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2014届高三高考数学解题方法专题复习学案:概率交汇题赏析

概率交汇题赏析 概率是高中数学的重要内容,是新课标教材的一大亮点和热点.概率知识与其他知识融 合、渗透,情景新颖.下面分类赏析概率的交汇题,以提高同学们的数学应用意识和创新思 维能力. 一、概率与集合的交汇 例 1 已知集合 A={2,8,14,20,26,32} ,B={1,2,4,8,16,32} ,C=A∪B, 任取 x∈C,则 x∈A∩B 的概率是_______. 分析:先用集合的知识求出 A∪B 及 A∩B 中元素的个数,再利用概率知识来解. 解:依题意,知 C=A∪B={1,2,4,8,14,16,20,26,32} ,即基本事件总数为 9; [] [] A∩B={2,8,32} ,所含基本事件数为 3,故 x∈A∩B 的概率 P ? 3 1 ? . 9 3 二、概率与函数的交汇 例 2 多向飞碟是奥运会的竞赛项目,它是由抛靶机把靶(射击的目标)在一定范围内从不 同方向飞出,每抛出一个碟靶,都允许运动员射击两次.一运动员在进行多向飞碟射击训练 时,每一次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离 s(米)成反比.现有一碟靶抛出后 离运动员的距离 s(米)与飞行时间 t(秒)满足 s ? 16(t ? 1)(0 ≤ t ≤ 4) .若运动员在碟靶 飞出 0.5 秒时进行第一次射击,命中的概率为 0.8,若他发现没有命中,则通过迅速调整, 在第一次射击后再经过 0.5 秒进行第二次射击,求第二次射击命中此碟靶的概率. 分析:随机现象中的数量规律建立在函数关系基础上,可用函数的观点解决. [] 解:设 P ? k k (k 为常数) ,则 P ? (0≤t≤4) , s 15(t ? 1) 6 . 5(t ? 1) 依题意知当 t=0.5 时, P 1 =0.8,则 k=18,即 P ? 所以当 t=0.5+0.5=1 时, P2 ? 6 ? 0.6 . 5 ? (1 ? 1) 三、概率与数列的交汇 例 3 有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正、反面的概率都是 0.5,棋盘上标有第 0 站、第 1 站、第 2 站、…、第 100 站.一枚棋子开始在第 0 站,棋手每掷一次硬币,棋子向 前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳 到第 99 站(胜利大本营)或第 100 站(失败大本营)时,该游戏结束,设棋子跳到第 n 站 的概率为 Pn . (1)求 P0,P 1,P 2; (2)求证: Pn ? Pn ?1 ? ? 1 ( Pn ?1 ? Pn ? 2 ) ; 2 (3)求玩该游戏获胜的概率. 分析:运用递推数列转化为等比数列模型求解. 第 1 页 共 2 页 解: (1)依题意,得 P0 ? 1,P 1 ? (2)设棋子跳到第 n 站(2≤n≤99)有两种可能:第一种,棋子先到第 n ? 2 站,又掷出反 1 1 1 1 3 ,P2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4 1 1 Pn ? 2 ;第二种,棋子先到第 n ? 1 站,又掷出正面,其概率为 Pn ?1 . 2 2 1 1 由于以上两种可能是互斥的,所以 Pn ? Pn ?1 ? Pn ? 2 , 2 2 1 即 Pn ? Pn ?1 ? ? ( Pn ?1 ? Pn ? 2 ) . 2 1 1 (3)由(2)知数列 {Pn ? Pn ?1} 是首项为 P ,公比为 ? 的等比数列. 1?P 0 ? ? 2 2 面,其概率为 于是有 P 1?P 0 ? ? ,P 2 ?P 1 ? ?? [来源:] 1 2 ? 1? ? 1? ? 1? ? ,P3 ? P2 ? ? ? ? , ,P99 ? P98 ? ? ? ? . ? 2? ? 2? ? 2? 2 99 100 2? ?1? ? ? 1? ? ? ? ? ? P0 ? ?1 ? ? ? ? . 3? ? 2? ? ? ?2? ? 2 3 90 把以上各式相加,得 ? 1? ? 1? P99 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? 2? ?1? ?1 ? ? ? 3? ? ?2? 100 因此,获胜的概率为 ? ?. ? ? 四、概率与立体几何的交汇 例 4 正方体 ABCD ? EFGH 中,平面 ? 垂直于正方体的对角线 AG ,与正方体相交,则 截面为三角形的概率为_______. 分析:概率与几何体的交汇问题,实际可归结为几何概型问题.要解此问题需把握:①截面 何时为三角形?②需通过什么来确定所求的概率?怎样求? [] 解:将 AG 均分为三段,易证当平面 ? 与三段中的两边的两段相交时,截面为三角形;当 ? 与三段中的中间一段相交时,截面不是三角形.故所求的概率为 2 . 3 第 2 页 共 2 页