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人大附中高二数学试卷


人大附中 2015~2016 学年度第一学期期中高二年级数学练习 &必修 2 模块考核试卷
2015 年 11 月 4 日 制卷人:吴中才王教凯审卷人:梁丽平 说明:本试卷分 I 卷和 II 卷,I 卷 17 道题,共 100 分,作为模块成绩;II 卷 6 道题,共 50 分;I 卷、II 卷共 23 题,合计 150 分,作为期中成绩;考试时间 120 分钟;请在密封 线内填写个人信息。 I 卷(共 17 题,满分 100 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在机读卡上.) 1.直线 3x ? y ? 0 的倾斜角为()

? 5 ? 2? B. ? C. D. 3 6 6 3 2.已知 l 、 m 、 n 是空间不同的三条直线,则下列结论中正确的() A.若 m ? l , n ? l ,则 m ? n B.若 m ? l , n ? l ,则 m / / n C.若 m ? l , n / / l ,则 m ? n D.若 m ? l , n / / l ,则 m / / n
A. 3. 如果直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与直线 l2 : x ? ? a ?1? y ? 3 ? 0 垂直,那么 a 等于() A. 2 B. ?1 C. 2 或 ?1 D.

2 3

4.若一个正三棱锥的正(主)视图如图所示,则其体积等于() A.

3 6

B.

3 2

C.

2 3 3
A D

D. 2 3

B A1 E

C

B1

C1

(第 6 题)

5.圆 O : x ? y ? 4 上到直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离为 1 的点的个数为()
2 2

A. 1 个

B.2 个

C. 3 个

D. 4 个

6. 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 2 ,点 D 、 E 分别是棱 AB 、 BB1 的中点,若

DE ? EC1 ,则侧棱 AA1 的长为()
1

A. 1

B. 2

C.

2

D. 2 2

7.一条光线沿直线 2 x ? y ? 2 ? 0 照射到 y 轴后反射,则反射光线所在的直线方程为() A. 2 x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 2 y ? 2 ? 0 B. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 2 ? 0

8.如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,SA ? 平面 ABCD , AC 与 BD 相 交于点 O ,点 P 是侧棱 SC 上一动点,则一定与平面 PBD 垂直的平面是() ‘ A. 平面 SAB C. 平面 SCD B. 平面 SAC D. 平面 ABCD

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把结果填在答题纸中.) 9.经过点 A ?11 , ? ,且与直线 l : 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行的直线方程为_________________. 10. 直线 2 x ? y ? 1 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长为
2 2

____________. 11.若圆 C 经过点 A ?1 , 3? 、 B ? 3, 5? ,且圆心 C 在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上,则圆的标准方程为 ___________.

E 、 F 分别是棱 B1C1 、 A1B1 的中点,则 12. 在三棱台 ABC ? A1B1C1 中, A 1B 1 ? 2 AB ,点
在三棱台的各棱所在的直线中,与平面 ACEF 平行的有________________.
2 13. 若 直 线 l : y ? k ? x ? 1? 与 圆 C : ? x ? 1? ? y ? 1恒 有 公 共 点 , 则 k 的 取 值 范 围 是 2

__________,直线 l 的倾斜角的取值范围是____________.

2

14.如图, 在

? ABCD 中,AB ? BD ? DC ? 1 ,AD ? BC ?

B C D 将? A 2,

沿对角线 BD

折成三棱锥 A '? BCD ,使平面 A ' BD ? 平面 BCD ,在下列结论中: ①直线 CD ? 平面 A ' BD ; ②平面 A ' BC ? 平面 BCD ; ③点 B 到平面 A ' CD 的距离为

2 ; 4

④棱 A ' C 上存在一点到顶点 A ' 、 B 、 C 、 D 的距离相等. 所有正确结论的编号是_______________.
A A'

B

D

B

D

C

C

(第 14 题图)

三、解答题(本大题共 3 小题,共 38 分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, ?ABC 的顶点坐标分别为 A? 2,3? , B ?1 , ? 3? , C ? ?3, ?1? (I)求 BC 边的中线所在直线的方程; (II)求 BC 边的高线所在直线的方程。

3

16.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S -ABCD 中,所有侧棱长与底面边长均相等, E 为 SC 的中点.求证: (I) SA / / 平面 BDE ; (II) SC ? BD .

(第 16 题图)

17.(本题满分 14 分)
2 2 已知直线 l1 : y ? x ?1 与圆 C : ? x ? a ? ? y ? a ? a ? 0 ? 相交于 A、B 两点, AB ? 2 , 2

直线 l2 / / l1 ,直线 l2 与圆 C 相交于 D、E 两点. (I)求圆 C 的标准方程; (II)若 ?CDE 为直角三角形,求直线 l2 的方程; (III)记直线 l1 与 x 轴的交点为 F (如图) ,若 ?CFD ? ?CFE ,求直线 l2 的方程.

4

II 卷(共 6 道题,满分 50 分)
(考试注意:本卷所有答案直接写在答题纸上,请勿将选择题答案填涂在机读卡上! )

一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填在答题纸上.)

