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浙江省五校2010—2011学年度高三第一次联考数学试题(文科)


浙江省五校 2010—2011 学年度高三第一次联考

数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间为 120 分钟[来源:学.科.网] 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合要求的. 1. 已知集合 A = {x ∈ R y = lg(4 ? x )} , B = { y y = 3 , x > 0} 时,则 A I B = (
2 x



A. {x ? 2 ≤ x ≤ 1} C. {x x > 2}

B. {x 1 < x < 2} D. {x ? 2 < x < 1或x > 2} ( )

2.已知 p , q 为两个命题,则“ p 是真命题”是“ p ∨ q 是真命题”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3.已知等比数列 {an } 中, a1 = 1 ,且 4a2 , 2a3 , a4 成等差数列,则 a2 + a3 + a4 等于( A.1 4.已知曲线 y = B.4 C.14 D.15 (



1 3 4 x + ,则曲线在点 P ( 2, 4 ) 处的切线方程为 3 3
B. 4 x ? y ? 4 = 0 D. 2 x ? y = 0



A. 4 x + y ? 12 = 0 C. 2 x + y ? 8 = 0

5.如图是某程序框图,那么该程序可用来计算下列 哪个算式的值? ( ) A. 1 + 2 + 3 + L + 100 B. 1 + 2 + 3 + L + 99 C. 1 + 2 + 3 + L + 101 D. 1 + 3 + 5 + L + 99 6.函数 y = ( x ? a ) + ( x ? b )
2 2

开始

i=1, S=0

( a, b ∈ R ) 的最小值为
2

S=S+i ( ) i=i+1 否

A.8

(a + b) B.
2
2

C.

( a ? b)
2

D.

a2 + b2 2

i ≥ 100 (第 5 题图) 是

7.已知 ?ABC 中, sin B = A. C > B > A C. B > C > A

2 3 , tan C = ,则 ( ) 5 4 B. A > B > C D. A > C > B

输出 S

结束

? x + 3 y ? 3 ≤ 0, ? 8.已知实数 x, y 满足 ? x ? y + 1 ≥ 0, 则 z = 2 x + y 的取值范围是 ? y ≥ ?1, ?
A. [ ?1,3] B. [ ?13,3] C. [ ?5,11] D. [ ?1,11]





9.函数 y = A sin (ω x + ? )( A > 0, ω > 0 ) 的图像与直线 y =

2 相交于一系列的点,从左到


右依次取相邻的三个点,分别记作 A, B, C ,若能使 AB = 3 BC 成立,必有 ( A. A = 2 B. ω = 2 C. ? =

π
3

D . ω = 2 且? =

π
3

10.如图所示, A, B, C 是圆 O 上的三个点, CO 的延长线与线段 AB 交于圆内一点 D ,若 OC = xOA + yOB ,则 ( A. 0 < x + y < 1 C. x + y < ?1

A O C D B

uuur

uuu r

uuu r



B. x + y > 1 D. ?1 < x + y < 0

第Ⅱ卷(共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

1 11. 复数 z = 的共轭复数为 1? i

. [来源:Z,xx,k.Com]

分组 睡眠时间

频数

频率

12.为提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学 认识,某调查机构共调查了 200 个人在一天中的睡眠 时间.现将数据整理分组如右表所示.由于操作不慎, 表中 A, B, C , D 四处数据污损,统计员只记得 A 处的 数据比 C 处的数据大 4,由此可知 B 处的数据为 . 13.四个大小形状完全相同的小球,分别编号为 1,2,3,4, 现从中任取两个,则取出的小球中至少有一个号码为奇数 . 的概率为 14 . 已 知 x +

[ 4,5) [5, 6 ) [ 6, 7 ) [来
源 : 学 # 科 # 网]

8 52

0.04 0.26

A

B

1 1 = 2 cos A , 可 得 x 2 + 2 = 2 cos 2 A , x x

[ 7,8) [8,9 )

C
20

D
0.10
[ 来 源 : 学 _ 科 _ 网 Z _ X _ X _ K ]

x3 +

1 = 2 cos 3 A ,L , x3 1 = xn


由 此 推 知 , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有

xn +

15 . 已 知 x > 0, y > 0, x + y + xy = 8 , 则 x + y 最 小 值 是 16 . 已 知 .

