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2013年长沙市一中数学高一第一单元测试(A3)

高一第一学期第一次单元测试数学试卷
(本试卷共 21 个题,满分 100 分.时量:120 分钟) 制卷人:舒良利 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 审核人:罗欲晓

二、 填空题(每小题 4 分,共 28 分) 9.函数 y =
x?2 ? 1 的定义域是 2x ? 6

. . ,b = . .

10.函数 f (x) = 11.函数 f (x) =

2 的递减区间是 x ?1

1.下列集合中表示同一集合的是( A.M = {(3,2)},N = {(2,3)} N = {5,4}

) B.M = {(x,y)|x + y = 1},N = {y|x +y = 1} C.M = {4,5},

ax ? b ?1? 2 是定义在(–1,1)上的奇函数,且 f ? ? = ,则 a = x2 ? 1 ?2? 5

12.已知函数 f (x) = x2 + (a – 1)x + 2 在(–∞,4]上是减函数,则常数 a 的取值范围是
1 13.已知函数 f (x) = x|1 – x| (x∈R),则不等式 f (x)> 的解集为 4

D.M = {1,2},N = {(1,2)} )
2x 2 x

. .

2.下列四组函数中,f (x)与 g (x)表示同一个函数的是( A.f (x) = |x|,g(x) = ( x )2 C.f (x) = x,g (x) = x2 3.函数 y ? ? x ? 2 x
2

14.已知 f (x)在 R 上是单调递增函数,且对任何 x∈R,都有 f {f[f (x)]} = x,则 f (100) =
2 2 15.设 x∈R,则函数 f (x) = x ? 1 ? ( x ? 12) ? 16 的最小值为

B.f (x) = 2x,g (x) =



D.f (x) = x,g (x) = 3 x3 ) B 在 (2,??) 上为增函数 D 在 (1,??) 上为增函数 )

三.解答题 16. (本题 7 分)设全集 I = {2,3,x2 + 2x – 3},A = {5}, C I A = {2,y},求 x,y 的值.

(

A. 在 (0,2) 上为增函数 C 在 (??,1) 上为增函数

4. 函数 f (x) = 4 + ax–1 (a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标是( A.(1,4) B.(1,5) ) C.(0,5)

D.(4,0)

1? x2 5.已知函数 f ( x) ? ,则有( 1? x2
1 x 1 C. f (x) 是奇函数,且 f ( ) ? ? f ( x ) x

A. f (x) 是偶函数,且 f ( ) ? ? f ( x )

1 x 1 D. f (x) 是奇函数,且 f ( ) ? f ( x) x
B. f (x) 是偶函数,且 f ( ) ? f ( x) ) C.B ? A ≠ D.A∩B = ? )

17. (本题 7 分)已知 A = {x|3≤2x + 3≤11},B ={y|y = –x2 – 1,–1≤x≤2},求 CR ( A ? B) .

6.设集合 A = {y|y = x2 + 1,x∈N*},B = {y|y = t2 – 4t + 5,t∈N*},则下述关系中正确的是( A.A = B B.A? B ≠

7.设全集为 R,M = {x||x|≥3},N = {x|0≤x<5},则 CR (M∪N)等于( A.{x|–3<x<0} C.{x|x<0,或 x>3,且 x≠–3} B.{x|x<3,或 x≥5}

D.{x|x<3,或 x≥5,且 x≠0}

2 8. 已 知 函 数 f ( x) 满 足 对 所 有 的 实 数 x, y 都 有 f ( x) ? f ( 2 x? y)? 5xy? f (3 x y)? 2 x ? , 1 f (10) 的 值 为 则 ?

