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人教版数学必修1-复习知识点归纳


第二章

基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算

(1)根式的概念 ①如果 x ? a , a ? R , x ? R , n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数 时, a 的 n 次方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表 示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意 实数;当 n 为偶数时, a ? 0 .
n ③根式的性质: (n a) ? a ;当 n 为奇数时,

n

n

a

n

? a ;当 n 为偶数时,

n

a

n

?a ? | a |? ? ??a

(a ? 0 ) (a ? 0 )



(2)分数指数幂的概念
m

①正数的正分数指数幂的意义是:a 数幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a

n

?

n

a

m

( a ? 0 , m , n ? N ? , 且 n ? 1) . 0 的正分数指

?

m n

? (

1 a

m

)

n

?

n

(

1 a

) ( a ? 0 , m , n ? N ? , 且 n ? 1) .0

m

的负分数指数幂没有意义.注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①a ?a ? a
r r r s r?s

(a ? 0, r , s ? R )

②(a ) ? a (a ? 0, r , s ? R )

r

s

rs

③ (ab ) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R )

r

【2.1.2】指数函数及其性质
(4)指数函数 函数名称 指数函数

定义

函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
a ?1 0 ? a ?1
x

x

y

y ? a

y ? a

x

y

图象
y ? 1
(0,1)

y ? 1

(0,1)

O

1
x 0
R
(0, ? ? )

O

1
x 0

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 R 上是增函数
a
x

图象过定点 ( 0 ,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是减函数
a a a
x

? 1 (x ? 0) ? 1 (x ? 0) ? 1 (x ? 0)

? 1 (x ? 0) ? 1 (x ? 0) ? 1 (x ? 0)

函数值的 变化情况

a a

x

x

x

x

变化 对图象的 影响
a

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义
x ①若 a ? N ( a ? 0 , 且 a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? lo g a N ,其中 a 叫

做底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数.
x ③对数式与指数式的互化: x ? lo g a N ? a ? N ( a ? 0 , a ? 1, N ? 0 ) .

(2)几个重要的对数恒等式
lo g a 1 ? 0 , lo g a a ? 1 , lo g a a
b

? b



(3)常用对数与自然对数

常用对数: lg N ,即 lo g 1 0 N ;自然对数: ln N ,即 lo g e N (其中 e ? 2 .7 1 8 2 8 …) . (4)对数的运算性质 如果 a ? 0 , a ? 1, M ? 0 , N ? 0 ,那么 ①加法: lo g a M ? lo g a N ? lo g a ( M N ) ②减法: lo g a M ? lo g a N ? lo g a
M N

n ③数乘: n lo g a M ? lo g a M ( n ? R )

④a

lo g a N

? N
n

⑤ lo g a M
b

?

n b

lo g a M ( b ? 0 , n ? R )
lo g b N lo g b a

⑥换底公式: lo g a N ?

( b ? 0 , 且 b ? 1)

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数名称 定义 对数函数 函数 y ? lo g a x ( a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
a ?1 0 ? a ?1

y

x ?1

y ? lo g a x

y

x ?1

y ? lo g a x

图象
O

1
(1 , 0 )

0

x

O

(1 , 0 ) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 ( 0 , ? ? ) 上是增函数

(0, ? ? )

R

图象过定点 (1, 0 ) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 ( 0 , ? ? ) 上是减函数

lo g a x ? 0 ( x ? 1)

lo g a x ? 0 ( x ? 1) lo g a x ? 0 ( x ? 1) lo g a x ? 0 ( 0 ? x ? 1)

函数值的 变化情况

lo g a x ? 0 ( x ? 1) lo g a x ? 0 ( 0 ? x ? 1)

变化 对图象的 影响
a

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

(6)反函数的概念 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x ) 中解出 x ,得式子
x ? ? ( y ) .如果对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x ? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一确

定的值和它对应,那么式子 x ? ? ( y ) 表示 x 是 y 的函数,函数 x ? ? ( y ) 叫做函数
y ? f ( x ) 的反函数,记作 x ? f
?1

( y ) ,习惯上改写成 y ? f

?1

(x) .

(7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域; ②从原函数式 y ? f ( x ) 中反解出 x ? f ③将 x ? f
?1 ?1

( y) ;

( y ) 改写成 y ? f

?1

( x ) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数 y ? f ( x ) 与反函数 y ? f
?1

( x ) 的图象关于直线 y ? x 对称.
?1

②函数 y ? f ( x ) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f

( x ) 的值域、定义域.
?1

' ③若 P ( a , b ) 在原函数 y ? f ( x ) 的图象上,则 P ( b , a ) 在反函数 y ? f

( x ) 的图象上.

④一般地,函数 y ? f ( x ) 要有反函数则它必须为单调函数.

〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数. (2)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数 时,图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象 限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 ( 0 , ? ? ) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [ 0 , ? ? ) 上为增函数.如果
?

则幂函数的图象在 ( 0 , ? ? ) 上为减函数, 在第一象限内, 图象无限接近 x 轴与 y 轴. ? ? 0,
q p

④奇偶性: 当 ? 为奇数时, 幂函数为奇函数, 当 ? 为偶数时, 幂函数为偶函数. 当? ?
q

(其中 p , q 互质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是奇函数,若 p 为
q p q

奇数 q 为偶数时,则 y ? x 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x p 是非奇非偶函 数. ⑤图象特征: 幂函数 y ? x , x ? ( 0 , ? ? ) , 当 ? ? 1 时, 若0 ? x ? 1, 其图象在直线 y ? x 下方, 若x ?1, 其图象在直线 y ? x 上方, 当 ? ? 1 时, 若0 ? x ? 1, 其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方. (3)幂函数的图象
?

