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第1讲向量的概念


高等院校非数学类本科数学课程

大 学 数 学(二)
—— 多元微积分学
第六讲 向量的概念及向量的表示

主讲教师

彭亚新

第一章 向量代数与空间解析几何

第一节 向量的概念及向量的表示
本节教学要求: ▲ 正确理解向量、向量的模、单位向量的概念。 ▲ 熟悉二、三维向量的几何表示法及其运算的三角形法则。 ▲ 熟悉空间坐标系。

▲ 熟悉向量在轴上的投影,向量间的夹角。
▲ 熟悉基本单位向量、向量的方向余弦。 ▲ 掌握向量的坐标表示法及向量线性运算的坐标形式。 ▲ 知道向量的分量表示法。

第一节 向量的概念及向量的表示 一. 向量的基本概念 二. 空间直角坐标系及向量的坐标表示

一. 向量的基本概念

1. 向量及其几何表示. 2. 向量的加减法、向量与数乘. 3. 向量在轴上的投影.

1. 向量及其几何表示

标量: 仅用数值大小就可描述的量. 例如, 面积、体积、质量、温度、功… 物理量

向量: 除用数值描述其大小外, 还要 指明它在空间中的方向的量. 例如, 速度、加速度、力、位移…

向量、模

一般说来,向量间不能比较大小, 但向量的模可以比较大小。

在空间中,由数值大小 ,同时由方向确定的量 ,称为向量。 表示向量大小的数值, 称为向量的模,它是一 个非负数。

向量的几何表示

? AB ( a )

?

B (终点)

A ( 起点)

?

? || AB || 和 || a || 表示向量的模。

?

向量相等

? ? 若向量a 和 b 满足下列条件: 向量可以在空间中任 ? ? 1. || a || ? || b || ( 模相等) ; 意平移。
具有这种性质的

在这种定义下,

2. 方向相同 , ? ? ? ? 则称向量a 与b 相等,记为 a ? b 。

向量称为“自由向量”。

? ? 若向量 a 和 b 位于同一直线或两条平 行的直线上, ? ? 且指向相同,则称a 与b 方向相同。

零向量、单位向量、向量的负向量

? 1. 模等于零的向量,称为 零向量,记为 0 。
规定零向量的方向是任 意的,可根据需要来确 定。 ? ? 几何上,0 表示为空间中的一个点 ,|| 0 || ? 0。 ? ? 2. 与已知的非零向量a 同向,且模为1的向量,称为a 的

单位向量,记为 。 ( || a || ? 1 ) a

?0

?0

? ? ? a ? || a || a 0

? ? 3. 与a 的模相等,方向相反的 向量,称为a 的负向量,记 ? 为 a。 - ? ? a ?a

2. 向量的加减法、向量与数乘

向量的加法

首尾相接

平行四边形法

三角形法
C

? b
A

D

封闭边
A

C

? b

? a
? ?

B

? a
?

B

AB ? AD ? AC ? ? ? a ?b ? c

?

AB ? BC ? AC ? ? ? a ?b ? c

?

?

物理学中, 力的合成与分解。



同向:

? a

? b

? ? a ?b :

? ? ? a ?b ? c
? a
? b

首尾相接 封闭边

反向:

? ? a ?b :

? ? ? a ?b ? c

首尾相接 封闭边

? r
? a

? n
? b

? c

? ? ? ? ? a ? b ? c ? ?? n ? r

首尾相接 封闭边

向量的减法 向量的减法是其加法的 逆运算: ? ? ? ? 若 b ? c ? a , 则称 向量 c 为向量 a 与 b 之差, 记为 ? ? ? ? ? ? c ? a ?b , a ?b ? c 。

平行四边形法

三角形法
C

? b
A

D

? b
A

C

? a
? ?

B

? a
? ?

? ? ? a ?b ? c
B

AB ? AD ? DB ? ? ? a ?b ? c

?

AB ? AC ? CB ? ? ? a ?b ? c

?

