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苏州市初中数学教师把握学科能力竞赛练习卷

苏州市初中数学教师把握学科能力竞赛练习卷
姓名 一、选择题(在四个答案中选出一个正确的答案,每小题 5 分,共 40 分) 1. ? 为锐角,当

1 无意义时, sin(? ? 150 ) ? cos(? ? 150 ) 的值为……………( 1 ? tan ?
(B)



(A) 3

3 2

(C)

3 3

(D)

2 3 3

2.从分别写有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字, 第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是 3 的倍数的概率 是……………………………………………………………………………………………( (A) )

1 5

( B)

3 10

(C)

2 5

(D)

1 2


3.方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 所有实数根的和等于……………………………………………( (A) ? 1 (B)1 (C)

5

(D) 0

4.有一正方体,六个面上分别写有数字 1、2、3、4、 5、6,有三个人从不同的角度观察的结果如图所示. 如果记 6 的对面的数字为 a ,2 的对面的数字为 b , 那么 a ? b 的为………………………………………………………………………( (A)11 (B)7 (C)8 (D) 3 ).

5.如图,圆 O1 、圆 O2 、圆 O3 三圆两两相切,直径 AB 为圆 O1 、圆 O2 的公切线,AB 为半圆,且分别与 三圆各切于一点。若圆 O1 、圆 O2 的半径均为 1,则圆 O3 的半径为……………( (A)1 (B) )

O3 O1 A
(第 5 题)

1 2

(C)

2 -1

(D) 2 +1

O2 B
(第 6 题)

6.如图,四边形 ABCD 中,AC,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形. ?ADC ? 30? ,AD = 3,BD = 5, 则 CD 的长为……………………………………………………………………………( (A) 3 2 ).

(B)4 (C) 2 5 (D)4.5 9 x ? a ? 0 ? 7.如果不等式组 的整数解仅为 1,2,3,那么适合这个不等式组的整数 a, ? < 0 8 x ? b ? b的有序数对(a,b)共有…………………………………………………………… ( (A)17 个 (B)64 个 (C)72 个 (D)81 个 )

8.某校初一、初二年级的学生人数相同,初三年级的学生人数是初二年级学生人数的 的男生人数与初二年级的女生人数相同,初三年级男生人数占三个年级男生人数的

4 .已知初一年级 5

1 ,那么三个年级女生 4

人数占三个年级学生人数的…………………………………………………………………(
9 10 (B) 19 19 二、填空题(每小题 5 分,共 40 分)



(A)

(C)

11 21

(D)

10 21

9.如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|-|a-b|的绝对值等于__________. 10.求知中学收到了王老师捐赠的足球,篮球,排球共 20 个,其总价值为 330 元.这三种球的价格分别 是足球每个 60 元,篮球每个 30 元,排球每个 10 元,那么其中排球有 11.如果 a,b,c 是正数,且满足 a ? b ? c ? 9 , 值为 . cm. 个.

1 1 1 10 a b c ? ? ? ? ? ,那么 的 a?b b?c c?a 9 b?c c?a a?b

︵ 12. 如图, AB 是半圆 O 的直径, E 是BC的中点, OE 交弦 BC 于点 D, 已知 BC=8cm, DE=2cm, 则 AD 的长为
2

13.如图,正方形 OABC 的对角线在 x 轴上,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)恰好经过正方形的三个顶点 O、A、 B,则 b= .

14.如图,正方形 ABCD 的边长为 2 15 ,E,F 分别是 AB,BC 的中点,AF 与 DE,DB 分别交于点 M, N,则△DMN 的面积是 .

15.如图所示,点 A 在半径为 20 的圆 O 上,以 OA 为一条对角线作矩形 OBAC,设直线 BC 交圆 O 于 D、 E 两点,若 OC ? 12 ,则线段 CE、BD 的长度差是 。
E C A

O

B D

第 12 题
(第 13 题)

第 14 题

第 15 题

16.近几年来,流行一种“数独”推理游戏,游戏规则如下: (1)在 9× 9 的九宫格子中,分成 9 个 3× 3 的小九宫格,用 1 到 9 这 9 个数字填满整个格子; (2)每一行与每一列都有 1 到 9 的数字,每个小九宫格里也有 1 到 9 的 数字,并且一个数字在每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次,既 不能重复也不能少.那么依上述规则,在右图中 A 处应填入的数字 为_ _;B 处应填入的数字为 . 1 2 4 1 6 2 8 2 9 3 9 8 7 4 5 2 4 9 A 3 6 8 6 5 3 9 7 4 B 6 5 5 7

三、解答题 17.(12 分)已知 A 港在 B 港的上游,小船于凌晨 3:00 从 A 港出发开往 B 港,到达后立即返回,来回穿 梭于 A、B 港之间,若小船在静水中的速度为 16 千米/小时,水流速度为 4 千米/小时,在当晚 23:00 时,有人看见小船在距离 A 港 80 千米处行驶.求 A、B 两个港口之间的距离.