〖补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ③两根式: f ( x ) ? a ( x ? x 1 ) ( x ? x 2 ) ( a ? 0 )
2

②顶点式: f ( x ) ? a ( x ? h ) ? k ( a ? 0 )

2

(2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x ) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?
b 2a 4ac ? b 4a
2
2

b 2a

,

顶点坐标是 ( ?

,

).

②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ? ? , ?
b 2a
4ac ? b 4a
2

b 2a

] 上递减,在 [ ?

b 2a

, ? ? ) 上递增,当

x ? ?

时, f m in ( x ) ?

;当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ? ? , ?

b 2a

]上

递增,在 [ ?

b 2a

, ? ? ) 上递减,当 x ? ?

b 2a

时, f m a x ( x ) ?

4ac ? b 4a

2



2 ③二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 当 ? ? b ? 4 a c ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

2

M 1 ( x 1 , 0 ), M 2 ( x 2 , 0 ), | M 1 M

2

| ? | x1 ? x 2 | ?

? |a|



(4)一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所 涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系 定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程 实根的分布. 设一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的两实根为 x 1 , x 2 ,且 x 1 ? x 2 .令
f (x) ? ax ? bx ? c , 从以下四个方面来分析此类问题: ①开口方向:a
2 2

2

②对称轴位置:

x ? ?

b 2a

③判别式: ? ④端点函数值符号.

①k<x1≤x2

?

? ? ?

△=b -4ac≥0 af(k)>0 b - >k 2a

2

y
f (k ) ? 0
?

y
a ? 0

x ? ?

b 2a

O

k

x1

x2

k
x
?

O
x1 x2

x

x ? ?

b 2a

f (k ) ? 0

a ? 0

②x1≤x2<k

?

b -4ac≥0 ?△= af(k)>0 ? b ?-2a<k
y
f (k ) ? 0
?

2

y
a ? 0

x ? ?

b 2a

O
x1

x2

O

k x
x ? ? b 2a

x1

x2

k
x
?

a ? 0

f (k ) ? 0

③x1<k<x2

?
y

af(k)<0
y
a ? 0
?

f (k ) ? 0

O
x1
?

k
x2 f (k ) ? 0

x

x1

O

k

x2

x

a ? 0

④k1<x1≤x2<k2

?

? ? ? ? ?
?

△=b -4ac≥0 a>0 f(k1)>0 f(k2)>0 b k1<- <k2 2a
a ? 0

2

? ? 或? ? ?

△=b -4ac≥0 a<0 f(k1)<0 f(k2)<0 b k1<- <k2 2a
x ? ? b 2a

2

y
? f (k1 ) ? 0

y

f (k 2 ) ? 0 x2 k2 x k1

x1

k2
x1 x2
?

O

k1

O
?

x
) ? 0

x ? ?

b 2a

f (k1 ) ? 0

f (k

2

a ? 0

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2

?

f(k1)f(k2) ? 0,并同时考

虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合
y
? f (k1 ) ? 0

a ? 0

y
f (k1 ) ? 0
?

x1

k2 x2
?

O

k1 f (k

x

O

x1

k2
k1 x2
?

x

2

) ? 0

a ? 0

f (k

2

) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2

?

a>0 ? ?f(k )>0 ?f(k )<0 f(p )<0 ? ?f(p )>0
1 2 1 2

a<0 ? ?f(k )<0 或?f(k )>0 f(p )>0 ? ?f(p )<0
1 2 1 2

此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 在闭区间 [ p , q ] 上的最值 设 f ( x ) 在区间 [ p , q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x 0 ? (Ⅰ)当 a ? 0 时(开口向上)
1 2 ( p ? q) .
2

最小值
① 若?
b 2a ? p ,则 m ? f ( p )

②若 p ? ?

b 2a

? q ,则 m ? f ( ?

b 2a

)

a?0

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

f (q)
O
f (? b 2a )

p

q

x

f
b f ((p) ? 2a )

③若 ?

b 2a

? q ,则 m ? f ( q )

a?0

y

x??

f (p) p f (q)
O
f (? b 2a )

b 2a

q
x

最大值
① 若? ②
b 2a ? x 0 ,则 M ? f ( q )

②?

b 2a

? x 0 ,则 M ? f ( p )

a?0

yx ? ? b f
x(q) 0 p

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x
x0

b 2a

q
O

O

p f (q)

x
b 2a )

f
b f ((p) ? ) 2a

f (?

(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下)

最大值
①若 ?
b 2a ? p ,则 M ? f ( p )

②若 p ? ?

b 2a

? q ,则 M ? f ( ?

b 2a

)

a?0

f (?

y

b 2a

a?0
)

f (?

y

b 2a

)

f (p)
O

f q (p)
x
O

q p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

x

f

f

③若 ?

b 2a

? q ,则 M ? f ( q )

a?0

f (?

y

b 2a

f

)

(q) p
O

q
x?? b 2a

x

f (p)

最小值
①若 ?
b 2a ? x 0 ,则 m ? f ( q )

②?

b 2a

? x 0 ,则 m ? f ( p ) .

a?0

f (?

y

b 2a

)

a?0

f (?

y

b 2a

f (p)
O

f

)

(q)
x0

q
x
b x ? ?(q) 2a

x0

p
O

p f

q
x?? b 2a

x

f (p)


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