由减项的终点指向被减项的终点

向量与数乘
? ? 向量 a 与实数 ? 的乘积 ? a 为满足下列条件的向量 :

? ? 1. || ? a || ? | ? | || a || ;

? ? 2. ? ? 0 时, ? a 与a 同向 , ? ? ? ? 0 时, ? a 与a 反向, ? ? ? ? 0 时, ? a ? 0 。
向量与数相乘,

? a

? ?a
? a

? ?a

相当于将向量沿原方向 或反向进行拉长或缩短 。

向量平行

? ? 若向量 a 和 b 位于同一直线或两条平 行的直线上, ? ? 则称向量 a 与b 平行,记为 a // b。 ? 规定: 与任何一个向量平行。 0
定理
? ? ? ? ? ? 设 a 与 b 为非零向量,则 b // a ?? b ? ? a。

向量运算的性质
? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? (?b ), (?1) ? a ? ?a, ? ? ? ? ? ? ? ? a ? 0 ? a , a ? a ? 0, 0 ? a ? 0,
? ? ? ? a ? b ? b ? a,

? ? ? a ? ?a ? n a , ??? ?? ? n ?个 ? ? ? 0 ? 0,

? a ? a ?,

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ), ? ? ? ? ? a ? (? ? ) a ? ? (? a ),

? ? ? (? ? ? ) a ? ? a ? ? a, ? ? ? ? ? (a ? b ) ? ? a ? ? b 。



? a ? ? 设 a 为非零向量,则 a 0 ? ? 。 || a ||

? 证 因为a 是非零向量,故|| a || ? 0,所以,可令? ? 1 。 ? || a ||
? ? 由于 ? ? 0 ,所以, ? a 与 a 同向。



1 ? ? ? || ? a || ? | ? | ? || a || ? ? ? || a || ? 1, || a ||

? 故 ? a 是一个单位向量。

? a ?0 ? ? ? 综上所述,? a 为 a 的单位向量,即 ? a ? ? ? a 。 || a ||
? ? ?0 a ? || a || a



? ? ? ? ? ? ? ? ? 设 u ? a ? 2b ? 4c,v ? 3b ? a,求 u ? v。
? ? ? ? ? ? ? u ? v ? (a ? 2b ? 4c ) ? (3b ? a )



? ? ? ? ? ? a ? 2b ? 4c ? 3b ? a ? ? ? ? 2a ? 5b ? 4c 。



已知四边形ABCD 的两条对角线相互平分 ,
证明它是一个平行四边 形。

D
O

C



如图所示,引入向量 ? ? ? ? AO , OC , DO , OB,

A

B

由已知条件及向量相等 的概念可知 ? ? ? ? AO ? OC , DO ? OB 。

? ? ? ? ? ? 而 AO ? OB ? AB , DO ? OC ? DC , 故 ? ? AB ? DC ,
//

即 AB ? DC,所以,四边形 ABCD 为平行四边形。

3. 向量在轴上的投影
向量间的夹角 ? ? 设 a 与b 是两个非零向量。 ? ? 平移 b 使它的起点与 a 的起点重合 , 此时它们可确定 ? ? 一个平面。在该平面上 , a 与 b 正向间小于 ? 的夹角称为 ? ? ? ? 向量 a 与b 的夹角,记为 ? a , b ? 或?、? 等。
? ? 0 ? ? a, b ? ? ? ? ? ? a, a ? ? 0 ? ? ? ? ? a, ? b ? ? ? ? ? a, b ?

? b

? ?b

? ? a

? ??

向量在轴上的投影
空间中一点在轴上的投影

? a

B
u

?
A?

A A
u
A? B?

?

?
prj 是 project 的缩写 ? ? prju (? a ) ? ? prju a

? 设向量 a 的起点 A 和终点B 在

轴 u 上的投影分别为A? 和 B?, 则称
轴 u 上的有向线段 A?B? 的值A?B?为 ? 向量 a 在轴 u 上的投影 , 记为 有 ? 正 prju a ? A?B? 负

投影定理 投影定理 1
? ? prju a ? || a || cos ? ? 其中 ? ? ? a , u ? 。

投影定理 2

n ? ? prju ? ak ? ? prju ak。 k ?1 k ?1

n

有限个向量的和在某轴 上的投影等于各向量投 影的和。
投影定理 3

? ? prju ? a ? ? prju a。

其中? 为实数。

证 (投影定理 1)
? a A
A?
?

B
B ?? B?

? 将 a 平移, 使起点 A 与点 A? 重合,
u 得到向量 A?B?? (如图所示)。
由平行平面间的平行线 段相等 ,
? ?

?



? A?B?? ? AB ? a。
?

