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陕西省师大附中2013届高三数学高考复习:专题1 集合与常用逻辑用语,函数与导数,不等式


专题一

集合与常用逻辑用语,函数与导数,不等式

1.(2013·河南郑州市第一次质检)若集合 A ? {0,1,2, x} , B ? {1, x 2 }, A ? B ? A ,则满 足条件的实数 x 的个数有 A. 1 个 【答案】B
2 2 2 【解析】由 A ? B ? A 知 B ? A ,所以 x ? 0 或 x ? 2 或 x ? x ,解得 x ? 0,? 2,1. 验

B 2个

C. 3 个

D 4个

证 x ? 0,1 不满足元素的互异性. 【规律解读】集合的关系关键是研究好集合中元素的从属关系,分为二种情形:一是部分 从属;二是全从属.集合的运算包括交、并和补.关于集合的概念求字母参数问题,通常 的解法步骤:①对集合中元素的合理搭配;②列出方程组求出字母参数的值;③检验所求 的参数值是不是满足集合元素的互异性以及符合题意. 2. ( 2013 · 哈 三 中 期 末 ) 已 知 集 合 A ? ?2,3, 4? , B ? ?2, 4,6,8? ,

C ? ( x, y) x ? A, y ? B, 且log x y ? N ? ,则 C 中元素个数是
A. 2 【答案】B 【解析】本题主要考查集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查。 依据 C 集合的定义对对数底数、真数的取值一一考虑,所有的对数是 B. 3 C. 4 D. 5

?

?

1 3 1, 2, log 2 6,3, log 3 2, log 3 4, log 3 6, log 3 8, , log 4 6, , 其中满足 log x y ? N * 的有 3 个元素, 2 2
因此选择 B. 【规律解读】元素与集合的关系:元素与集合的关系是属于与不属于的关系,一个元素要么 属于一个集合,要么不属于一个集合,两者必居其一。要判断一个元素是否属于一个集合, 关键是判断该元素是否具有该集合的元素的公共属性。

? ? ? ? , 3. ( 2013 · 杭 州 市 第 一 次 质 检 ) 已 知 集 合 A ? ( x, y ) x( x 1) y ( y 1) r 集 合

?

?

B ? ( x, y) x ? y ? r ,若 A
2 2 2

?

?

?

B ,则
)

实数 r 可以取的一个值是( A.

2 ?1

B.

3

C. 2

D. 1 ?

2 2

【答案】A 【解析】 A ? ?( x, y) ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? r ? ? 、 B ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? r 2 不难分析,A、

? ?

1 2

?

1 2

1? 2?

?

?

B 分别表示两个圆,要满足 A 即:

B ,即两圆内切或内含。 故圆心距 O1O2 ?

2 ? r1 ? r2 , 2

2 1 1 1 1 ? r ? r ? ? r2 ? 2? r ? r ? ? r ? ? 2 2 2 2 2 ? 1 ? 1 1 ? r ? r ? 2 r ? ? 1? ? 0 ? r ? 2 r ? ? 1 ? 0 ? r ? 1 ? 2 r ? . ? ? 2 ? 2 2 ? ? r 2 ? 2r ? 1 ? 0 ? r ?
显然, r ?

1? 6 2

1? 6 ? 2 ,故只有(A)项满足。 2

4.(2013·广东东莞调研)已知函数 f ( x) ? N,则 M ? N = 【答案】 (0,1) .

1 的定义域为M, g ( x) ? ln x 的定义域为 1? x

【解析】本题主要考查集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查 由 题 意 f ( x ) 的 定 义 域 满 足 : 1 ? x ? 0即M= x x ? 1 , N ? ? x x ? 0? M ? N = (0,1) 。 【规律解读】 集合的关系和运算在高考中常常考一个小题, 常结合方程的解, 不等式的解集, 函数的定义域和值域的考查.解题方法是理清元素结合图象(ven 图、数轴和坐标系)解决. 5.(2013·惠州市第三次调研)已知集合 A ? ??1, , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,则 1? 实数 a 的所有可能取值的集合为( A. ??1? 【答案】D 【解析】因为 B ? A 的a ? 0时B ? ? B. ?1? ) C. ??1, 1? D. ??1,, 0 1?

?

?

?

?

,所以考虑

1 1? ? a ? 0 时 B ? ?x x ? ? a ? ?1 ,特殊 ?A ,因此 a 所以 a? ?