AB 、 B1C1 、 DD1 的中点, 18. 已知点 M 、 N 、 K 分别为正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱
在正方体的所有面对角线和体对角线所在的直线中,与平面 MNK 平行的条数为( A. 6 条 B. 7 条 C. 8 条 D. 9 条 )

19.当点 P ? 3, 2 ? 到直线 mx ? y ? 1 ? 2m ? 0 的距离最大值时, m 的值为()

A.

2 B. 0

C. ?1

D. 1

20. 若 存 在 实 数 k 和 b , 使 得 函 数 f ? x ? 和 g ? x ? 对 定 义 域 内 的 任 意

x 均满足:

? ? f ? x ? ? ? kx ? b ? ? ?? ? g ? x ? ? ? kx ? b ? ? ? ? 0 ,且存在 x1 使得 f ? x1 ? ? ? kx1 ? b? ? 0 ,存在

x2 使得 g ? x2 ? ? ? kx2 ? b? ? 0 ,则称直线 l:y ? kx ? b 为函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的“分界
线”.在下列说法中正确的是() A. 任意两个一次函数最多存在一条“分界线” B. “分界线”存在的两个函数的图象最多只有两个交点 C. f ? x ? ? x ? 2x 与 g ? x ? ? ?x ? 4 的“分界线”是 y ? ? x ? 2
2 2

D. f ? x ? ? x 与 g ? x ? ? ? ? x ? 1? 的“分界线”是 y ? 0 或 y ? x ?
2
2

1 2

二、填空题(本大题共 2 小题,每题 9 分,共 18 分.请把结果填在答题纸中.)

AB ? 1 , 21. 在正六棱锥 P ? ABCDEF 中, 若平面 PAB ? 平面 PDE , 则 PA ? __________, 该正六棱锥的体积是______________.

5

P 在对角线 BD1 上,过点 P 作垂直 22.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 3 ,动点
于 BD1 的平面 ? , 记平面 ? 截正方体得到的截面多边形 (含三角形) 的周长为 y ? f ? x ? , 设 BP ? x , x ? ? 0,3? ,关于函数 y ? f ? x ? : (I)下列说法中,正确的是() ①当 x ? ?1, 2? 时,截面多边形为正六边形; ②函数 f ? x ? 的图象关于 x ?

3 对称; 2

③任取 x1 , x2 ??1, 2? 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? . (II)函数 y ? f ? x ? 单调区间为___________.

三、解答题(本大题共 1 小题,满分 14 分.请把结果填在答题纸中.) 23.(本题满分 14 分) 如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是半圆的中点, PA ? 平面 ABC , PA ? AB , PB ? 6 D 是 PB 的中点, E 是 PC 上一点. ( I ) 若 DE ? PB ,求

PE 的值; EC

(II)若点 Q 是平面 ABC 内一点,且 QA ? 2 QC ,求点 Q 在 ?ABC 内的轨迹长度.

C(第 23 题图)

6

人大附 2015-2016 学年度高二文期中试题参考答案 I 卷(共 17 题,满分 100 分)
一、 选择题 题号 答案 二、 填空题 1 D 2 C 3 D 4 C 5 C 6 C 7 A 8 B

9. 3x ? 2 y ? 1 ? 0 11.

10.
2

2 5 5

? x ? 1?

2

? ? y ? 5? ? 4

12. AC 1 1 、 BB1

13. 13. ?

3 3 ? ? ? ? 5? ? , ? ? ?0, ? ? ? ,? ? ?k? 3 3 ? 6? ? 6 ?

14. ①②④ 三、解答题

15.解: (I)由中点坐标公式可知: BC 边中点 D 的坐标为 ?

? 1 ? 3 ?3 ? 1 ? , ? 即 ? ?1, ?2? 2 ? ? 2

于是 BC 边中线所在的直线方程斜率为 k AD ?

3 ? ? ?2? 5 ? 2 ? ? ?1? 3
5 ? x ? 1? 3

由点斜式可得: BC 边的中线所在直线的方程为 y ? 2 ? 即 5x ? 3 y ? 1 ? 0 (II)易知, BC 边所在直线方程斜率为 kBC ?

?1 ? ? ?3? 1 ?? ?3 ? 1 2

又 BC 边的高线所在直线方程斜率满足: k AE ? kBC ? ?1 得: k AE ? 2 于是由点斜式知: BC 边的高线所在直线的方程为 y ? 3 ? 2 ? x ? 2? 即 2x ? y ?1 ? 0

7

16.证明: (I)连接 AC 交 BD 于点 O ,易知 O 点为底面正方形 ABCD 的中心, 点 O 为对角线 AC 的中点, 而 E 为棱 SC 的中点, 故在 ?SAC 中, OE 为中位线 于是有 OE / / SA 又 OE ? 平面 BDE , SA ? 平面 BDE 由线面平行的判定定理可得: SA / / 平面 BDE

(II)连接 OS ,在正四棱锥 S -ABCD 中,易知 SO ? 底面 ABCD 在 ?SAC 中, SA ? SC , OA ? OC 于是得: SO ? AC SO ? AC 在 ?SBD 中, SB ? SD , OB ? OD 于是得: SO ? BD 而 AC , BD ? 平面 ABCD ,且 AC ? BD ? O 于是由线面垂直的判定定理可得: SO ? 平面 ABCD 而 BD ? 平面 ABCD 再由线面垂直的性质定理可得: SO ? BD 又在正方形 ABCD 中, AC ? BD 而 AC , SO ? 平面 SAC , AC ? SO ? O ‘ 故由线面垂直的判定定理可得: BD ? 平面 SAC 又 SC ? 平面 SAC 于是由线面垂直的性质定理得: SC ? BD

8

17.解: (I)可知圆 C 的圆心坐标为 ? ?a,0 ? ,半径为 r ? a 圆心 C 到直线 l1 的距离为 d1 ?

