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7.3-3等比数列的前n项和


等比数列的前n项和(1)

等差数列求和方法回顾:(倒序相加)

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

+ Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1
2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ?? (an ? a1 )
n个相 同的数

n(a1 ? a n ) Sn ? 2

传说在古代印度,国王要奖赏国际象棋的发明者,发明者 说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里 放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放 上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格 子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子。请给我足够的粮食 来实现上述要求”。国王觉得并不难,就欣然同意了他的要求。 你认为国王有能力满足发明者的要求吗?
分析:由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数 的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是

1,2,22 ,23 ,?,263 ,
于是发明者要求的麦粒总数就是

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2
2 3

62

?2 .
63

印度国王奖赏国际象棋发明者的实例,得一个数列:

1 ,2,2 ,2 ,? ?,2

2

3

63

求和的表达式为:S64=1+2+22+…+262+263 (1) 上式两边同时乘以2,有:

2S64=2+22+23…+263+264 (2)

S64=1+2+22+23+…+263 2S64=
(2) – (1)得 S64=264 –1

( 1)

2+22+23+…+263+264 (2)

等比数列前n项和公式的推导

?想一想:如何计算

S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ... ? a1q
2

n?1

如何求等比数列的Sn: (法1)错位相减法

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q
2
2 3

n? 2

? a1q

n?1


n

qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q

n?1

? a1q ②
n

①—② ,得

(1 ? q) Sn ? a1 ? 0 ? ?? 0 ? a1q (1 ? q) Sn ? a1 ? a1q
n

? na1 (q ? 1) ? n S n ? ? a1 ? a1q (q ? 1) ? ? 1? q

q ? 1时 :
注意:
1. 当

a1 ? anq a1 ? a1q Sn ? ? 1? q 1? q
n

q ?1

时,

a1 , q, n, Sn



a1 , an , q, Sn
的情

2、使用公式求和时,需注意对 q ? 1 和 q ? 1 况加以讨论; 3、推导公式的方法:错项相减法。

(法2)借助和式的代数特征进行恒等变形

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1 )
? a1 ? q(S n ? an )

a1 ? a n q 当q≠1时,S n ? 1? q

当q=1时,S n ? na1

等 比 数 列 前 n 项 和 公 式

等比数列的前n项和(2)

一、复习:
等差数列 定义 等比数列

an?1 ? an ? d
an ? a1 ? (n ? 1)d
an ? am ? (n ? m)d
m?n ? r ? s

通项公式
性质

an ? a1q
(m, n, r, s ? N * )

an?1 ?q an

n ?1
n? m

an ? am q

am ? an ? ar ? as
Sn

n(a1 ? a n ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

am an ? ar as

证法一: Sn=a1+a2+…+ an
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 ……① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1 +a1qn ……② n ? ? a 1 ? q ① - ②得 Sn-qSn=a1-a1qn ? sn ? 1 1? q 证法二: Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 =a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2) a1 ? anq =a1+q(Sn-an) ? sn ? 1? q

一、复习:等比数列前n项和公式

公式应用:
例1:求等比数列

1 1 1 , , ,? 2 4 8

的前8项的和。

1 1 1 1 解:由 a1 ? , q ? ? ? , n ? 8 ,得 2 4 2 2

1 1 8 [1 ? ( ) ] 255 2 ? Sn ? 2 1 256 1? 2

例2

已知等比数列 ?an ? , a1 ? 27, a9 ? 求前8项的和.

1 243

1 1 解:由 a1 ? 27, a9 ? ,可得 =27 ? q 8 243 243 1 又 由q ? 0, 可 得q ? ? 3
? ? 1 ?8 ? 27?1 ? ? ? ? ? ? 3? ? 1640 ? ? ? 于是当 n ? 8时 ,S 8 ? ? 81 ? 1? 1? ?? ? ? 3?