实数 a 的所有可能取值的集合是 ??1,, 0 1? ,所以 。

【规律解读】此类问题容易忽略 B ? ? 的情况,也就是容易忽略 a ? 0 的情况,误选 C。所 以对于 B ? A 时,集合 B 的情况要考虑清楚。解决含参数问题的集合运算,首先要理清题 目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论思想的应用。空集作为一个特殊集合与 非空集合间的关系, 在解题中漏掉它极易导致错解。 要特别注意集合中的元素所代表的特征。 如:A={y|y=x +2},B={(x,y)|y=x +2}.其中 A 表示数集,B 表示二次函数 y=x +2 的图象上所 有点组成的集合,二者不能混淆。 6.(2013·南昌市三校联考)下列命题正确的是( A.已知 p : )
2 2 2

1 1 ? 0, 则 ? p : ?0 x ?1 x ?1

B.存在实数 x ? R ,使 sin x ? cos x ?
2

?
2

成立
2

C.命题 p:对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p :对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 D.若 p 或 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 【答案】D 【解析】已知 p :

? 1 1 ? 0, 则 ? p : ? 0 或者 x ? 1 ? 0 ,所以 A 是假命题;因为 ? 1 2 x ?1 x ?1

所以不存在实数 x ? R ,使 sin x ? cos x ?

?

2

成立,因此 B 是假命题;命题 p:对任意的

x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p :存在 x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,所以 C 是假命题;命题 D 是真
命题,选择 D。 【规律解读】 对于命题真假的判定, 关键是分清命题的条件与结论, 只有将条件与结论分清, 再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。 原命题与逆否命题为等价命题, 逆命题与 否命题为等价命题,一真俱真,一假俱假;当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等 价命题的真假. 7.(2013·佛山市第一次质检)命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 1 ,则 ? p 是
2

A. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

B. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

C. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

D. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

【答案】C 【解析】 因为命题

p : ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 含有量词, 所以命题的否定要把量词一块进行否定,

即 ?x ? R, x ? 1 ? 1 ,选择 C。
2

8. (2013·湖南师大附中第五次月考)向量 a , b 均为单位向量,其夹角为 ? ,则命题 “ p : a ? b ? 1 ”是命题“ q : ? ? [ A.充分非必要条件 【答案】B 【解析】 p : a ? b ? 1 ? (a ? b ) ? 1 ? a ? 2ab ? b ? 1 ? a ? b ?
2

? ?

?

?

? 5?
2 , 6

) ”的(

)条件. D.非充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充分必要条件

?

?

?

?

?2

??

?2

? ?

1 1 ? cos ? ? 2 2

? ? ? ( ,? ] 3
从而 q : ? ? [

?

? 5?
2 , 6

? ? ) ? p : a ? b ? 1 ,反之 http://www.ks5u.com/不成立,选 B。

【规律解读】(1)判断充分条件、必要条件的方法有三种:直接法,集合法,等价法.(2) 利用集合法进行判断时,借助数轴能直观显示两个集合的关系,从而使问题易于求解.(3) 对于条件或结论是否定形式的充分条件、 必要条件的判断, 要善于利用等价命题进行判断. 在 进行充分条件、必要条件判断时,首先要明确哪个论断是条件,哪个论断是结论,而且将条 件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系也是解决问题的关键。 9.(2013·江西 )

若集合 A 具有以下性质:① 0 ? A , 1 ? A ;②若 x, y ? A ,则 x ? y ? A ,且 x ? 0 时,

1 ? A .则称集合 A 是“好集”. x
(1)集合 B ? ??1,0,1? 是好集; (2)有理数集 Q 是“好集”; (3)设集合 A 是“好集”, 若 x, y ? A ,则 x ? y ? A ;(4)设集合 A 是“好集”,若 x, y ? A ,则必有 xy ? A ;(5) 对任意的一个“好集 A ,若 x, y ? A ,且 x ? 0 ,则必有 则上述命题正确的个数有( A.2 个 【答案】C 【解析】由新定义知 1-(-1)=2 不在集合 B ? ??1,0,1? 理数集 Q 满 中,所以(1)错误; B.3 个 ) C.4 个 D.5 个

y ? A. x

足以上条件,有理数集 Q 是“好集”, 所以(2)是真命题;因为集合 A 是“好集”,所

以 0∈A.若 x,y∈A,则 0-y∈A,即-y∈A.所以 x-(-y)∈A,即 x+y∈A,所以(3)是 真命题;对任意一个“好集”A,任取 x,y∈A,若 x,y 中有 0 或 1 时,显然 xy∈A.下设 x,y 均不为 0,1.由定义可知:x-1,

1 1 1 , ∈A.所以 ∈A,所以 x(x-1)∈ x ?1 x x( x ? 1)
2 2

A.由(3)可得:x(x-1)+x∈A,即 x ∈A.同理可得 y ∈A,若 x+y=0 或 x+y=1,则显然 (x+y) ∈A,若 x-y=0,或 x-y=1,则(x-y) ∈A.所以 2xy=(x+y) -x -y ∈A,所以 ∈A. 由(3)可得:
2 2 2 2 2

1 2xy

1 1 1 = + ∈A,所以 xy∈A.综上可知,xy∈A,即(4)为真命题; xy 2xy 2xy
1 y 1 ? A ,所以 ? y ? ? A ,即(5)是真命题。 x x x