(

) A.0 B. 25 C. ?1 D. ?49
1

18. (本题 8 分)求下列各式的值:
? ?2 ? (1) (5 ? 2 6) ? 2 ? 27 ? ? 8 3 ? ? ?
1 2 1 2 6 ?2

20. (本题 9 分)已知 f (x) =

a (a x ? a ? x ) (a>0,且 a≠1)是 R 上的增函数,求实数 a 的取值范围. a ?2
2

(2)(lg2)2 + lg2·lg50 + lg25

21. (本题 9 分)二次函数 f (x) = ax2 + bx + c (a,b∈R,a≠0)满足条件: ①当 x∈R 时, f (x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称; ② f (1) ? 1 ; ③f (x)在 R 上的最小值为 0; (1)求函数 f (x)的解析式; (2)求最大的 m (m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f (x + t)≤x. 19. (本题 8 分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为每辆 1 万元,出厂价为每辆 1.2 万元, 年销售量为 1000 辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成 本增加的比例为 x (0<x<1),则出厂价相应的提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x. 已知年利润 = (出厂价 – 投入成本)×年销售量 (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?

2

参考答案
一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 A 6 B 7 A 8 D

又 f (x1) – f (x2) = =

a a (a x1 ? a? x1 ) ? 2 (a x2 ? a? x2 ) a ?2 a ?2
2

a (a x1 ? a x2 ? a ? x2 ? a ? x1 ) a ?2
2
1 2 2 1

①当 0<a<1 时,由 x1<x2 得 a x ? a x , a ? x ? a ? x
1 2 2 2

∴ a x ? a x ? a ? x ? a ? x ? 0 ,由 f (x1) – f (x2)<0,得 符合题意.

二、 填空题(每小题 4 分,共 28 分) 9.
{x | x ? ?2, 且x ? 3} .

a a <0,而 0<a<1 时 2 <0 恒成立,∴0<a<1 a2 ? 2 a ?2

10.

(??,1), (1, ??) .

11. a =

1 ,b =

0 . ②当 a>1 时,由 x1<x2 得 a x ? a x ? a ? x ? a ? x ? 0 ,
1 2 2 1

12. (–∞,–3] . 三.解答题

13.

?1? 2 ? ? ? 2 , ?? ? . ? ? ?

14. 100 .

15. 13 .

由 f (x1) – f (x2)<0 得

a >0,∵a>1,∴a2 – 2>0,从而 a> 2 .∴a> 2 . a ?2
2

综上知:所求 a 的范围是(0,1)∪( 2 ,+∞). 21. 【解析】 (1)∵f (x)的对称轴为 x = –1,∴ ? 又 f (1) = 1,即 a + b + c = 1. 由条件③知:a>0,且
4ac ? b2 = 0,即 b2 = 4ac. 4a
b = –1 即 b = 2a. 2a

? 16. 【解析】∵A≠ I,∴5∈I,∴x2 + 2x – 3 = 5 即 x2 + 2x – 8 = 0,解得 x = –4 或 x = 2.
∴I = {2,3,5},∵y∈ C I A ,∴y∈I,且 y ? A,即 y≠5, ∴y = 2 或 y = 3. 又知 C I A 中元素的互异性知:y≠2, 综上知:x = –4 或 x = 2;y = 3 为所求. 17. 【解析】由 3≤2x + 3≤11,得 0≤x≤4,∴A = [0,4] 由 y = –x2 – 1,–1≤x≤2 得 x = 0 时 ymax = –1;x = 2 时,ymin = –5, ∴–5≤y≤–1,即 B = [–5,–1]
1 2

1 1 1 由上可求得 a ? , b ? , c ? 4 2 4

∴ f ( x) ?

1 2 1 1 x ? x? . 4 2 4

1 (2)由(1)知:f (x) = (x + 1)2,图象开口向上. 4

∴A∩B = ? ,
1 3 6 4 3

∴ CR ( A ? B) = R.
3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ) ? 24 ? 16 .
4 3 3

而 y = f (x + t )的图象是由 y = f (x)平移 t 个单位得到,要 x∈[1,m]时,f (x + t)≤x, 即 y = f (x + t)的图象在 y = x 的图象的下方,且 m 最大. ∴1,m 应该是 y = f (x + t)与 y = x 的交点横坐标,
1 即 1,m 是 (x + t + 1)2 = x 的两根, 4 1 由 1 是 (x + t + 1)2 = x 的一个根,得(t + 2)2 = 4,解得 t = 0,或 t = -4, 4

18. (1) 【解析】原式= ?( 3 ? 2)2 ? ? 2 ? (3 ) ? 8 ? ?