18. (12 分)如右图,正三角形 ABC 的边长为 a,D 是 BC 的中点,P 是 AC 边上的动点,连结 PB 和 PD 得 到△PBD. 求: (1)当点 P 运动到 AC 的中点时,△PBD 的周长; (2)△PBD 的周长的最小值.
A

P

B

D

C

19.(13 分) 如图所示,在直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴负半轴上,点 B、C 分别在 x 轴正、负半轴 上, AO ? 8, AB ? AC ,sin ???C ?

4 。点 D 在线段 AB 上,连结 CD 交 y 轴于点 E,且 S?COE ? S? ADE 。 5
y

试求图像经过 B、C、E 三点的二次函数的解析式。

C

O E D A

B

x

20.(15 分)已知:在 ?ABC 中,AD 为 ?BAC 的平分线,以 C 为圆心,CD 为半径的半圆交 BC 的延长线 于点 E,交 AD 于点 F,交 AE 于点 M,且 ?B ? ?CAE , FE: FD ? 4:3 。 (1)求证: AF ? DF (2)求 ?AED 的余弦值; (3)如果 BD=10,求 ?ABC 的面积。

21. (18 分)已知抛物线 C1 : y1 ? (Ⅰ) 求抛物线 C1 的顶点坐标;

1 2 x ? x ? 1.点 F(1,1). 2 1 1 ? ?2 AF BF

(Ⅱ) ①若抛物线 C1 与 y 轴的交点为 A.连接 AF,并延长交抛物线 C1 于点 B,求证:

②抛物线 C1 上任意一点 P ( xP,yP ) ( ) 0 ? xP ? 1 ) . 连接 PF. 并延长交抛物线 C1 于点 Q ( xQ,yQ ) , 试判断

1 1 ? ? 2 是否成立?请说明理由; PF QF

(Ⅲ) 将抛物线 C1 作适当的平移.得抛物线 C2 : y2 ? ( x ? h)2 ,若 2 ? x ? m 时. y2 ? x 恒成立,求 m 的最大值.

1 2

苏州市初中数学教师把握学科能力竞赛练习卷答案
一、选择题 1.A 2.C .3.D .4.B 5.C 6.B 7.C 8.C.

其中 6 题过程如下. 解:如图,以 CD 为边作等边△CDE,连接 AE. 由于 AC = BC,CD = CE, ∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE, 所以△BCD≌△ACE, BD = AE. 又因为 ?ADC ? 30? ,所以 ?ADE ? 90? . 在 Rt△ ADE 中, AE ? 5,AD ? 3, 于是 DE= 二、填空题 9.0 15. 10.15 11.7 12. 2 13 13.2 14.8,

AE 2 ? AD2 ? 4 ,所以 CD = DE = 4.

28 5

16.A 处 1 ,B 处 3

其中 14 题过程如下 解:连接 DF,记正方形 ABCD 的边长为 2 a . 由题设易知△ BFN ∽△ DAN ,所以

AD AN DN 2 ? ? ? , BF NF BN 1 2 由此得 AN ? 2 NF ,所以 AN ? AF . 3
在 Rt△ABF 中,因为 AB ? 2a,BF ? a ,所以

AF ? AB2 ? BF 2 ? 5a ,
于是

cos ?BAF ?

AB 2 5 ? . AF 5

由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ?AED ? ?AFB ,

?AME ? 1800 ? ?BAF ? ?AED ? 1800 ? ?BAF ? ?AFB ? 90 .
于是

AM ? AE ? cos ?BAF ? MN ? AN ? AM ?

2 5 a, 5

2 4 5 AF ? AM ? a, 3 15

S?MND MN 4 ? ? . S?AFD AF 15
又 S?AFD ?

1 4 8 ? (2a) ? (2a) ? 2a2 ,所以 S?MND ? S?AFD ? a2 . 因为 a ? 15 ,所以 S?MND ? 8 . 2 15 15

15 题过程如下 解:如图,设 DE 的中点为 M ,连接 OM ,则 OM ? DE . 因为 OB ? 202 ?122 ? 16 ,所以

OM ?

OB ? OC 16 ?12 48 ? ? , BC 20 5 36 64 CM ? OC 2 ? OM 2 ? , BM ? . 5 5
64 36 28 ? ? . 5 5 5

CE ? BD ? (EM ? CM) ? (DM ? BM) ? BM ? CM ?
三、解答题 17.解:设两港口之间距离为 S ,则 S ? 80 。 23-3=20(小时)。 则小船行驶 AB 间一周的时间不小于

80 80 2 ? ? 10 (小时) 16 ? 4 16 ? 4 3
∴小船为行驶一周后,由再出行 80 千米或还差 80 千米。行驶一周,又或还差 80 千米行驶 2 周。 (1)第一种情况:

S S 80 ? ? 20 ? ,? S ? 120 (千米)。 20 12 20
(2)情况二

S S ? 80 ? ? 20,? S ? 200 (千米) 20 12
(3)情况三

2S 2S ? 80 ? ? 20,? S ? 100 (千米)。 20 12
18.解:(1)如图 l,当点 P 运动到 AC 的中点时
BP⊥AC, 所以 DP∥AB,

3 1 1 a, DP ? a, BD ? a, 2 2 2 即 APBD 的周长为 BP ? BP ? DP ? BD ? ( 3 ? 1)a . 2

(2)如图 2,作点 B 关于 AC 的对称点 E, 连结 EP、EB、ED、即,则 PB+PD=PE+PD 因此 ED 的长就是 PB+PD 的最小值, 即 当点 P 运动到 ED 与 AC 的交点 G 时, △PBD 的周长最小. 从点 D 作 DF⊥BE,垂足为 F. 因为BC ? a

所以BD ?