若 x,y∈A,且 x≠0,则

【规律解读】以集合为背景的新定义问题,是课标高考命题创新型试题的一个热点,常见的 命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的是考生创 造性解决问题的能力。紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质 弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在; 用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义形集合问题 的的基本方法。 10.( 2013·江西吉安市西路片七校联考理) 已知条件 p:x≤1,条件 q : A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】已知条件 p:x≤1 则 ? p 是 x ? 1 ,条件 q : 所以 ? p 是 q 的充分不必要条件,选 A. 11. ( 2013 · 江 西 省 九 江 一 中 学 第 三 次 月 考 ) 设 集 合

1 ? 1 ,则 ? p 是 q 的( x



B.必要不充分条件 D.即非充分也非必要条件

1 ? 1 的充要条件是 x ? 0或者x ? 1 , x

A ? {5,log2 (a ? 3)}, 集合B ? {a, b}, 若A ? B={2},则b-a= (
A.1 【答案】A B.2 C.3 D.4



【解析】 因为 A ? B ? ?2? 所以 2 ? A , l g (2 a 3 2? 1 ? , 故o 又 , 所以 2 ? B ,b ? 2 , ? , a ) 则 b ? a ? 1 ,选 A。 12. (2013·广东深圳市南山区期末)已知函数 f ( x ) , g ( x) 分别由下表给出

x
f ( x)

1 1

2 3

3 1

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

则 f [ g (1)] 的值为 【答案】1;2.

;满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值是



【解析】 这两个函数是用表格给出的, 对应关系明确, 所以 g (1) ? 3 ? f [ g (1)]=f (3) ? 1 ,

; 因此 f [ g (1)]=1 f [ g ( x)] 、 g[ f ( x)] 分别如下表:

x
f [ g ( x)]

1 1

2 3

3 1

x
g[ f ( x)]

1 3

2 1

3 3

所以 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值是 2. 【规律解读】函数的自定义问题:要吃透信息的实质,利用观察、分析、类比、化归、数形 结合等数学思想方法解决。 13.(2013·河北秦皇岛市期末)函数 f ( x) ? A. [?2, 0) ? (0, 2] 【答案】 B B. (?1, 0) ? (0, 2]
1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)





C. [?2, 2]

D. (?1, 2]

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? ? ? ?1 ? x ? 0或者0 ? x ? 2 所以 【解析】 函数 f ( x ) 需要满足 ?ln( x ? 1) ? 0 ? ? x ? 0 ?4 ? x 2 ? 0 ??2 ? x ? 2 ? ?
f ( x) 的定义域是 (?1, 0) ? (0, 2] .
14.(2013·湖北咸宁市联考)已知函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [1,2] ,则函数 f (2 x) 的定义域 为 【答案】 [0, ].

1 2

【解析】函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [1,2] 即 1 ? x ? 2 ,所以 0 ? x ? 1 ? 1 ,因此 f ( x ) 的定义 域是 [0,1] ,那么 f (2 x) 需要满足 0 ? 2 x ? 1 即 0 ? x ? 15.(2013·湖南雅礼中学月考四)

1 1 ,所以 f (2 x) 的定义域为 [0, ]. 2 2

【答案】 【解析】由 ?

;

?a ? 0 x?2 ? 0 知 x ? 2或者x ? ?1 ,由已知函数 y 的定义域 所以 s ? 1 , x ?1 ?as ? a ? 0

是 [ s, t ) ,故 s ? 2 .由 as ? a ? at ? a 且 loga (at ? a) ? log a (as ? a) ,所以 0 ? a ? 1 ,因此

s?2 t ?2 ? as ? a , ? at ? a , 则 s、t 是 方 程 的 两 个 相 异 实 根 ax2 ? x ? a ? 2 ? 0 , s ?1 t ?1

? ? 1 ? 4a(2 ? a) ? 0 ,解得 a ?

2? 3 2? 3 ,综合得 或者a ? 2 2
2 2

16. (2013·福建省福州市期末)能够把圆 O:x +y = 16 的周长和面积同时分为相等的两 部分的函数称为圆 O 的 “和谐函数”,下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是 A. f ( x) ? 4x ? x
3

B. f ( x) ? 1n
x

5? x 5? x
?x

C. f ( x) ? tan 【答案】D

x 2
2

D. f ( x) ? e ? e

【解析】圆 O:x +y = 16 是关于原点对称的图形,如果能够将圆 O 分为相等的两部分,那 么这个函数图象应该关于原点对称,即函数为奇函数,其中 A、B、C 均为奇函数因此都是圆 O 的 “和谐函数”,而 D 是偶函数且图象不关于原点对称,所以选择 D。

2

17.(2013·西工大附中适应性训练) 函数 f ? x ? ? A. ?1, 2?

x ? 4 ? 15 ? 3x 的值域是(
C. 0, 3 ?



B. ? 0, 2?

?

?

D. ?1, 3 ?

?

?