练习1.
在等比数列{an}中: 1)a1=2,S3=14,则q= 2或-3 ,a3= 8或18 2)a1=-1,a4=216,则q= -6 ,S4= 185
知三求二

练习2.
已知{an }中,an?1 ? 2an , a2 ? 3, 求S6 .
解: ? an ?1 ? 2an an ?1 ? ? 2,?{an }为等比数列 an

3 ? q ? 2 且a1 ? 2 3 6
(1 ? 2 ) 1? 2

? s6 ? 2

189 ? 2

三、典型例题:

例1.在等比数列{an }中, 1 (1)已知a1 ? ?4, q ? , 求S10; 2 (2)已知a1 ? 1,ak ? 243,q ? 3, 求Sk ; 7 63 (3)已知S3 ? ,S6 ? ,求a n . 2 2

1 1 1 2 n 练习1.求和:( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) y y y ( x ? 0, x ? 1, y ? 1).
分析:上面各个括号内的式子均由两项组成,

1 2 1 1 n x ? , x ? 2 , ?, x ? n y y y
首项
2 n x , x , ? , x , 其中括号内的前一项

公比

x
1 y

x
1 y

1 1 1 后一项 y , y 2 , ?, y n ,
都是等比数列

1 1 1 2 n 练习1.求和:( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) y y y ( x ? 0, x ? 1, y ? 1).
解:当 x ? 0, x ? 1, y ? 1 时,
2 n

?1 1 1 ? 原式= ( x ? x ? ? ? x ) ? ? ? y ? y2 ? ?? yn ? ? ? ?
1? 1 ? ? 1? n ? ? x(1 ? x n ) y? y ? ? ? ? 1 1? x 1? y

x ? x n ?1 y n ?1 ? ? n ?1 . 1? x y ?y

变形1.

1 1 1 2 n 求和: ( x ? ) ? ( x ? ) ??? (x ? n ) 2 y y y ( x ? 0, y ? 1).
x ? 0, y ? 1 时,对x分两种情况讨论 ⑴. x ? 1 ?1 1 1 ? 原式 ? ?1 ? 1 ? ? ? 1? ? ? ? y ? y2 ? ?? yn ? ? ? ?
1? 1 ? ? 1? n ? ? y? y ? ? ? n? 1 1? y
同例3

分析:当

⑵.

x ?1

变形2.
分析:当

1 1 1 2 n (x ? ) ? (x ? 2 ) ??? (x ? n ) 求和: y y y ( x ? 0, x ? 1).

x ? 0, x ? 1 时,对y分两种情况讨论 ⑴. y ? 1
原式=

( x ? x ? ?? x ) ? (1 ? 1 ? ? ? 1)
2 n

x 1? xn ? ?n 1? x
⑵.

?

?

y ?1

同例3

变形3.

1 1 1 2 n 求和: (x ? ) ? (x ? 2 ) ??? (x ? n ) y y y ( x ? 0).


分析:当 x ? 0 时,对x,y分四种情况讨论

⑵ ⑶ ⑷

x ? 1, y ? 1 原式 ? (1 ? 1 ? ? ? 1) ? (1 ? 1 ? ? ? 1) ? n ? n ? 2n x ? 1, y ? 1 同变形1.(1) x ? 1, y ? 1
同变形2.(1) 同例3

x ? 1, y ? 1

例2.(1)求数列{a }的前n项和; 1 1 1 1 (2)求数列1 ? , 2? , 3 ? ,, ... n ? n ,...的前项和; 2 4 8 2 (3)求数列
2 2 n-1 2 n

n

1, 1 ? 2, 1 ? 2+2 ,, ... (1 ? 2+2 ? ? ? 2 ),...的前项和;

(4)求和: 2+3 ? 2 ? ? ? (2n ? 1) ?2 .

例2

某商场今年销售计算机5000台,如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么 从今起,大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)?
5000台
5000×(1+10%)=5000×1.1台 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第2年产量为 第3年产量为

分析:第1年产量为

……
第n年产量为 则n年内的总产量为:

? 5000 ?1.12台

5000?1.1n?1台

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.12 ? ? ? 5 ?1.1n?1

例2

某商场今年销售计算机5000台,如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么 从今起,大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)?
, q ? 1 ? 10% ? 1.1, Sn ? 30000 , 其中 a1 ? 5000
n 5000 1 ? 1 . 1 ∴ ? 30000 . 1 ? 1.1

解:由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 ?an ?,

?

?



