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高中数学 《相似三角形的判定》教案 新人教A版选修4-1


相似三角形的判定
【目的要求】
1.使学生理解相似三角形和相似比的概念,掌握相似三角形的判定定理,会灵活运用这 些定理解决一些简单的证明和计算问题。会按已知相似比作一个三角形与已知三角形相似。 2. 通过相似三角形判定定理的学习,要求了解类比方法的作用,认识类比方法是获取新 知识的一种重要方法。

【知识要点】
一、相似三角形 1.相似三角形定义: 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法:用符号“∽”表示,读作“相似于” 。 3.相似三角形的相似比: 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三 角形相似。 5.相似三角形的判定定理: (1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相 似, (简叙为两角对应相等两三角形相似) 。 (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么 这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。 ) (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相 似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。 ) 6.直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例,那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2

【重点和难点分析】
重点: 1.相似三角形的有关概念及相似三角形的基本定理。 (1) 相似三角形的定义中突出的一个特征是“形状相同但大小不一定相同” ,这是和全 等三角形的重点区别,以下表中我们也可以看出:

-1-





对应角

对应边

全 等 三 角 形

∠A=∠A′ ∠B=∠B′ ∠C=∠C′

AB=A′ B′ AC=A′ C′ BC=B′ C′

相 似 三 角 形

∠A=∠A′ ∠B=∠B′ ∠C=∠C′ (K 为任意正实数)

全等三角形是相似三角形的一种特殊情况,即相似比为 1。 (2) 表示两个三角形相似时注意通常要把表示对应顶点的字母写在相应的位置上,这样 比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 例如:图 2 图中 A 对应着 P,B 对应着 M,C 对应着 N。因此两个三角形相似应写为△ABC∽

△PMN。 (3) 相似三角形的基本定理,它是相似三角形的一个判定定理,也是后面学习的相似三 角形的判定定理的基础,这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ ”型。 在利用定理证明时要注意 A 型图的比例

,每个比的前项是同一个三 角形的三条边, 而比的后项是另一个三角形的三条

对应边,它们的位置不能写错,尤其是要防止写成

的错误。

2.相似三角形的判定定理。 (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下: 类型 斜三角形 直角三角形

-2-

全等三角形的判定 相似三角形 的判定

SAS
两边对应成 比例夹角相 等

SSS
三边对应成 比例

AAS(ASA)
两角对应相 等

HL
一条直角边 与斜边对应 成比例

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的 基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 (3)在掌握相似三角形的判定方法的基础上我们再看 Rt△相似判定的特殊性。 A.利用一对锐角来判定(Rt△两锐角互余及等角的余角相等) 。 B.利用两对对应边成比例(勾股定理) 。 C.利用双垂直(Rt△斜边上高线) 。 这就是从一个基本问题出发运用类比,联想特殊到一般反过来指导特殊的思维方法。 从而发散我们的思维。提高我们分析问题和解决问题的能力。 3. 相似三角形的基本图形 Ⅰ.平行线型:即 A 型和 型、双 A 型。

A 型 Ⅱ.相交线型: A.具有一个公共角, 在△ABC 与△ADE 中∠A 是它们的公共 角,且 BC⊥AC,DE⊥AB。 B.具有一条公共边和一个公共角 在△ABC 与△DBA 中 AB 是它们的公共边, 且∠BAD=∠C,B 是它们的公共角。 C.具有对顶角 在△ABC 中 AD⊥BC,BE⊥AC 则使△AME 与△BMD 中∠1 与∠2 是对顶角



4. 掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明 三角形相似及比例式或等积式。

【典型例题】
例一、已知:如图 9 在△ABC 中,D、E 分别是 BC、AB 上的任一点, △EFM∽△CDM 求证:△AEF∽△ABD。 分析:利用相似三角形的对应边或比例或对应角相等为条件,证明其它三 角形相似,即已知的△EFM 与△CDM 属 型,求证的△AEF 与△ABD 属 A 型。EF ∥BC 是利用△EFM∽△CDM 推出而且又是△AEF∽△ABD 的条件。

-3-

证明:∵△EFM∽△CDM ∴∠1=∠2 ∴EF∥BC ∴△AEF∽△ABD 例二、已知:如图 10,在 Rt△ABC 中∠ACB=90°, CD⊥AB,E 为 AC 的中点,ED、CB 延长线交于一点 F。 求证:AC·DF=BC·CF 分析:1.求证等积式一般先改写成等比式。 2.从求证的结论看四条线段分别在△ABC、△DCF 中但很 明显两个三角形不相似,在这样的情况下一般需要找一个过渡比(或 叫做中间比)通过证两对三角形相似来证明。 证明:在△ABC 与△CBD 中 ∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∠B=∠B ∴△ABC∽△CBD



,∠A=∠1

∵E 是 AC 中点,CD⊥AB ∴AE=EC=ED ∴∠A=∠2 ∵∠2=∠3、∠A=∠1 ∴∠3=∠1 在△FBD 与△FDC 中 ∵∠F=∠F、∠3=∠1





∴ ∴AC·DF=BC·CF 例三、已知:如图 11,△ABC 中 M、E 分别是 AC、AB

-4-

上的点,ME、CB 延长线交于一点 D,且



求证:AM=DB 分析:当图形中不存在明显的成比例线段的基本图形时,应考虑添加适当的辅助线 构造出基本图形创造代换条件。 证明:过 M 作 MN∥DC





∴ ∴AM=DB 例四、已知:AD 是 Rt△ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°, EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M,EF、BC 的延长线交于一点 N。 求证:(1)△AME∽△NMD 2 (2)ND =NC·NB 分析:1.本题要应用“等量代替”公理,线段的等量代替是证 等积式或等比式的桥梁,体现在: (1)AD 是∠CAB 的平分线,∠1=∠2,∠1,∠N 是同角余角,得∠1=∠N,∠2=∠N 从而解决△AME∽△NMD 证明。 (2) EF 所在直线是 AD 的垂直平分线,通过添加辅助线连结 NA,NA=ND,使 2 证明 ND =NC·NB,变为证 NA =NC·NB。 证明:(1)连结 NA ∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠1=∠2 ∵NE 是 AD 的垂直平分线 ∴∠5=∠6=90°,NA=ND ∵∠ACB=90° ∴∠1=∠4 ∴∠2=∠4 ∴△AME∽△NMD
2

-5-

(2) ∵NA=ND,NM⊥AD ∴∠3=∠4 ∴2∠4=2∠2,即∠ANC=∠CAB ∴∠7=∠B,∠ANC=∠ANC ∴△NAC∽△NBA

∴ ∴NA =NC·NB 2 即 ND =NC·NB 例五、已知:如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D, E 是 AC 上一点,CF⊥BE 于 F。 求证:EB·DF=AE·DB 分析:1.求证等积式一般先将其化为等比式,使问题转化为求证等比式, 再将求证等 比式转化为求证两个三角形相似。 2. 证明△ABE∽△FBE 的条件; 已具备的条件是∠ABE=∠FBD,再证一对对应角相等的条件难找, 因此改 证夹这对角的四条边成比例。 证明:∵AC⊥BC,CD⊥AB ∴∠BDC=∠ACB=90° ∴∠B=∠B,△CDB∽△ACB
2

∴ 即 BC =AB·DB ∵CF⊥BE ∴∠EFC=∠ECB=90° ∵∠2=∠2 ∴△BCF∽△BEC
2

∴ 即 BC =BE·BF ∵AB·DB=BE·BF
2

-6-

即 ∴∠3=∠2 ∴△BAE∽△BFD

∴ ∴

BE

·

DF=AE

·

BD

-7-


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