【规律解读】解决分段函数问题既要紧扣“分段”这个特征,又要将各段有机联系使之整体 化、系统化,还要注意每一区间端点的取值情况.分段函数的特点是在定义域的不同范围内

函数的解析式是不相同的,即函数值的变化规律是不相同的,因此分段函数问题时,要利用 分类讨论思想解决. 18.(2013·黑龙江大庆铁人中学期末)下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是( A )

f ( x) ? sin 2 x

B f ( x) ? xe x

C f ( x) ? x 3 ? x

D f ( x) ? ? x ? ln x

【答案】B

n 【 解 析 】 由 f ( x) ? s i 2 x 的 单 调 递 增 区 间 是 [ k? ?

?

, k? ? ](k ? Z ) ; 4 4

?

f ( x) ? xex , f ?( x) ? ex ( x ? 1) ,当 x ? (0, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0,??) 上为
增函数; f ( x) ? x3 ? x,f ?( x) ? 3x2 ?1 ,令 f ?( x ) ? 0 则 x ?

3 3 ,所以函 或者x ? ? 3 3
f ( x) ? ? x ? ln x ,



f ( x) 在 (??, ?

3 3 )和( , ??) 上 单 调 递 增 ; 3 3

1 x ?1 f ( x) ? ?1 ? = ? ,令 f ?( x) ? 0 则函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,综合以上选 x x
择 B。
x 19.(2013·浙江省重点中学联考)设 y ? (a ? 1) x 与 y ? ( ) ( a ? 1 且 a ≠2)具有不同

1 a

的单调性,则 M ? (a ? 1) 与 N ? ( ) A.M<N 【答案】C. 【解析】 因为 a ? 1 则 0 ? B.M=N

1 3

1 a

3

的大小关系是 C.M>N D.M≤N

1 1 1 x ? 1 所以 y ? ( ) x 在 R 上单调递减; 因为 y ? (a ? 1) x 与 y ? ( ) a a a
1

具有不同的单调性,则 y ? (a ? 1) x 在 R 上单调递增,所以 a ? 1 ? 1 ,所以 M ? (a ? 1) 3 ? 1 ,

1 N ? ( )3 ? (0,1) ,故 M>N,选择 C. a
【规律解读】函数单调性的处理常见有两种方法一是掌握并熟记一次函数、反比例函数、二 次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的单调性,将大大缩短我们的判断过程; 二是应用导数研究函数的单调性。 20.(2013·湖北咸宁、通城、通山、崇阳四校联考)若函数 y ? 单调递增,那么 a 的取值范围是( )

1 1? ? 在 ?? 2,? ? 上 x ? ax ? a ? 2?
2

A. a ? ?1 【答案】 B

B. ? 4 ? a ?

1 2

C. ? 1 ? a ?

1 2

D. a ?

1 2

【解析】若令 f ( x) ? x 2 ? ax ? a

a 1 ? ?? ? 1 2 2 只要 ? ? ?1 ? a ? 1 2 ? f (? ) ? f (?2) ? 0 2 ?

【规律解读】 已知函数单调性求参数范围的问题, 解法是根据单调性的概念得到恒成立的不 等式,还要注意定义域的限制,并挖掘题目的隐含条件。讨论函数的单调性时要注意:必须 在定义域内进行,即函数的单调区间是定义域的子集。 21.(2013·银川一中第六次月考) 设 f ? x ? 是定义在 x ? R 上以 2 为周期的偶函数,已知

x ? (0,1) , f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? ,则函数 f ? x ? 在 (1, 2) 上(
2

)

A.是增函数且 f ? x ? ? 0 C.是减函数且 f ? x ? ? 0 【答案】D.

B.是增函数且 f ? x ? ? 0 D.是减函数且 f ? x ? ? 0

【解析】已知 x ? (0,1) , f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? 单调递增;因为函数 f ? x ? 是偶函数所以函数
2

又因为 f ? x ? 是以 2 为周期的函数, 所以函数 f ? x ? 在 (1, 2) 上 f ? x ? 在 (?1, 0) 上单调递减; 单调递减,选择 D.

22.(2013·西安一中期末)函数 f ( x ) ? log 2 x ? A. (0, ) 【答案】C

1 的零点所在区间为( ) x

1 2

B. ( ,1)

1 2

C. (1, 2)

D. (2,3)

【解析】函数的定义域是 (0, ??) , y ? log 2 x 是增函数, y ?

1 是减函数所以 x

1 1 1 f ( x) ? log 2 x ? 为其定义域上的增函数,f ( ) ? ?3 ? 0 ,f (1) ? ?1 ? 0 ,f (2) ? ? 0 , x 2 2
所以 f (3) ? 0 ,由函数零点存在条件知零点所在区间为 (1, 2) .选择 C。 湖南师大附中高三年级月考数学试题(5) 23.(2013·武汉第一次调研)我们把形如 y ?

b ?a ? 0, b ? 0? 的函数称为“莫言函数” , x ?a

并把其与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点” ,以“莫言点”为圆心凡是与“莫言

函数”有公共点的圆,皆称之为“莫言圆” ,则当 a ? 1 , b ? 1 时, (1)莫言函数的单调增区间为: (2)所有的“莫言圆”中,面积的最小值为____________

3? . 【答案】 (1) ?? ?, 1?, ?? 1,0? ; ? (2)
【解析】(1)由图 1 易知 x=1 与 x=-1 是函数图像的渐近线 所以,单调增区间为: ?? ?, 1?, ?? 1,0? ? (2)如图 2 显然圆心 C(0,-1),由图当圆 C 与“莫言眉毛”相切时, 圆面积最小。在 y ?