? 故 A?B?=|| A?B?? || cos ? ? || a || cos ? , ? ? 其中, ? ? ? a , u ? , A?B? ? prju a , ? ? 从而 prju a ? || a || cos ? 。
投影定理 1 获证。

证 (投影定理 2) 运用数学归纳法证之。
? ? 当n ? 2 时 : 设对向量 a1 和 a2 进行平移整理后 , 如图所示。 ? ? ? 于是 prju a1 ? AC , prju a2 ? CB , ? a2 a1 ? ? ? ? prju (a1 ? a2 ) ? AB , a ?a
1 2

而 AB ? AC ? CB , 故 ? ? ? ? prju (a1 ? a2 ) ? prju a1 ? prju a2 。
k

A

C

B

u

k ? ? 设 n ? k 时, 有 prju ? ai ? ? prju ai , 则 n ? k ? 1时, i ?1 i ?1 k k ? ? ? ? prju ? ai ? prju ( ? ai ? ak ?1 ) ? prju ? ai ? prju ak ?1 i ?1 i ?1 i ?1 k ?1

可作图 验证

k ?1 ? ? ? ? ? prju ai ? prju ak ?1 ? ? prju ai 。 投影定理 2 证毕。 k i ?1 i ?1

投影定理 1 的推论
? ? ? ? 若 a ? b , 则 prju a ? prju b 。

该推论的逆命题不成立 。

? b
A

? ? prju a ? ? ? prju b

? a B

u

将轴u 换成向量, 则可得到向量间的投影: ? ? ? ? ? prjb a ? || a || cos ? a, b ? 。

二.空间直角坐标系及向量的坐标表示 1. 空间直角坐标系

2. 空间 R3 中点的坐标
3. 空间中两点间的距离

4. 空间中点的向径
5. 向量的坐标表示形式 6. 向量的方向余弦 7. 向量运算的坐标形式

1. 空间直角坐标系
z

竖轴
三根数轴

yz
原点 O
x
y

两两相互垂直

纵轴

相交于一点 长度单位相同

xy

右手系

横轴
三根坐标轴: x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴)。 三个坐标面: xy 平面、 yz 平面、 xz 平面。

三个坐标面分空间R3 为 8 个卦限
z III IV
O

卦限

x

y

z

II I y


Ⅱ Ⅲ

? ? ? ?

?

? ?

? ? ? ?




? ?

? ?
? ?

x VIII

VII
V

VI

Ⅵ Ⅶ Ⅷ

?

? ?

? ? ? ?

2. 空间 R3 中点的坐标
z z0 R
?
O

点 ( x, y,0) 位于 xy 平面上

点 (0, y, z ) 位于 yz 平面上 点 ( x,0, z ) 位于 xz 平面上
点 ( x,0,0) 位于 x 轴上

M0

x

x0

y0 y Q

点 (0, y,0) 位于 y 轴上 点 (0,0, z ) 位于 z 轴上 (0,0,0) 为坐标原点

P

点 M 0 的坐标为 x0、y0、z0 , 记为 M 0 ( x0 , y0 , z0 )。

M ?? ( x, y, z )

x — 横坐标 y — 纵坐标
z — 竖坐标

3. 空间中两点间的距离
z

|| OM || 2 ? || OQ || 2 ? || QM || 2
? M ( x, y, z )

z
? (x2 ? y 2 ) ? z 2 ? x2 ? y2 ? z 2

z
x
x
O

y

y

Q
点 M ( x, y, z ) 到坐标原点的距离 d( M , O) :

d( M , O) ? x 2 ? y 2 ? z 2

空间R 3 中, 点 M ( x, y, z ) 与点 M ( x0 , y0 , z0 ) 间的距离:

d( M , M 0 ) ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? ( z ? z0 ) 2 。

前面哪位要减肥!

晨练?



在空间R 3 中, 求点 P(4, 0, 5) 到坐标原点
及点 Q(?1, 3, 6) 的距离 。



d( P, O) ? 42 ? 02 ? 52 ? 41。

d( P, Q) ? (4 ? (?1)) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (5 ? 6) 2 ? 35 。

4. 空间中点的向径
z z0 R

? r0
O O

?