1 1 a, BE ? 2 a 2 ? ( a) 2 ? 3a 2 2

19.解:因为 sin∠ABC =

AO 4 ? , AO ? 8 , AB 5

所以 AB = 10.由勾股定理,得 BO ? AB2 ? AO2 ? 6 . 易知 △ABO ≌△ACO , 因此 CO = BO = 6. 于是 A(0 , ? 8) , B(6 , 0) , C (?6 , 0) . 设点 D 的坐标为 (m , n) . 由 S△COE ? S△ADE ,得 S△CDB ? S△AOB .

1 1 1 1 BC ? n ? AO ? BO , ? 12(? n) ? ? 8 ? 6 . 2 2 2 2 n ? ? 4 解得 . 因此 D 为 AB 的中点,点 D 的坐标为 (3 , ? 4) .
所以 因此 CD,AO 分别为 AB,BC 的两条中线,点 E 为△ABC 的重心,

? ) .(也可由直线 CD 交 y 轴于点 E 来求得.) 所以点 E 的坐标为 (0 ,
设经过 B,C,E 三点的二次函数的解析式为 y ? a( x ? 6)( x ? 6) . 将点 E 的坐标代入,解得 a =

8 3

2 . 27

故经过 B,C,E 三点的二次函数的解析式为 y ? 20.(1)证明:∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC ∵∠B=∠CAE ∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE ∵∠ADE=∠BAD+∠B ∴∠ADE=∠DAE ∵DE 是半圆 C 的直径 ∴∠DFE=90° ∴AF=DF (2)解:连接 DM ∵DE 是半圆 C 的直径 ∴∠DME=90° ∵FE:FD=4:3 ∴可设 FE=4x,则 FD=3x ∴DE=5x ∴AE=DE=5x,AF=FD=3x ∵AF?AD=AM?AE ∴3x(3x+3x)=AM?5x ∴EA=ED

2 2 8 x ? . 27 3

∴AM=

18 x 5 7 18 x= x 5 5

∴ME=AE-AM=5x-在 Rt△DME 中, cos∠AED=

7 ME 7 = x : 5x = (接右上方) 25 DE 5

1 2 1 1 x ? x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? , 2 2 2 1 ∴抛物线 C1 的顶点坐标为( 1 , ). 2
21.解: (I)∵ y1 ? (II)①根据题意,可得点 A(0,1), ∵F(1,1).∴AB∥ x 轴.得 AF=BF=1, ②

1 1 ? ?2 AF BF

1 1 ? ? 2 成立.理由如下: PF QF

如图,过点 P 作 PM⊥AB 于点 M,则 FM= 1 ? xP ,PM= 1 ? yP ( 0 ? xP ? 1 )。 ∴Rt△PMF 中,有勾股定理,得 PF2 ? FM2 ? PM2 ? (1 ? xP )2 ? (1 ? yP )2 又点 P( xP,yP )在抛物线 C1 上,得 yP ? ( xP ? 1)2 ? ∴ PF2 ? 2 yP ? 1 ? (1 ? yP )2 ? yP 2 ,即 PF ? yP 。 过点 Q( xQ,yQ )作 QN⊥AB,与 AB 的延长线交于点 N, 同理可得 QF ? yQ ∵∠PMF=∠QNF=90° ,∠MFP=∠NFQ,∴△PMF∽△QNF。

1 2

1 ,即 ( xP ? 1)2 ? 2 yP ? 1 2

PF PM ? ,这里 PM ? 1 ? yP ? 1 ? PF , QN ? yQ ? 1 ? QF ? 1 。 QF QN PF 1 ? PF 1 1 ? ? ?2。 ∴ ,即 QF QF ? 1 PF QF
∴ (Ⅲ) 令 y3 ? x ,设其图象与抛物线 C2 交点的横坐标为 x 0 , x0' ,且 x 0 < x0' , ∵抛物线 C2 可以看作是抛物线 y ?

1 2 x 左右平移得到的, 2
'

观察图象.随着抛物线 C2 向右不断平移, x 0 , x0 的值不断增大,
' ∴ 当满足 2 ? x ? m ,. y2 ? x 恒成立时,m 的最大值在 x0 处取得。 ' ∴ 当 x0 ? 2 时.所对应的 x0 即为 m 的最大值。(接右上方)


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