1 ?x ? 1? 上任取一点 P(x,y),则 x ?1

R 2 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 把y ?
令 t=

1 1 ? 1) 2 代人得: 2 = x 2 ? ( R x ?1 x ?1
http://www.ks5u.com/

1 2 (t ? 0)化简得: 2 = (t ? 1) 1? ? 3 ,? R 2 ? 3 R ? ? ? ? x ?1 t ? ?

? 面积的最小值为 3 ?
1 2 ( , ) y ? f ( x) 的图象过点 2 2 ,则 log 4 f (2) 24.(2013·惠州市第三次调研)已知幂函数
的值为( )

1 A. 4

1 B. - 4

C.2

D.-2

25.(2013·西工大附中适应性训练)设 a ? 0.50.5 , b ? 0.30.5 , c ? log0.3 0.2 ,则 a, b, c 的大小 关系是( A. a ? b ? c 【答案】D 【解析】 a ? 0.5 , b ? 0.3 , 考虑幂函数 y ? x
0.5 0.5 0.5

) B.

a?b?c

C. c ? b ? a

D. b ? a ? c

,所以 1 ? 0.5

0.5

0.5 ? 0.3 ? 0,又对数

c ? log0.3 0.2 ? log0.3 0.3 ? 1 ,故选择 D.

26.(2013·广州市调研)已知函数 f

? x?

?log x, x ? 0 ? ? 1 ?? , 则 f ? f ? ? ? 的值是 ? ? x 2 ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0
C. ?9 D. ?

A. 9 【答案】 B 【解析】 f ? ? ? log 2

B.

1 9

1 9

?1? ?4?

1 ? log 2 2?2 ? ?2 , 4

? f? ?
x

1 ? 1 ?? f ? ? ? ? f ? ?2 ? ? 3?2 ? 9 ? 4 ??
)

27.(2013·杭州市第一次质检)设函数 f ( x) ? 2 ,则下列结论中正确的是( A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f (? 2) ? f (?1) 【答案】D 【解析】由题意, f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2)

? f (?x) ,即 f ( x) 为偶函数。

? f (?1) ? f (1) ? 故 ? f (?2) ? f (2) . 显然 x ? 0时,f ( x) ? 2 x 单调递增。 ? ? f (? 2) ? f ( 2)
所以 f (?1) ? f (1) ? f ( ? 2) ? f ( 2) ? f ( ?2) ? f (2) 28. (2013·湖南师大附中月考)指数函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1) 在 R 上是减函数,则
x

函数 g ( x) ? (a ? 2) x 在 R 上的单调性为(
3

) B.单调递减 D .在 (0,??) 上递减,在 (??,0) 上递增

A.单调递增 C.在 (0,??) 上递增,在 (??,0) 上递减 【答案】B

【解析】由已知有 0 ? a ? 1 ,显然函数 g ( x) ? (a ? 2) x 在 R 上单调递减.
3

29.(2013·西工大附中第二次适应性训练)为了得到函数 y = log2 数 y = log 2 x 的图象上所有的点的( A.纵坐标缩短到原来的 )

x - 1 的图象,可将函

1 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2 1 B.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2
C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度

【答案】A 【解析】 y = log 2 标缩短到原来的

x- 1 =

1 log 2 ( x - 1) 所以可将函数 y = log 2 x 的图象上所有的点纵坐 2

1 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度. 2

30.(2013·泰安市期末)设错误!未找到引用源。,函数错误!未找到引用源。的图象可能 是

【答案】B 【解析】由图象可知错误!未找到引用源。。错误!未找到引用源。,则错误!未找到引 用源。,排除 A,C.,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,排除 D,选 B. 31.(2013·河南省郑州市期末质检(B)

【答案】B 【解析】易排除 C,D.当 h ? H 时, S 减小的速度变小.由图象确定 B 符合.

f(a) f(b) f(c) 32. (2013·江西省南昌市调研)已知函数 f(x)=lnx,0<a<b<c<1,则 , , 的 a b c 大小关系 是

33. (2013·湖南师大附中第六次月考)设函数 f ( x) ? k ? a x ? a ? x ( a ? 0 且 a ? 1 )在

(??,??) 上既是奇函数又是增函数,则 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是
y y y y

o

1

2

x

o 1

2 x

-1

0

x

-1

0

x

A 【答案】C

B

C

D

1 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 k ? 1 ? 0 ,所以 k ? 1 , ax 1 1 x x 即 f ( x ) ? a ? x ,又函数 y ? a , y ? ? x 在定义域上单调性相同,由函数是增函数可知 a a
x ?x x 【解析】 f ( x) ? ka ? a ? ka ?