?a ? 1 12 ? ? ?1?
2
2

?

a ?1 2

?1 ? 由垂径定理知: r ? d ? ? AB ? ?2 ?
2 2 1

即有: a

2

? a ? 1? ?
2

2

? 1 ? a ? 0 ? 解得: a ? 3
2

2 故所求圆 C 的标准方程为 ? x ? 3 ? ? y ? 9

(II)易知:若 ?CDE 为直角三角形,则 ?DCE ? 90? 又 CD ? CE ? r ? 3 可知 ?CDE 为等腰直角三角形 由垂径定理:圆心 C 到直线 l2 的距离 d 2 ?

2 3 r= 2 2 2

依题意可设直线 l2 的方程为 x ? y ? m ? 0 ? m ? ?1? 而由点到直线的距离公式得: d 2 ?

?3 ? m 12 ? ? ?1?
2

?

m?3 2

=

3 2 2

解得: m ? 0 或 m ? 6 故所求直线 l2 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 6 ? 0 (III)可知直线 l1 与 x 轴交点 F 的坐标为 ?1,0 ? ,依题意可设直线 l2 的方程为 y ? x ? t
2 2 2 将其与圆的标准方程 ? x ? 3 ? ? y ? 9 联立整理可得: 2x ? ? 2t ? 6? x ? t ? 0 2

设 D 、 E 两点坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 由韦达定理可得:

x1 ? x2 ? ?

t2 2t ? 6 ? ?t ? 3 , x1 ? x2 ? 2 2
y1 y ? 2 ?0得 x2 ? 1 x2 ? 1

由 ?CFD ? ?CFE 知: kFD ? kFE ? 0 即有

? x2 ?1? y1 ? ? x1 ?1? y2 ? ? x2 ?1?? x1 ? t ? ? ? x1 ?1?? x2 ? t ? ? 2x1x2 ? ?t ?1?? x1 ? x2 ? ? 2t
t2 3 于是有 2 ? ? ? t ? 1?? ?t ? 3? ? 2t ? 0 得 t ? 4 2
故所求直线 l2 的方程为 y ? x ?

3 ,即 4 x ? 4 y ? 3 ? 0 4
9

II 卷(共 6 道题,满分 50 分)
一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.) 18. A 19. C 20.C

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分.)

21.

7 3 , 4 2

22.(I)②③(II)单调递增区间 ? 0,1? ,单调递减区间 ? 2,3? 三、解答题(本大题共 1 小题,共 14 分.) 23.解: (I)在圆 O 中, AB 为直径,可知: ?ACB ? 90?

PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC
由线面垂直的性质定理可得: PA ? BC 又 AC ? BC , AC ? PA ? A , AC , PA ? 平面 PAC 由线面垂直的判定定理可得: BC ? 平面 PAC 而 PC ? 平面 PAC 故有 BC ? PC 在 Rt ?PBC 中,由 DE ? PB 易得: ?PDE ? ?PCB 于是有:

PD PE 1 ? 而 PB ? 6 , PD ? PB ? 3 , PC PB 2

PA ? AB ?

2 2 PB ? 3 2 , AC ? BC ? AB ? 3 2 2

PC ? PA2 ? AC 2 ? PB2 ? AB2 ? 3 3
PB ? PD 6 ? 3 ? ?2 3 PC 3 3

于是得: PE ?

10

EC ? PC ? PE ? 3 3 ? 2 3 ? 3 ,

PE 2 3 ? ?2 EC 3

因此,所求

PE 的值为 2 EC

(II)以点 O 为坐标原点, OB 所在直线为 x 轴, OC 所在直线为 y 轴建立如图所示的

平面直角坐标系,可知 A 、 C 两点坐标分别为 ? ?

3 ? 3 ? ? ? 2, 0 ? , ? 0, ? 2? 2 ? 2 ? ? ?

可设动点 Q 的坐标为 ? x, y ? ,依题意有: QA ? 2 QC

3 3 ? ? ? ? 2 ? ? y 2 ? 2 x2 ? ? y ? 2? 于是 ? x ? 2 2 ? ? ? ?
2 2 ? 2 ? 3 3 ? ? ? ? 2 即? x ? 2 ? ? y =4 ? x ? ? y ? 2? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

2

2

? 2? 整理可得: ? x ? ? ? y?4 2 ? 2 ? ? ?

2

?

?

2

? 12

11


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