1 ?π ? 1 + =2 2 θ ∈ ? ,π ? , ? 2 ? sin θ cos θ






π? ? sin ? 2θ + ? = 3? ?

17.已知数列 {an } 中, an + 3 ≤ an + 3, an + 2 ≥ an + 2 n ∈ N + , 且 a1 = 1 ,则 a2011 = .

(

)

[9,10 )

[

4

0.02

来 源 : 学 # 科 # 网 Z#X #X# K]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18. (本题满分 14 分)

ur r ? A ? m = 2 3,1 , n = ? cos 2 , sin ( B + C ) ? ,其中 A, B, C 是 ?ABC 的内角. 2 ? ?

(

)

(Ⅰ)当 A =

π
2

r
时,求 n ;

(Ⅱ)当 m ? n 取最大值时,求 A 大小; (Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,若 B =

ur r

π
6

, AB = 1 ,求

值.

19. (本题满分 14 分)

2x 已知函数 f ( x ) = x . 2 + 2
(Ⅰ)计算 f ?

?1 ? + x? + ?2 ?

?1 ? f ? ? x ? 的值; ?2 ? ? ?
1? 1 ?< . 2? 2

(Ⅱ)设 a ∈ R , 解关于 x 的不等式: f ? x 2 ? ( a + 1) x + a +

20. (本题满分 14 分) 等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差 d = ?1 ,前 n 项和为 Sn ,其中 a1 ∈ {?1,1, 2,3, 4,5} . (Ⅰ)若存在 n ∈ N ,使 S n = ?5 成立,求 a1 的值; (Ⅱ)是否存在 a1 ,使 S n < an 对任意大于 1 的正整数 n 均成立?若存在,求出 a1 的值; 否则,说明理由.
+

21. (本题满分 15 分) 已知定义域为 (1, +∞) 的函数 f ( x ) 满足: ① 对任意 x ∈ (1, +∞) , 恒有 f (10 x ) = 10 f ( x) ; ② 当 x ∈ (1,10] 时,f ( x ) = x ? lg x .

(I) 求 f (100) , f (500) 的值; (II) 记区间 I k = (10 ,10
k k +1

] k = 0,1, 2,3,L ) 该区间上相应的函数值的取值范围为 Dk ( ,

. ⑴当 x ∈ I k 时,求 f ( x ) 的解析式,并写出 Dk (不必严格证明) ⑵设点集 ( x, y ) x ∈ I k , y ∈ Dk 求证:

{

} ( k = 0,1, 2,L) 所构成的平面区域面积为 S

k



1 1 1 1 100 + + +L < . S0 S1 S 2 S k ?1 99 × 72

22. (本题满分 15 分)

1 3 x + ax 2 + bx 的极大值点为 x = ?1 . 3 (Ⅰ)用实数 a 来表示实数 b ,并求 a 的取值范围; 2 (Ⅱ)当 x ∈ [ ?1, 2] 时, f ( x ) 的最小值为 ? ,求 a 的值; 3
已知函数 f ( x ) = (Ⅲ)设 A ?1, f ( ?1) , B 2, f ( 2 ) , A, B 两点的连线斜率为 k . 求证:必存在 x0 ∈ ( ?1, 2 ) ,使 f ′ ( x0 ) = k .