a ? 1 ,所以函数 g ( x) ? loga ( x ? k ) ? loga ( x ? 1) ,选 C.
33.(2013·武昌区高三元月调考)

【答案】 C 【解析】早晨后小明体温上升,呈上升趋势。吃过药后体温下降,中午基本正常,趋势先下 降,最低点为 37℃,下午即 12 时至 18 时内体温上升,呈上升趋势。在半夜体温又下降,

即在 8—24 时内趋势下降。故选 C。 34. ( 2013 · 福 建 省 福 州 市 期 末 质 检 ) 设 向 量 a , b 是 非 零 向 量 , 若 函 数

?

?

? ? ? ? f ( x) ? ( xa ? b) · (a ? xb)( x ? R) 的图象不是直线,且在 x=0 处取得最值,则必有
A. a ⊥ b C. a , b 苫不垂直且 | a | ? | b | 【答案】 C 【解析】 f ( x) ? ( xa ? b ) ? (a ? xb ) ? xa 2 ? x 2 a ? b ? xb 2 ? ?a ? b x 2 ? (a 2 ? b 2 ) x ? a ? b

?

?

B. a ∥ b

?

?

?

?

???

???

D. a , b ,不垂直且 | a | ? | b |

?

?

???

???

?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

?

? ?

因 为 图 象 不 是 直 线 , 所 以 二 次 项 系 数 不 为 0 , 即 ? a ?b ? 0 , 即

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? o 故 ? | a | ? | b | ? c o ? a 2 , b 2 ?? 0 ,即 cs ? a ,b ?? 0 , ? a, b ? 不等于 90°,所以 a 与 b 不 s

? ? a2 ? b 2 垂 直 . f (x) 在 x ? 0 处 取 最 值 , 即 x ? 0 为 f (x) 的 对 称 轴 , 故 ? ? ? ? 0 ,所以 ? 2a ? b
? ? ? ? ? ? ? ? a 2 ? b 2 ? 0 ,即 | a |?| b | ,所以 a 与 b 不垂直,且 | a |?| b | ,故选 C。
35.(2013·四川省广安市一诊)

【答案】20

400 400 1600 ? ,每年的运费 y1 ? 4 ? 。一 x x x 1600 ? 2 ? 6400 ? 160 万元, 年的总储存费用 y2 ? 4 x 。所以总花费 y ? y1 ? y 2 ? 4 x ? x 1600 等号当且仅当 4 x ? 时取,即 x ? 20 ,故答案为 20。 x
【解析】一年要买 400 吨货物,则买的次数为 36.(2013·荆门市元月调考)已知函数 y ? f ( x) 的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应 值表 x y 1 124.4 2 35 3 -74 4 14.5 5 -56.7 6 -123.6

则函数 y ? f ( x) 在区间[1,6]上的零点至少有 A、2 个 【答案】B B、3 个 C、4 个 D、5 个

【解析】根据表格画出该函数大致图象。

1 2 3 4 5 6

由该函数图象可知,在 [1, 6] 内至少有 3 个零点,故选 B。 37.(2013·江西省南昌市调研)如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个小 孔以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图像显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系,其中不正确的是 ....

A.1 个 【答案】A

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【解析】水不停地注入,所以随着时间的增加,水面的高度 h 是增大的。分析第二个容器, 发现其底面由小变大,故在相同的时间内,由于增加的水的体积是不变的,则水面的高度 h 增加的幅度越来越小,图像就越来越平缓,所以第二个图像是正确的,同理可得第 3、4 个 图像也正确;而第一个图像应为一条直线,错误。故只有 1 个图像错误,选 A
2 38.(2013·衡水中学第一次调研)“ a ? 0 ”是“方程 ax ? 2x ? 1 ? 0 至少有一个负根”的



)A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件 【答案】A

D.既不充分又不必要条件

2 【解析】当 a ? 0 时,方程 ax ? 2x ? 1 ? 0 等价为 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?

1 ? 0 ,满足 2

2 条件.当 a ? 0 时,令 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 ,因为 f (0) ? 1 ? 0 ,要使 ax ? 2x ? 1 ? 0 至少

? ?a ? 0 ? ?a ? 0 有 一 个 负 根 , 则 满 足 ?? ? 0 或? , 解得 0 ? a ?1 或 a ? 0 , 综上 方程 ? f (0) ? 0 ? 2 ?? ?0 ? 2a
ax 2 ? 2x ? 1 ? 0 至少有一个负根的条件为 a ? 1 .所以 a ? 0 ” “方程 ax 2 ? 2x ? 1 ? 0 “ 是
至少有一个负根” 充分不必要条件,选 A.
2 t ?2 39.(2013·吉林省实验中学二模)已知某质点的位移 s 与移动时间 t 满足 s ? t ? e ,则质