=

(2) 【解析】原式 = lg2 (lg2 + lg50) + 2lg5 = lg2·lg100 + 2lg5 = 2lg2 + 2lg5 = 2 (lg2 + lg5) = 2lg10 = 2 19. 【解析】 (1)依题意,得 y = [1.2×(1 + 0.75x) – 1×(1 + x)] ×1000 (1 + 0.6x) 整理得 y = –60x2 + 20x + 200 (0<x<1) (2)依题意,得 ? 答: (略) 20. 【解析】设 x1、x2∈R,且 x1<x2. ∵f (x)在 R 上为增函数,∴f (x1) – f (x2)<0.
? y ? (1.2 ? 1) ?1000 ? 0 ??60 x 2 ? 20 x ? 0 1 ?? ?0? x? 0 ? x ?1 3 ? ?0 ? x ? 1

把 t = 0 代入原方程得 x1 = x2 = 1(这与 m>1 矛盾) 把 t = –4 代入原方程得 x2 – 10x + 9 = 0,解得 x1 = 1,x2 = 9.∴m = 9. 综上知:m 的最大值为 9.

3

高一第一学期第一次月单元测试数学试卷(教师用卷)
(本试卷共 21 个题,满分 100 分.时量:120 分钟) 制卷人:舒良利 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1.下列集合中表示同一集合的是( C ) A.M = {(3,2)},N = {(2,3)} N = {5,4} B.M = {(x,y)|x + y = 1},N = {y|x +y = 1} C.M = {4,5}, 审核人:罗欲晓

9.函数 y =

x?2 ?

1 的定义域是 {x | x ? ?2, 且x ? 3} . 2x ? 6

10.函数 f (x) = 11.函数 f (x) =

2 的递减区间是 (??,1), (1, ??) . x ?1

ax ? b ?1? 2 是定义在(–1,1)上的奇函数,且 f ? ? = ,则 a = x2 ? 1 ?2? 5

1 ,b =

0 .

D.M = {1,2},N = {(1,2)}

2.下列四组函数中,f (x)与 g (x)表示同一个函数的是( D ) A.f (x) = |x|,g(x) = ( x ) C.f (x) = x,g (x) = x2 3.函数 y ? ? x ? 2 x
2
2

?b ? 0 ?a ? f (0) ? 0 ? ? ?b 【解析】依题意,得 ? 1 2 2 即?2 ? f ( 2) ? 5 ? 1 ?5 ? ?1 ? 4 ?

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 0

2x 2 B.f (x) = 2x,g (x) = x

12.已知函数 f (x) = x2 + (a – 1)x + 2 在(–∞,4]上是减函数,则常数 a 的取值范围是 (–∞,–3] . 【解析】∵f (x) = x2 + 2 (a – 1)x + 2 的对称轴为 x = 1 – a,且抛物线开口向上 又 f (x)在(–∞,4]上是减函数,∴1 – a≥4 解得 a≤–3.

D.f (x) = x,g (x) = 3 x3

(C) B 在 (2,??) 上为增函数 D 在 (1,??) 上为增函数

A. 在 (0,2) 上为增函数 C 在 (??,1) 上为增函数

?1? 2 ? 1 13.已知函数 f (x) = x|1 – x| (x∈R),则不等式 f (x)> 的解集为 ? ? 2 , ?? ? . ? 4 ? ?

