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陕西省西工大附中2013届高三第四次适应性训练数学理科试题(教师版)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练 数学(理科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设复数 z ? 1 ?

A.1+ 2i 2.下列有关命题的说法中错误的是( ....

2 (其中 i 为虚数单位),则 z 等于( i B. 1 ? 2i C. ? 2i D. 2i


)

A.若“ p或q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题 B.“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 C. sin x ? 1 ”的必要不充分条件是“ x ? ? ” “ 2 6 2 2 D.若命题 p: ? 实数 x 使 x ? 0 ” “ ,则命题 ? p 为“对于 ?x ? R 都有 x ? 0 ” 3.执行右图所给的程序框图,则运行后输出的结果是( ) A. 3 B. ? 3 C. ? 2 D. 2 4.已知 ?an ?是等差数列, Sn 是其前 n 项和,若公差 d ? 0 且 S2 ? S7 ,则下列 结论中不正确的是( ) ..... A. S4 ? S5 B. S9 ? 0 C. a5 ? 0 A. ? ? D. S2 ? S7 ? S4 ? S5 )

5.如图是函数 y ? 4sin(?x ? ?) (? ? 0,| ? |? ?) 图像的一部分,则(

13 5? 11 ? ,? ? B. ? ? , ? ? 5 6 5 6 7 5? 23 ? ,? ? C. ? ? , ? ? D. ? ? 5 6 5 6 6.将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线
与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则实数 ? 的值为( ) A.-3 或 7 B.-2 或 8 C.0 或 10 D.1 或 11
2 2

y?0 ? ? y?x 7.平面直角坐标系中,若不等式组 ? 表示一个三角形区域,则实数 k 取值范围是( ? y ? k ( x ? 1) ? 1 ? A. ? ??, ?1? B. ?1, ?? ? C. ? ?1,1? D. (??, ?1) ? (1, ??)
8.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,设 A 表示事件“取到的 2 个数之和 为偶数” 表示事件“取到的 2 个数均为偶数” ,B ,则 P(B|A)=( ) 1 1 2 1 A. 10 B. 4 C. 5 D. 2 9.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几 何体的体积为( ) A. 1 3 B. 3 C.1 D.

)

3 3
x

10.在平面直角坐标系中,由 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、曲线 y ? e 以及该曲线在 x ? a(a ? 1) 处的 切线所围成图形的面积是( ) .. A. e
a

B. e ? 1
a

C. 1 e a 2

D. 1 e ? 1 2
a

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填写在答题卡相应的位置)

1? ? ? 的展开式中常数项为 x? ? 12.若 tan ? ? 2, 则 sin ? cos ? ? ;
11.二项式 ? x3 ?
1

8



13. PA ? 平面 ABC, ?ABC=90 ,且 PA=AB=BC,则异面直线 PB 与 AC 所成角等于 ; 14.若函数 f ( x ) 对于 ?x ? R 都有 f (1? x ) ? f (1? x ) 和 f (1 ? x) ? f (3 ? x) ? 0 成立,当 x ? [0,1] 时, ; 15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A (选修 4—4 坐标系与参数方程) 已知点 A 是曲线 ? ? 2sin ? 上任意一点, 则点 A 到直线 ? sin(? ? ? ) ? 4 的距离的最小值是 3 ; B(选修 4—5 不等式选讲)已知 x, y ? R,3x2 ? y 2 ? 3, 则 2 x ? 3 y 的最大 值是 .; C(选修 4—1 几何证明选讲)如图, ?ABC 内接于 ? O , AB ? AC ,直线 MN 切 ? O 于点 C, BE // MN 交 AC 于点 E .若 AB ? 6, BC ? 4, 则 AE 的长为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小 题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)已知等差数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)令 bn ?

?

f ( x) ? x ,则 f (2013) ?

?an? 的通项 an ;
2

?an? ,满足 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 .

1 ( n? N? ) ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn . an ? 1

? ?

17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设向量 m ? (sin A,cos 2 A), n ? (4k ,1) ,当 k>1 时, f ( A) ? m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.

??

?

?? ?

18. (本小题满分 12 分)某企业规定,员工在一个月内有三项指标任务,若完成其中一项指标任务,可得 奖金 160 元;若完成其中两项指标任务可得奖金 400 元;若完成三项指标任务可得奖金 800 元;若三项指 标都没有完成,则不能得奖金且在基本工资中扣 80 元,假设员工甲完成每项指标的概率都是 (Ⅰ)求员工甲在一个月内所得奖金为 400 元的概率; (Ⅱ)求员工甲在一个月内所得奖金数的分布列和数学期望.