点在 t ? 2 的瞬时速度是 ( ) A.4 【答案】C 【解析】质点在 t ? 2 的瞬时速度是 s? t ? 2 ? (t ? 2t )e
2 t ?2 t ?2

B.6

C.8

D.16

? 8 ,所以选择 C。

40.(2013·重庆一中第四次月考)(如右图所示)函数 y ? f (x) 在点 P 处的切线方程是

y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f ?(5) =
【答案】2. 【解析】由图象信息可知 f (5) ? f ?(5) ? (?5 ? 8) ? (?1) ? 2 41.(2013 河南省郑州市第一次质检)直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x 3 ? ax ? b 相切于点

A(1,3) ,则 2a ? b 的值等于
A. 2 【答案】C B. ? 1 C. 1 D. ? 2

? k ?1 ? 3 ? 【解析】由 ?1 ? a ? b ? 3 得 a ? ?1, b ? 2, 所以 2a ? b ? 1. ? 3? a ? k ?
42.(2013·丹东市四校协作体摸底)函数 f(x)=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线, 则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,2] 【答案】B ) C.[0,+∞) D. (2,+∞)

B. (﹣∞,2)

【解析】函数 f(x)=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线,即 f′(x)=2 在(0,+∞) 上有解,而 f′(x)= +a,即 +a=2 在(0,+∞)上有解,a=2﹣ ,因为 x>0,所以 2﹣ <2,所以 a 的取值范围是(﹣∞,2) . 故选 B. 43.(2013·昆明市调研)若曲线 f(x)=acosx 与曲线 g(x)=x +bx+1 在交点(0,m)处有 公切线,则 a+b=( A. -1 B. 0 ) C. 1 D. 2
2

44.(2013·河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习)已知二次函数错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。的导数为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。>0,对 任意实数错误!未找到引用源。都有错误!未找到引用源。≥0,则错误!未找到引用源。 的最小值为 A.4 【答案】D 【解析】∵错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。>0, ∵对任意实数错误!未找到引用源。都有错误!未找到引用源。≥0,∴错误!未找到引用 源。,即错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。>0, ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≥错误!未找到 引用源。≥错误!未找到引用源。=2, 当且仅当错误!未找到引用源。取等号,故选 D. 45.(2013·马鞍山市高三第一次教学质量检测)设函数 f ( x ) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的 图象如下左图所示,则导函数 y ? f ?( x) 的图象可能是 B.3 C.8 D.2

y

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】由函数 f ( x ) 的图象及其单调性和导函数 f ?( x ) 的关系知: x ? 0时,f ?( x) ? 0 ;

x ? 0时,f ?( x ) 的符号变化为负-正-负,所以选 A。
46.(2013·银川一中第六次月考)若函数 f ? x? ? e ? x , x ? R ,则函数的极值点的个数
x 3

是(

) A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】D 【解析】 f ?( x) ? e x ? 2 x2 ,则在同一坐标系内分别作函数 y ? ex , y ? 2x2 的图象如图:
30

f?x? = ex

25

20

g?x? = 2?x2
15

10

5

30

20

10

10

20

30

5

x 2 则 f ?( x) ? e ? 2 x 的符号为:负-正-负-正,

所以函数 f ? x ? 的单调性为:减-增-减-增,故函数 f ? x ? 的极值点为 3 个。

? 1? x2 ? 47.(2013· 湖北咸宁、 通城、 通山、 崇阳四校联考)设函数 f ( x) ? ? 1 ? x ?
中 e 为自然对数的底数) ,则 A.

x ? [0,1] x ? (1, e]
(其

?

e

0

f ( x)dx 的值为(
C.

) D.

? ?1 2

B.

? ?1 2
1

? ?1 4

? ?1 4

【答案】C 【解析】

?

e

0

f ( x)dx ? ?

0

1 ? x 2 dx ? ?

e

1

1 ? dx ? ? 1 ,选择 C. x 2

48.(2013·江西省南昌市调研)由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 10 A. 3 【答案】C B.4 16 C. 3 D.6

【解析】由 y= x 与 y=x-2 联立解得 x=1 或者 4,因为 x ? 2 ,所以 x=4,因此所围成的图 形的面积为错误!未找到引用源。 ,选择 C. 49.(2013·焦作市一模)

【答案】 1 ? k ?