M0

x

x0

y0 y Q

P

? ? ? 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 对应的向径为 OM 0 , 记为 r0 ? OM 0 。

向径的分量、坐标表示
z z0 R

引入三个基本单位向量 ? ? ? ? ? ? i , j , k ; || i || ? || j || ? || k || ? 1。
? M 0 ( x0 , y0 , z0 )

? i
x

? k
O

? ? ? OM 0 ? OQ?? Q?M 0 ? ? ? ? OP ? PQ?? Q?M 0
? ? ? ? OP ? OQ ? OR

? j
Q?

y0 Q

y

P

x0

? ? ? ? ? ? OP ? x0 i , OQ ? y0 j , OR ? z0 k ,

在 z 轴上的分量 ? ? ? ? ? OM 0 ? x0 i ? y0 j ? z0 k 。 z0 ? prjoz OM 0
在 y 轴上的分量 ? y0 ? prjoy OM 0

在 x 轴上的分量 ? x0 ? prjox OM 0

空间 R 3 中, 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 所对应的向径为

? ? ? ? OM 0 ? x0 i ? y0 j ? z0 k ,

( 分量形式 )

或表示为
? OM 0 ? ( x0 , y0 , z0 ) 。

(坐标形式 )

? ? 记 OM 0 ? r0 , 则
? ? ? ? ? ? ? OM 0 ? prjox r0 i ? prjoy r0 j ? prjoz r0 k 。

5. 向量的坐标表示形式
z

M0 ? r0
O

设 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , M ( x, y, z )

?

? a
?M

? r

y

为 R 3 中任意两点 , 其对应的向径 ? ? ? ? 分别为 r0 和 r 。 记 a ? M 0 M , 则 ? ? ? a ? r ? r0 。

由投影定理 ? ? ? ? ? ? ? a ? prjox a i ? prjoy a j ? prjoz a k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? prjox (r ? r0 ) i ? prjoy (r ? r0 ) j ? prjoz (r ? r0 ) k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( prjox r ? prjox r0 ) i ? ( prjoy r ? prjoy r0 ) j ? ( prjoz r ? prjoz r0 ) k ? ? ? ? M 0 M ? ( x ? x0 ) i ? ( y ? y0 ) j ? ( z ? z0 ) k 。
x

? ? ? ? M 0 M ? ( x ? x0 ) i ? ( y ? y0 ) j ? ( z ? z0 ) k 。 ( 分量形式 )
记为

? M 0 M ? ( x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 ) 。

(坐标形式 )

? ? ? ? i ? (1, 0, 0) , j ? (0, 1, 0) , k ? (0, 0, 1) , 0 ? (0, 0, 0) 。

? ? ? ? ? a ? R3 , 记 ax ? prjox a, a y ? prjoy a, az ? prjoz a, 则 ? ? ? ? a ? ax i ? a y j ? az k 。
? a ? (a x , a y , a z ) 。

( 分量形式 ) (坐标形式 )

6. 向量的方向余弦
z

?
O

? a

设 R3 中的非零向量 ? a ? (a x , a y , a z )
y

?

与坐标轴 ox, oy, oz 正向间的夹 角依次为 ? , ? , ? , 则由投影定 ? ? 理, 得 a x ? prjox a ? || a || cos ? ,

?

x

? ? a y ? prjoy a ? || a || cos ? ,

? ? a z ? prjoz a ? || a || cos ? , 故有

ay ax a cos? ? ? , cos ? ? ?z 。 cos ? ? ? , || a || || a || || a || ? ? 称 ? , ? , ? 为 a 的方向角 ; ? , cos ? , cos? 为 a 的方向余弦。 cos
显然 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1
2 2 2

? 2 2 2 ( || a || ? a x ? a y ? a z )

? ? ? ? a ? (a x , a y , a z ) ? ax i ? a y j ? a z k
ax cos? ? ? , || a ||
?0

ay cos ? ? ? , || a ||

az cos ? ? ? 。 || a ||

a ? (cos? , cos ? , cos ? ) 。
? ? 0 a ? || a || a 。

? 2 2 || a || ? a x ? a y ? a z2

? ? ? ? i ? (1, 0, 0) , j ? (0, 1, 0) , k ? (0, 0, 1) , 0 ? (0, 0, 0) 。



求方向角 ? ?

?
3

, ??

?
4

,? ?

?
3

? , 模等于 6 的向量 a。



?0 a ? (cos ? , cos ? , cos? )

? (cos , cos , cos ) 3 4 3 1 2 1 ?( , , ), 2 2 2
? ? ? ? a ? || a || a 0 ? 6 a 0

?

?

?

