 2 A.y= + 2 x B.y= x+2 (x>0) x+1 1 π ,x∈(0, ) sinx 2

C.y=sinx+ D.y=7x+7

-x

1 6.一元二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为{x|-1<x< },则 ab 的值为( 3 A.-6 B.6 C.-5 ) D. 5 D.5

)

1 1 7.已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是( a b A.2 B.2 2 C.4

?y≥0, ? 8.在直角坐标系中,若不等式组?y≤2x, ?y≤k(x-1)-1, ?
取值范围是( ) B.(-1,2)

表示一个三角形区域,则实数 k 的

A.(-∞,-1) C.(-∞,-1)∪(2,+∞)

D.(2,+∞)

9.如果 a>b,给出下列不等式,其中成立的是( 1 1 (1) < ; a b (2)a3>b3;

)

(3)a2+1>b2+1; (4)2a>2b. A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(2)(4)

? (x>0), ?-3 10.设函数 f(x)=? 2 若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的不等式 ? ?x +bx+c (x≤0),

f(x)≤1 的解集为(

) B.[-3,-1] D.[-3,+∞)

A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) C.[-3,-1]∪(0,+∞)

2 1 11.若直线 2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆 x2+y2-2x-4y-6=0,则 + 的最小值 a b 是( ) A.2- 2 B. 2-1 C.3+2 2 D.3-2 2

12.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存 货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 km 处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( A.5 km 处 C.3 km 处 二、填空题: 13.如下图,对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”: B.4 km 处 D.2 km 处 )

仿此,52 的“分裂”中最大的数是

,53 的“分裂”中最小的数是

.

S△PA′B′ PA′·PB′ VP-A′B′C′ 14.由图①有面积关系: = ,则由图②有体积关系: =__________. PB S△PAB PA· VP-ABC

1 1 1 15.已知等比数列{an}中,a2>a3=1,则使不等式?a1-a ?+?a2-a ?+?a3-a ?+…+ ? ? ? ? ? ?
1 2 3

?an- 1 ?≥0 成立的最大自然数 n 是__________. an? ? ?x-y-2≤0, ? 16.设实数 x,y 满足?x+2y-5≥0, ?y-2≤0, ?
y x 则 u= - 的取值范围是__________. x y

三、解答题: 17.(10 分)在三角形中有下面的性质: (1)三角形的两边之和大于第三边; (2)三角形的中位线等于第三边的一半; (3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形的内心; 1 (4)三角形的面积为 S= (a+b+c)r(r 为三角形内切圆半径,a、b、c 为三边长). 2 请类比出四面体的有关相似性质. b2 a2 18.(12 分)已知 a>0,b>0,求证 + ≥a+b. a b 19.(12 分)为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在 2009 年举行促销活动,经调查测

k 算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 t(t≥0)万元满足 x=4- (k 为 2t+1 常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是 1 万件.已知 2009 年生产该产品的固 定投入为 6 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元,厂家将每件产品的销售价格定 为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分). (1)将该厂家 2009 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数; (2)该厂家 2009 年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大?

20.(12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n= 1,2,3,…. (1)求 a1,a2; (2)猜想数列{Sn}的通项公式.

? 21. 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的一个零点是-1, (12 且满足[f(x)-x]·f(x)- ?
≤0 恒成立. (1)求 f(1)的值; (2)求 f(x)的解析式;

x2+1? 2 ?

答案: 1、D 2、A 3、B 4、C 5、D 6、B 7、C 8、A 9、D 10、C 11、C 12、A 13、9 21 14、

PA? ? PB ? ? PC ? PA ? PB ? PC

15、5 8 3 16、?-3,2? ? ? 17、(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; (2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一;新 课](3)四面体的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心; 1 (4)四面体的体积为 V= (S1+S2+S3+S4)r(r 为四面体内切球的半径,S1、S2、S3、S4 为 3 四面体的四个面的面积). b2 a2 b2 a2 18、 + -(a+b)=? a -a?+? b -b? ? ? ? ? a b = (b+a)(b-a) (a+b)(a-b) + a b

1 1 1 =(a-b)(a+b)?b-a?= (a-b)2(a+b), ? ? ab b2 a2 ∵ a>0,b>0,∴ + ≥a+b. a b k 3 19、(1)由题意有 1=4- ,得 k=3,故 x=4- . 1 2t+1 6+12x ∴y=1.5× × x-(6+12x)-t x 3 =3+6x-t=3+6?4-t-1?-t

?

?

=27-

18 -t(t≥0). 2t+1

(2)由(1)知:

? 9 +?t+1?? 18 y=27- -t=27.5-? 1 ? 2??. t+ 2t+1 2 ? ?
由基本不等式 1 +?t+ ?≥2 1 ? 2? t+ 2 9 9 ? 1? ·t+ =6, 1 ? 2? t+ 2

9 1 当且仅当 =t+ , 1 2 t+ 2 即 t=2.5 时,等号成立, 故 y=27- 18 -t 2t+1

=27.5-?

? 9 +?t+1?? 1 ? 2??≤27.5-6=21.5. t+ ? 2 ?

当 t=2.5 时,y 有最大值 21.5.所以 2009 年的年促销费用投入 2.5 万元时,该厂家利润 最大. 20、(1)当 n=1 时, x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= . 2 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1 1 于是?a2-2?2-a2?a2-2?-a2=0, ? ? ? ? 1 解得 a2= . 6 (2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, Sn2-2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0① 1 1 1 2 由(1)得 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 n 由①可得 S3= ,由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,…. 4 n+1 x2+1 2x 21、(1)由均值不等式得 ≥ =x, 2 2 x2+1? ? 若[f(x)-x]·f(x)- ≤0 恒成立, 2 ? ?

x2+1 即 x≤f(x)≤ 恒成立, 2 12+1 令 x=1 得 1≤f(1)≤ =1,故 f(1)=1. 2 (2)由函数零点为-1 得 f(-1)=0,即 a-b+c=0, 1 又由(1)知 a+b+c=1,所以解得 a+c=b= . 2 1 1 又 f(x)-x=ax2+ x+c-x=ax2- x+c, 2 2 1 因为 f(x)-x≥0 恒成立,所以 Δ= -4ac≤0, 4 1 因此 ac≥ ① 16 1 于是 a>0,c>0.再由 a+c= , 2 得 ac≤? c+a?2 1 ? 2 ? =16②

1 1 故 ac= ,且 a=c= , 16 4 1 1 1 1 故 f(x)的解析式是 f(x)= x2+ x2+ x+ . 4 2 2 4


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