1.1 ? 1.6.
n

两边取常用 n ? lg1.1 ? lg1.6 对数,得 lg1.6 0.20 ? ? 5 (年) ∴ n? lg1.1 0.041
答:约5年可以使总销售量量达到30000台

例5.在等差数列{a n }中,a 2 ? 8, a10 ? 32, 从数列{a n }中, 依次取出第二项,第四项, ...,第2n 项,按原来的次 序构成新的数列{b n }, 求新的数列{b n }的通项公式及 前n项和。

课后思考:
练习3、三数成等比数列,若将第三数减去32, 则成等差数列,若将该等差数列中项减去4,又 成等比数列,求原三数。

练习4、在等比数列中,a3 ? 4,S6 ? 36, 求a n .
王新敞
奎屯 新疆

练习5、求和:
Sn ? (a ?1) ? (a2 ? 2) ? ?? (an ? n), (a ? 0)

等比数列小练习
已知数列?an ? 的前n项和为Sn , 若Sn ? Sn?1 ? 2an , 则数列?an ?是?
A.等比数列 C.常数列

?

B.等差数列 D.以上都不对

数列?an ?的前n项和为 S n , 若 lg( S n ? 1) ? n, 则 此数列一定是 ?
A.等差数列

?

B.等比数列

C.常数列

D.以上都不对

等比数列?an ? 的前n项和为Sn , 如果Sn ? 20, S2 n ? 80 则S3n ? ____ .

已知数列?an ?为等比数列,首项是a, 公比为q, 其 ?1? 前n项和为Sn , 则? ?的前n项和是 _____. ? an ?

在等比数列?an ? 中,a9 ? a10 ? a(a ? 0), a19 ? a20 ? b, 则a99 ? a100 等于?

b A. 8 a

9

? 9 b? ? B.? ? ?a?

b C. 9 a

10

b? ? D.? ? ?a?

10

某产品计划每年成本降 低p%, 若三年后的成本是 a元, 则现在的成本是 ?

?
2 ?2

A.a (1 ? p %) C.a (1 ? p %)

B.a (1 ? p %)

3 ?3

D.a (1 ? p %)

已知等差数列?an ?的公差 d ? 0, 且a1 , a3 , a9成等比数列, a3 ? a6 ? a9 则 ? _____ . a4 ? a7 ? a10

已知 lg x ? lg x ? lg x ? ? ? lg x ? 110,
2 3 10

则 lg x ? (lg x) 2 ? (lg x)3 ? ? ? (lg x)10 ? _____ .

已知等差数列?a,n ? 的公差d与等比数列?bn ? 的公比相等 且都等于d (d ? 0, d ? 1), 若a1 ? b1 , a3 ? 3b3 , a5 ? 5b5 , 求an和bn .

已知数列?an ?满足a1 ? 1, an ? 3n?1 ? an?1 (n ? 2) (1)求a2、a3 ; 3n ? 1 (2)证明an ? 2

1 2 3 4 n -2+ + 2 + 3 + 4 +?+ n 等于? 2 2 2 2 2
1 1 1 n A. n ? n B. ? n?1 ? n 2 ?1 2 2 2 n 1 1 n C. n?1 ? n D. ? n ? n?1 2 2 2 2

?

各项都是正数的等比数 列?an ?的公比 q ? 1, 且a3 , a5 , a6成 a3 ? a5 等比数列,则 = _____ . a4 ? a6

1.已知数列前n项和sn=2n-1,则此数列的奇数项的前n 项的和是 . 2.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列, a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3 分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10。 3.设{an}为等比数列,Tn=na1+(n一1)a2+…+2an-1+an, 已知T1=1,T2=4. (1)求数列{an}的首项和公比; (2)求数列{Tn}的通项公式.

下图是一个边长为1的正三角形,将每边三等 分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦 去中间一段,得图2,如此继续下去,得图3…… 求第n个图形的边长和周长.

一、复习:
等差数列 定义 等比数列

an?1 ? an ? d
an ? a1 ? (n ? 1)d
an ? am ? (n ? m)d
m?n ? r ? s

通项公式
性质

an ? a1q
(m, n, r, s ? N * )

an?1 ?q an

n ?1
n? m

an ? am q

am ? an ? ar ? as
Sn

n(a1 ? a n ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

am an ? ar as


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