(

) (

)

[来源:学#科#网]

参考答案
一、选择题 1.B 2.A 3.C 4.B 5.B 6.C 源:学科网 ZXXK] 二、填空题 11. z =

7.D

B.D

9.A

10.C[来

1 1 5 1 ? i ; 12. 0.30 ; 13. . ;14. 2 cos nA ;15.4;16. ;17.2011; 2 2 6 2

三、解答题 18. (Ⅰ)当 A =

π
2

时, n = ?
2

r

r 1 5 ?1 ? ,1? , ∴ n = ( ) 2 + 1 = LL (4 分) 2 2 ?2 ?

(Ⅱ) m n = 2 3 cos

ur r

A + sin ( B + C ) = 3 (1 + cos A ) + sin A 2

π? ? = 2 sin ? A + ? + 3 LL (8 分) 3? ?
∴ 当A =

π
6

ur r
时, m n 取到最大值 LL (10 分)

(Ⅲ)由条件知 C = π ? A ? B = 分)

2 sin B 3 π ,由正弦定理得 AC = AB = LL(12 3 sin C 3

uuu uuur uuu uuur r r 1 ∴ AB AC = AB ? AC cos A = LL (14 分) 2
19. (Ⅰ) f ?

?1 ? + x? + ?2 ?

?1 ? f ? ? x ? = 1LL (4 分) ?2 ?

(Ⅱ f ( x ) =

2x 2 = 1? x , 故 f ( x ) 在实数集上是单调递增函数 LL (6 x 2 + 2 2 + 2 ?1? 1 ? = LL (8 分) ?2? 2

分)[来源:Zxxk.Com] 由(Ⅰ) ,令 x = 0 ,得 f ?

原不等式即为 f ? x ? ( a + 1) x + a +
2

? ?

1? ?1? ?< f ? ? 2? ?2?
( x ? a )( x ? 1) < 0LL (10 分)

∴ x 2 ? (a + 1) x + a +

1 1 < ,即 2 2

故,当 a < 1 时,不等式 的解集为 x a < x < 1 ; 当 a = 1 时,不等式的解集为 φ ; (14 分) 当 a > 1 时,不等式的解集为 x 1 < x < a ; 20. (Ⅰ)由条件得, S n = na1 +
2

{

}

{

}

n(n ? 1) 1 1 d = ? n 2 + (a1 + )n = ?5 2 2 2

整理得: n ? (2a1 + 1) n ? 10 = 0LL (2 分)

Q n ∈ N + , 由求根公式 n =

(2a1 + 1) ± ? 2 ,知 ? = (2a1 + 1) + 40 必为完全平方数, 2

Qa1 ∈ {?1,1, 2,3, 4,5} ,逐个检验知, a1 = 1或4 符合要求,
当 a1 = 1 时 , n = 5 ;当 a1 = 4 时, n = 10 故 a1 = 1或a1 = 4LL (7 分)

1 2 1 n + (a1 + )n < a1 + 1 ? n 2 2 1 2 3 1 整理,变量分离得: ( n ? 1) a1 < n ? n + 1 = ( n ? 1)( n ? 2) 2 2 2 1 Q n > 1 ∴ a1 < (n ? 2)LL , (11 分) 2 1 n = 2 时, (n ? 2) 取到最小值 0 , ∴ a1 < 0LL 2
(Ⅱ)由 S n < an ,代入得 ? 故存在 a1 = ?1 ,使 S n < an 对任意大于 1 的正整数 n 均成立 LL (14 分) 21. (Ⅰ) f (100) = 10 f (10 ) = 10 × (10 ? lg10 ) = 90LL (2 分)

f (500) = 10 f ( 50 ) = 102 f ( 5) = 102 × ( 5 ? lg 5)LL (4 分)

(Ⅱ) (1)Q x ∈ (10 ,10
k

x ∈ (1,10] , 10 k x x x x 由题设得 f ( k ) = k ? lg k = k ? (lg x ? k ) LL (6 分) 10 10 10 10 x x x ∴ f ( x ) = 10 f ( ) = 102 f ( 2 ) = L = 10k f ( k )LL 10 10 10
k +1

] ,∴

即当 x ∈ (10 ,10
k

k +1

] 时, f ( x ) = x ? 10k ? (lg x ? k )LL (8 分)

f ( x)在x ∈ I k 上单调递增, Dk = (10k ,9 ×10 k ? L (10 分) ?
(2)知点集构成的平面区域是长方形区域,长和宽分别为 I k 和 Dk 的区间长度, 故 S k = (10 从而
k +1

? 10k ) × (9 × 10k ? 10k ) = 72 × 100k LL (12 分)

1 1 = ( k = 0,1, 2,3,L) , S k 72 × 100k

故数列 ?