3 . 2

【 解 析 】 由 函 数 f ( x ) 知 其 定 义 域 是 (0, ??) , 所 以 k ? 1 ? 0 即 k ? 1 , 又

f ?( x)? 4 ? x

1 1 42? 1 x ? ,令 f ?( x ) ? 0 得 x ? ? ,因此函数 f ( x ) 的单调递减区间为 2 x x

1 1 ( , ??) , 单 调 递 减 区 间 为 ( 0 , , 若 (k ? 1k, ? ) 2 2

1) 不 是 单 调 函 数 , 则 内

1 ? ?k ? 1 ? 2 3 1 3 ? ? ? ? k ? ,综合以上 1 ? k ? . ? 2 2 2 ?k ? 1 ? 1 ? ? 2
50.(2013·烟台市一模)下列命题中,正确的是( A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bc C.若 【答案】C 【解析】由不等式的性质知 C 正确.故选 C. 51.(2013·南昌市调研)若存在实数错误!未找到引用源。使错误!未找到引用源。成立, 则 m 的取值范围为( ) B. 错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 )

B.若 ac ? bc ,则 a ? b D.若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d

a b ? 2 ,则 a ? b 2 c c

A.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 【答案】B

【解析】错误!未找到引用源。有解,则错误!未找到引用源。 52.(2013·成都市一诊) 当 x>1 时, 【答案】错误!未找到引用源。 【解析】本题考查均值不等式的运用,原式=错误!未找到引用源。,仅错误!未找到引用 的最小值为__________.

源。时取等号。 53. (2013· 云南师大附中月考三) 已知条件 p : x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 ; 条件 q : x 2 ? 6 x ? 9 ? m 2 ? 0 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 m 的取值范围是( A. ? ?1,1? B. ? ?4, 4? C. ? ??, ?4? ? ? 4, ?? ? ) D. ? ??, ?1? ? ?1, ?? ?

54.(2013·广东四校期末联考)不等式错误!未找到引用源。成立的一个必要不充分条件 是 (A)错误!未找到引用源。 (B) 错误!未找到引用源。 (D)错误!未找到引用源。 (C) 错误!未

找到引用源。或错误!未找到引用源。 【答案】D

【解析】错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。.选 D. 55.(2013·东城区期末)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价错 误!未找到引用源。,第二次提价错误!未找到引用源。;方案乙:每次都提价错误! 未找到引用源。,若错误!未找到引用源。,则提价多的方案是 【答案】乙 【解析】设原价为 1,则提价后的价格:方案甲:错误!未找到引用源。,乙:错误!未找到 引用源。,因为错误!未找到引用源。,因为错误!未找到引用源。,所以错误!未找到 引用源。,即错误!未找到引用源。,所以提价多的方案是乙。 56.(2013 · 湖 南 师 大 附 中 第 六 次 月 考 ) 不 等 式 x ?1 ? x ? 2 ? 5 的 解 集 为 . .

【答案】 (??,?2) ? (3,?? )

??1 ? x ? 2 ? x ? ?1 ?x ? 2 【解析】由: ? ,或 ? ,或 ? , ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?x ?1? x ? 2 ? 5 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 5
解得不等式的解集为: (??,?2) ? (3,?? ) ;

57. (2013·肇庆市质量评估)已知变量错误!未找到引用源。满足约束条件错误!未找 到引用源。,则错误!未找到引用源。的取值范围是( A. 错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。 B. ) C. 错

错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

?y ? x ? 0 58.(2013·杭州市第一次质检)若整数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 ? .. ?x ? 0 ?

y
(0,7)

2x ? y 的最大值为
【答案】10



? 3, 4?
? 3,3?
O

?7 7? ? , ? ?2 2?

【解析】由题意,绘出可行性区域如下: 设 z ? 2 x ? y ,即求 y ? ?2 x ? z 的截距的最大值。 因为 x, y ? Z ,不妨找出 ? 7 , 7 ? 附近的“整点” 。 ? ? ?2 2? 有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时, z ? 10 最大.

(7,0)

x

?x ? 1 ? 1 ? 59. ( 2013 · 湖 南 师 大 附 中 月 考 ) 设 x , y 满 足 约 束 条 件 ? y ? x ,向量 2 ? ? 2 x ? y ? 10 ?

a ? ( y ? 2x, m),b ? (1,?1) ,且 a // b 则 m 的最小值为
【答案】 ? 6

.

【 解 析 】 不 等 式 对 应 的 可 行 域 是 顶 点 为 A(1,8), B (1, ), C ( 4,2) 的 三 角 形 及 其 内 部 , http://www.ks5u.com/由 a // b ,得 m ? 2 x ? y ,可知在 A(1,8) 处 m ? 2 x ? y 有最小值 ? 6 60. (2013·黄山市第一次质检)已知 z=2x +y,x,y 满足错误!未找到引用源。且 z 的 最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 .

1 2

61. (2013·河南省郑州市第一次质量预测)若

x, y 满足条件

?3 x ? 5 y ? 6 ? 0, ? ?2 x ? 3 y ? 15 ? 0 ? y ? 0, ?

,当且仅

z ? ax ? y 取最小值,则实数 a 的取值范围是______. 当 x ? y ? 3 时,

? 2 3? ?? , ? 【答案】 ? 3 5 ?
【解析】画出可行域,得到最优解 ?3,3? ,把

z ? ax ? y 变为 y ? ax ? z ,即研究 ? z 的最大

? 2 3? a ??? , ? ? 3 5 ? 时, y ? ax ? z 均过 ?3,3? 且截距 ? z 最大 。 值。当

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