4. 函数 f (x) = 4 + ax–1 (a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标是( B ) A.(1,4) B.(1,5) C.(0,5) D.(4,0)

?? x 2 ? x, x ? 1 ? 【解析】f (x) = x |1 – x| = ? 2 由图象知, ? x ? x, x ? 1 ?
1 1 1? 2 上存在 x0, f (x0) = , x2 – x = 解得 x = 使 令 , 4 4 2

y 在区间(1, +∞) 1 1 4 1

又 x∈(1, +∞), x

1? x2 5.已知函数 f ( x) ? ,则有(A) 1? x2
1 x 1 C. f (x) 是奇函数,且 f ( ) ? ? f ( x ) x
A. f (x) 是偶函数,且 f ( ) ? ? f ( x )

1? 2 因此 x0 = , 2
1 x 1 D. f (x) 是奇函数,且 f ( ) ? f ( x) x
B. f (x) 是偶函数,且 f ( ) ? f ( x) C.B ? A ≠ D.A∩B = ?
1 1? 2 故 f (x)> 的解集为 ( ,+∞) . 4 2

14.已知 f (x)在 R 上是单调递增函数,且对任何 x∈R,都有 f {f[f (x)]} = x,则 f (100) = 【解析】若 f (100)<100,则由 f (x)在 R 上单调递增,有 f [f (100)]<f (100), 同理 f {f [f (100)]}<f [f (100)]<f (100)<100. 而由已知等式得 f {f [f (100)]}= 100,∴f (100)<100 不成立. 若 f (100)>100,则 f [f (100)]>f (100)>100. f {f [f (x)]}>f [f (100)]>f (100)>100 不成立. 综上知:f (100) = 100.
2 2 15.设 x∈R,则函数 f (x) = x ? 1 ? ( x ? 12) ? 16 的最小值为 13 .

100 .

6.设集合 A = {y|y = x2 + 1,x∈N*},B = {y|y = t2 – 4t + 5,t∈N*},则下述关系中正确的是( B ) A.A = B B.A? B ≠

7.设全集为 R,M = {x||x|≥3},N = {x|0≤x<5},则 CR (M∪N)等于( A ) A.{x|–3<x<0} C.{x|x<0,或 x>3,且 x≠–3} B.{x|x<3,或 x≥5} D.{x|x<3,或 x≥5,且 x≠0}

8.已知函数 f ( x) 满足对所有的实数 x, y 都有 f ( x) ? f (2 x ? y) ? 5xy ? f (3x ? y) ? 2 x 2 ? 1 ,则 f (10) 的值为(D) A.0 B. 25 C. ?1 D. ?49

二、 填空题(每小题 4 分,共 28 分)
4

【解析】如图,取 A 为数轴原点,AB = 12,再作 AB 的垂线 AC、BD,使 AC = 1,BD = 4,在数轴上取

点 P,使 AP = x,则 f (x) = |CP| + |DP|,当 C、P、D 三点共线时,f (x)的值最小.此时 f (x)min = |CD| = |AE| =
122 ? 52 ? 13 .

整理得 y = –60x2 + 20x + 200 (0<x<1) (2)依题意,得 ? 答: (略)
? y ? (1.2 ? 1) ?1000 ? 0 ??60 x 2 ? 20 x ? 0 1 ?? ?0? x? 0 ? x ?1 3 ? ?0 ? x ? 1

三.解答题 16. (本题 7 分)设全集 I = {2,3,x2 + 2x – 3},A = {5}, C I A = {2,y},求 x,y 的值. 【解析】∵A ? I,∴5∈I,∴x2 + 2x – 3 = 5 即 x2 + 2x – 8 = 0,解得 x = –4 或 x = 2. ≠ ∴I = {2,3,5},∵y∈ C I A ,∴y∈I,且 y ? A,即 y≠5, ∴y = 2 或 y = 3. 又知 C I A 中元素的互异性知:y≠2, = 综上知:x = –4 或 x = 2;y = 3 为所求. 17. (本题 7 分)已知 A = {x|3≤2x + 3≤11},B ={y|y = –x – 1,–1≤x≤2},求 CR ( A ? B) .
2