?1? 1 1 的等比数列 LL ? 是首项为 ,公比 72 100 ? Sk ?



1 1 1 1 1 + + +L = 72 1 S0 S1 S 2 Sk ?1 1 ? 100

1 k? 100 ? 1 k? ? ?1 ? (100 ) ? = 99 × 72 ?1 ? (100 ) ? LL (14 分) ? ? ? ?



1 1 1 1 100 + + +L < LL (15 分) . S 0 S1 S 2 S k ?1 99 × 72
2

22. (Ⅰ) f ′ ( x0 ) = x + 2ax + b ,由题设知 f ′ ( ?1) = 0 ∴ b = 2a ? 1LL (2 分) 韦达定理得另一极点 x = ?b = 1 ? 2a ,因为 x = ?1 为极大值点 故 1 ? 2a > ?1 , ∴ a < 1LL (4 分) (Ⅱ) f ( x ) 在 ( ?∞ , 1) 上递增,在 ( ?1 ,? 2a ) 递减,在 (1 ? 2a , ∞ ) 上递增,[来 ? 1 + 源:Zxxk.Com] 故当 x ∈ [ ?1, 2] 时,分情况如下: 当 1 ? 2a ≥ 2 ,即 a ≤ ?

1 时, f ( x ) 在 x ∈ [ ?1, 2] 上单调递减 2

∴ f ( x )min = f ( 2 ) = 8a +
当 1 ? 2a < 2 ,即 ?

2 2 1 = ? ,解得 a = ? ,不合条件,舍去 LL (6 分) 3 3 6

1 < a < 1 时, 2 1 1 ∴ f ( x )min = f (1 ? 2a ) = (1 ? 2a )3 + a (1 ? 2a ) 2 ? (1 ? 2a ) 2 = (1 ? 2a ) 2 (a ? 2) 3 3 1 2 ∴ (1 ? 2a ) 2 (a ? 2) = ? ,化简得 a (2a ? 3) 2 = 0 ,取 a = 0 3 3 故所求的 a = 0LL (9 分)
(Ⅲ) k =

f ( 2 ) ? f ( ?1) 2 ? ( ?1)

= 3a ,即证 x0 2 + 2ax0 + b = 3a

即证方程 x 2 + 2ax ? a ? 1 = 0 ( a < 1) 在 x ∈ ( ?1, 2) 上有实 数解 LL (10 分) 记 g ( x ) = x 2 + 2ax ? a ? 1 = 0 ( a < 1) , g ( ?1) = ?3a , g (2) = 3a + 3 当 g ( ?1) ? g (2) = ?3a (a + 1) < 0 ,即 a < ?1 或 0 < a < 1 时,由 零点存在定理知此时 方 程 有解 LL (12 分) 当 ?1 < a < 0 时, 此时 ? = 4( a 2 + a + 1) > 0 ,g (2) > 0, g ( ?1) > 0 , 且二次函数 g ( x ) 的 对称轴 x = ? a ∈ (0,1) ? ( ?1, 2) ,由此可知此时方程在 (?1, 2) 内有两个解 LL 当 a = ?1 时方程有一根为 x = 0 ,当 a = 0 时方程有一根为 x = 1LL (15 分) 综上可知,方程 x 2 + 2ax ? a ? 1 = 0 ( a < 1) 在 x ∈ ( ?1, 2) 上有实数解.

[来源:学.科.网]


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