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27.2.3切线的判定与性质(1)_图文

复习提问
图形
公共点个数 直线和圆的位 置关系
圆心到直线的 距离d与半径 r 的关系


直线和圆的位置关系
r


r
A



r
B

d
0个 相离 d >r

d
A

d

唯一一个 相切 d =r

两个 相交 d <r

知识导入 切线的判定定理:
B


A

C

经过半径的外端 并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
BC为⊙O切线

OA为⊙O半径 BC ⊥ OA于A

切线的判定定理:经过半径的外端并 且垂直于这条半径的直线是圆的切线

1、直线l垂直于半径OA,直 线l是⊙O的切线吗? 不是 2、直线l经过半径OA的外端A,直 线l是⊙O的切线吗? 不是

温馨提示 :在此定理中,题设是

“经过半径的外端”和“垂直于 这条半径”,两个条件缺一不可, 否则就不是圆的切线,

判定一条直线是圆的切线的三种方法
1、利用定义:与圆有唯一公共点的直线是圆 的切线。

2、利用定理:与圆心距离等于圆的半径的直 线是圆的切线。
3、利用切线的判定定理:经过半径的外端并 且垂直于这条半径的直线是圆的 切线。

如右图,如果直线 l 是⊙O 的切线,点A为切点,那么半径 OA与 l 垂直吗? 由于 l 是⊙O的切线,圆心O到 直线 l 的距离等于半径,所以OA 是圆心O到AB的距离,因此 l ? AB


]

图 23.2.8

切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的 半径。

例1、如图已知直线AB过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA =CB.求证:直线AB是⊙O的切线

证明:连结OC,
∵OA=OB,OC=OC,CA=CB ∴ △AOC≌△BOC(S.S.S) ∴ ∠ACO=∠BCO=90° 连结OC 即 OC⊥AB 当已知条件中直线与圆 ∴ AB是⊙O的切线. 已有一个公共点时
辅助线:是连结圆 心和这个公共点。 再证明这条半径与直线垂直。

例2、如图:点O为∠ABC平分线上一点,OD⊥AB 于D,以O为圆心,OD为半径作圆。 求证:BC与 作⊙O相切。

分析:作OE⊥BC于E
当已知条件中没有明确 直线与圆是否有公共点时 辅助线:是过圆心作 这条直线的垂线段。 再证明这条垂线段的长等于 半径。

E

练习1、如图,线段AB经过圆心O,交
⊙O于点A、C,∠BAD=∠B=30°,边BD 交圆于点D.,BD是⊙O的切线吗?为什么? 解:连结OD BD是⊙O的切线 ?BAD ? 30? OA ? OD 因为 所以 ?DOB ? 60? 因为 ?B ? 30? 所以 ?ODB ? 90? 即 BD ? OD
D
A B

O

C

因为AC是⊙O的直径 所以 BD是⊙O的切线

练习2、如图,⊙O的半径为8厘米,圆内的弦AB 为8 3 厘米,以O为圆心,4厘米为半径作 小圆,求证:小圆与直线AB相切。 证明: 作OE⊥AB于E 则AE=BE 连结OA ∵ AB=8 3 ∴ AE= 4 3
O A

E

B

∴ OE ? OA2 ? AE 2 ? 82 ? (4 3) 2 ? 4 又∵ 小⊙O半径为4厘米 圆心O到直线AB的距离等于半径 所以AB是⊙O的切线

练习3.判断:
(1)经过半径的一个端点,并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线 (

×)

(2)若一条直线与圆的半径垂直,则这条直线是圆的切 ) × (3)过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线( ) × (4)以直角边为半径的圆一定与另一条直角边相切。 ( × ) 线。 (

(5)以等腰直角三角形斜边的中点为圆心,直角边的一
半为半径的圆,与两条直角边相切。 (6)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线

( 提示)

√ (√)

小结
判定一条直线是圆的切线的三种方法
1、利用定义:与圆有唯一公共点的直线是圆 的切线。 2、利用定理:与圆心距离等与圆的半径的直 线是圆的切线。 3、利用切线的判定定理:经过半径的外端并 且垂直于这条半径的直线是圆的 切线。

切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的 半径。

小结
判定方法 根据

要判定一条直线是圆的切线,我们已学过三种方法,如下表所示:

有切点,连半径,证垂直 方法1 切线定义
无切点,作垂直,证半径 过半径外端且和
方法3 半径垂直的直线 是圆的切线 切线判定定理 方法2

和圆有唯一公共 点的直线是圆的 切线 和圆心距离d等 于圆的半径r的直 线是圆的切线

d=r

3:已知:如图,ABCD为直角梯形,AB⊥BC,
CD=AD+BC,求证:以CD为直径的圆与AB 相切 证明:过O作OE⊥AB于E。 ∵ABCD为直角梯形,DA∥CB, CB⊥AB,DA⊥AB

∴DA∥OE∥CB
∵O为DC的中点 ∴ 2OE = AD+BC=CD ∴ OE= OD

∴AB为⊙O的切线 即以CD为直径的圆与AB相切。

4.下列命题中的假命题是:

(C )

A.和圆有唯一公共点的直线是圆的切线

B.过直径一端且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C.点A在直线L上,⊙O半径为r,若OA=r时,则

直线L是⊙O的切线
D.⊙O的半径为a,则O点到直线的距离为d,若d= a时,则L是⊙O的切线。

练习:已知:PA、PB是⊙O的切线,切点为A、 B点, ∠APB=50°,点 C 为圆周上 的一点,求∠ACB的度数。

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