20. (本题 9 分)已知 f (x) =

a (a x ? a ? x ) (a>0,且 a≠1)是 R 上的增函数,求实数 a 的取值范围. a2 ? 2

【解析】设 x1、x2∈R,且 x1<x2. ∵f (x)在 R 上为增函数,∴f (x1) – f (x2)<0. 又 f (x1) – f (x2) =
a a (a x1 ? a? x1 ) ? 2 (a x2 ? a? x2 ) a ?2 a ?2
2

a (a x1 ? a x2 ? a ? x2 ? a ? x1 ) a ?2
2
1 2 2 1

①当 0<a<1 时,由 x1<x2 得 a x ? a x , a ? x ? a ? x
1 2 2 2

∴ a x ? a x ? a ? x ? a ? x ? 0 ,由 f (x1) – f (x2)<0,得 【解析】由 3≤2x + 3≤11,得 0≤x≤4,∴A = [0,4] 由 y = –x2 – 1,–1≤x≤2 得 x = 0 时 ymax = –1;x = 2 时,ymin = –5, ∴–5≤y≤–1,即 B = [–5,–1] 18. (本题 8 分)求下列各式的值:
? ?2 ? (1) (5 ? 2 6) ? 2 ? 6 27 ? ? 8 3 ? ? ?
1 2 1 2 ?2

a a <0,而 0<a<1 时 2 <0 恒成立,∴0<a<1 a2 ? 2 a ?2

符合题意. ②当 a>1 时,由 x1<x2 得 a x ? a x ? a ? x ? a ? x ? 0 ,
1 2 2 1

∴A∩B = ? ,

∴ CR ( A ? B) = R.

由 f (x1) – f (x2)<0 得

a >0,∵a>1,∴a2 – 2>0,从而 a> 2 .∴a> 2 . a ?2
2

综上知:所求 a 的范围是(0,1)∪( 2 ,+∞). 21. (本题 9 分)二次函数 f (x) = ax2 + bx + c (a,b∈R,a≠0)满足条件:
1 4

【解析】原式= ?( 3 ? 2)2 ? 2 ? 2 ? (33 ) 6 ? 83 = ? ? (2)(lg2)2 + lg2·lg50 + lg25

1

3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (23 ) 3 ? 24 ? 16 .

4

①当 x∈R 时, f (x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称; ② f (1) ? 1 ; ③f (x)在 R 上的最小值为 0; (1)求函数 f (x)的解析式; (2)求最大的 m (m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f (x + t)≤x. 【解析】 (1)∵f (x)的对称轴为 x = –1,∴ ? 又 f (1) = 1,即 a + b + c = 1. 由条件③知:a>0,且
4ac ? b2 = 0,即 b2 = 4ac. 4a
b = –1 即 b = 2a. 2a

【解析】原式 = lg2 (lg2 + lg50) + 2lg5 = lg2·lg100 + 2lg5 = 2lg2 + 2lg5 = 2 (lg2 + lg5) = 2lg10 = 2 19. (本题 8 分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为每辆 1 万元,出厂价为每辆 1.2 万元, 年销售量为 1000 辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成 本增加的比例为 x (0<x<1),则出厂价相应的提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x. 已知年利润 = (出厂价 – 投入成本)×年销售量 (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? 【解析】 (1)依题意,得 y = [1.2×(1 + 0.75x) – 1×(1 + x)] ×1000 (1 + 0.6x)

1 1 1 由上可求得 a ? , b ? , c ? 4 2 4

∴ f ( x) ?

1 2 1 1 x ? x? . 4 2 4

5

1 (2)由(1)知:f (x) = (x + 1)2,图象开口向上. 4

而 y = f (x + t )的图象是由 y = f (x)平移 t 个单位得到,要 x∈[1,m]时,f (x + t)≤x, 即 y = f (x + t)的图象在 y = x 的图象的下方,且 m 最大. ∴1,m 应该是 y = f (x + t)与 y = x 的交点横坐标,
1 即 1,m 是 (x + t + 1)2 = x 的两根, 4 1 由 1 是 (x + t + 1)2 = x 的一个根,得(t + 2)2 = 4,解得 t = 0,或 t = -4, 4

把 t = 0 代入原方程得 x1 = x2 = 1(这与 m>1 矛盾) 把 t = –4 代入原方程得 x2 – 10x + 9 = 0,解得 x1 = 1,x2 = 9.∴m = 9. 综上知:m 的最大值为 9.

6


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