1 2 1 ?6( , , ) ? ( 3, 3 2, 3 )。 2 2 2

7. 向量运算的坐标形式

? ? ? ? 设 a ? (ax , a y , az ) ? a x i ? a y j ? az k , ? ? ? ? b ? (bx , by , bz ) ? bx i ? by j ? bz k ,



? , ? 为实数 , ? ? ? ? ? a ? ? ax i ? ? a y j ? ? az k ? (? ax , ? a y , ? az ) ;
? ? ? ? ? a ? b ? (ax ? bx ) i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz ) k
? (ax ? bx , a y ? by , az ? bz ) ;

? ? a ? b ?? ax ? bx , a y ? by , az ? bz ;
? ax a y az ? ? ? a // b ?? a ? ? b ?? ? ? 。 bx by bz



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设 a ? 2 i ? j ? 5 k , b ? 2 j ? 4 k , c ? 4 i ? 3 j ? 16 k , ? ? ? ? 求 m ? 4 a ? b ? c 的坐标表示式、在x 轴上的投影、
在 y 轴上的分量、方向余弦 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? m ? 4 (2 i ? j ? 5 k ) ? (2 j ? 4 k ) ? (4 i ? 3 j ? 16 k ) ? ? ? ? (4 ? 2 ? 4) i ? (4 ? 2 ? 3) j ? (4 ? (?5) ? 4 ? (?16)) k ? ? ? 4i ?3j。
? 的坐标形式:m ? (4, 3, 0) 。 ? 此时 ? ? , ? 2 ? 在 x 轴上的投影: ox m ? 4 。 prj 即 m 位于 xy 平面上。 ? 在 y 轴上的分量: 3 j 。 4 4 3 的方向余弦: ? ? 2 2 ? , cos ? ? , cos ? ? 0 。 cos 5 5 4 ?3



? m ? m ? m ? m



? ? 设 a 的起点为 A(?2, 3, 0) , a 在 x, y, z 轴上的投影依次为 1 ? ? 4 , ? 4 , 7 , 求 a 的终点 B 以及 AB 。 2

? ? 解 设终点为 B( x, y, z ) , 则 a ? AB ? ( x ? 2, y ? 3, z ) ,
? 由已知条件 , a ? ( 4, ? 4, 7 ) , 故

x?2 ? 4, y ? 3 ? ?4 , z ?7,

x ? 2 , y ? ?1 , z ? 7 。

1 ? 7 于是 , 终点为 B( 2, ? 1, 7 ) , AB ? ( 2, ? 2, ) 。 2 2



已知点 A( x1 , y1 , z1 ) 和点 B( x2 , y2 , z2 ) , 求将线段 AB 分成
定比 ? (? ? ?1 ) 的分点 M。

z

? r1
O

A

依题意 , 解 引入向量如图所示。

? r

M
? r2

B
y

? ? AM ? ? MB , ? ? ? ? ? ? 而 AM ? r ? r1 , MB ? r2 ? r ,




x

? ? ? ? r ? r1 ? ? (r2 ? r ) , ? ? r1 ? ? r2 ? r? 。 1? ?

由向量相等及向量运算 , 得分点 M 的坐标为

x?

x1 ? ? x2 , 1? ?

y?

y1 ? ? y2 z ? ? z2 , z? 1 。 1? ? 1? ?

求作用于同一点的三个 力的合力的大小和方向 : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? i ? 2 j ? 3 k , b ? ?2 i ? 3 j ? 4 k , c ? 3 i ? 4 j ? 5 k 。 ? 设合力为 F , 则 解 ? ? ? ? F ? a ?b ?c , ? ? ? ? (1 ? 2 ? 3) i ? (2 ? 3 ? 4) j ? (3 ? 4 ? 5) k ? ? ? ? 2 i ? j ? 4 k, ? 故合力的大小为 || F || ? 22 ? 12 ? 42 ? 21 ;

合力的方向为:cos ? ? 2 1 4 , cos ? ? , cos ? ? , 21 21 21 1 , 21 4 ) 。 21

?0 2 ( , 即 F= 21





原为静止的质点 Q 受到以下三个力的作用 后作何种运动: ? ? ? a ? ( 2, 4, ? 1) , b ? ( 1,?3, ? 1) , c ? (?3, ? 1, 2) 。 ? 设合力为 F , 则 ? ? ? ? F ? a ?b ?c ,

? (2 ? 1 ? (?3), 4 ? (?3) ? (?1), (?1) ? (?1) ? 2) ? ? (0, 0, 0)=0 ,
由于合力为零 , 故该质点仍保持静止状 态 。


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