1 . 2

19. (本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1 ? CA ? 2, AB ? BC , 是 BC1 上一点, CD ? D 且 平面 ABC1 . (Ⅰ)求证: AB ? 平面 BCC1B1 ; (Ⅱ)求二面角 C ? AC1 ? B 的平面角的正弦值.

2

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (2 x2 ? kx ? k ) ? e? x . (Ⅰ)当 k 为何值时, f ( x ) 无极值; (Ⅱ)试确定实数 k 的值,使 f ( x ) 的极小值为 0 .

x2 y 2 21. (本小题满分 14 分)已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a, b ? 0) 与双曲线 G: x2 ? y 2 ? 4 ,若椭圆 E 的顶点 a b
恰为双曲线 G 的焦点,椭圆 E 的焦点恰为双曲线 G 的顶点. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)是否存在一个以原点为圆心的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A、B,且

??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在请求出该圆的方程,若不存在请说明理由.

2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练 数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: (一)必做题
2 11.28; 12. 5 ; 13.

1 A

2 C

3 C

4 D

5 C

6 A

7 A

8 B

9 D

10 D

? 10 ; 14.1 (二)选做题 15.(1) 5 ;(2) 31 ;(3) . 2 3 3

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) (1) an ? 2n ? 1(2) Sn ?

n 4(n ? 1)

17. (本小题满分 12 分) 解:(1)? (2a ? c) cos B ? b cos C, ? (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C,

? 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C, ? 2sin A cos B ? sin A. 又在 ?ABC 中, A, B ? (0, ? ) ,所以 sin A ? 0,cos B ? 1 ,则 B ? ? 2 3 ?? ? 2 n (2)? m? ? 4k sin A ? cos 2 A ? ?2sin A ? 4k sin A ? 1 , ?? ? ? ?m? ? ?2(sin A ? k )2 ? 2k 2 ? 1 . 又 B ? ? ,所以 A ? (0, 23 ) ,所以 sin A? (0,1] . n 3 ?? ? n 所以当 sin A ? 1( A ? ? ) 时, m? 的最大值为 4k ? 1 . ? 4k ? 1 ? 5, k ? 3 2 2
18. (本小题满分 12 分)
3

解:设员工甲在一个月内所得奖金为 ? 元, 则由题意可知 ? 的可能取值为 ?80,160, 400,800
1 ∵ P ?? ? 160? ? C3 ? ?? ? ?

? 1 ?? 1 ? ? 2 ?? 2 ?
3

2

3 8

?1? ?1? 3 P ?? ? 400? ? C32 ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? 8
3 0 3

2

?1? 1 P ?? ? 800? ? C ? ? ? ?2? 8 ∴ ? 的分布列为:
3 3

?1? 1 P ?? ? ?80 ? ? C ? ? ? ?2? 8

?80 160 400 800 1 3 3 1 P 8 8 8 8 1 3 3 1 数学期望为 E? ? ?80 ? ? 160 ? ? 400 ? ? 800 ? ? 300 元 8 8 8 8
19. (本小题满分 12 分) 解: (1)? CC1 ? 平面 ABC,AB ? 平面 ABC,∵ CC1 ? AB. 又? CD ? 平面 ABC1 ,且 AB ? 平面 ABC1 ,∴ CD ? AB, 又 CC1 ? CD=C, ∴ AB ? 平面 BCC1B1 . (2)? BC∥ B1C1 ,∴ ?B1C1A 或其补角就是异面直线 AC1 与 BC 所成的角. 由(1)知 AB ? BC, 又AC=2,∴AB=BC= 2 ,∴ AB12 ? AA12 ? A1B12 .

?

B1C12 ? AC12 ? AB12 ( 2)2 ? 8 ? 6 1 ? ? 2B1C1 ? AC1 2? 2 ?2 2 2 ? ? ∴ ?B1C1A = ,即异面直线 AC1 与 BC 所成的角的大小为 3 3 (3)过点 D 作 DE ? AC1 于 E,连接 CE,由三垂线定理知 CE ? AC1 , 故 ? DEC 是二面角 C-AC1 ? B 的平面角,又 AC=CC1 ,∴E 为 AC1 的中点,∴
在 ?AB1C1 中,由余弦定理知 cos ?B1C1A=

CE= 1 AC1 ? 2 ,又 BC1 ? CC12 ? BC2 ? 4 ? 2 ? 6 ,由 1 CC1 ? CB= 1 BC1 ? CD, 2 2 2
2 3 CD 6 CC1 ? CB 2 3 ? 3 ? 得 CD ? ,在 Rt ? CDE 中,sin ?DEC ? . ? CE 3 BC1 3 2
20. (本小题满分 13 分) (1) k ? 4 (2) k ? 0; k ? 8 21. (本小题满分 14 分)

(1)

x2 y 2 ? ?1 8 4
2 2

(2) x ? y ? 8 3

4


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