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2014届高三二轮专题突破-函数与导数


2.函数与导数

1. 函数是数集到数集的映射,作为一个映射,就必须满足映射的条件,只能一对一或者多 对一,不能一对多.
?1 ? [问题 1] 设 A={0,1,2,4},B=?2,0,1,2,6,8?,判断下列对应关系是否是 A 到 B ? ?

的映射.(请在括号中填“是”或“否”) ①f:x→x3-1( ③f:x→2x 1(


) )

②f:x→(x-1)2( ④f:x→2x( )

)

答案 ①否 ②否 ③是 ④否 2. 求函数的定义域, 关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解, 如开偶次方根,被开方数一定是非负数;对数式中的真数是正数;列不等式时,应列出 所有的不等式,不应遗漏. 对抽象函数,只要对应关系相同,括号里整体的取值范围就完全相同. [问题 2] 函数 y= 1? 答案 ? ?0,4? 3. 用换元法求解析式时,要注意新元的取值范围,即函数的定义域问题. [问题 3] 已知 f(cos x)=sin2x,则 f(x)=________. 答案 1-x2(x∈[-1,1]) 4. 分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的式子来表示对应关系的函数,它是 一个函数,而不是几个函数. [问题 4] 答案 1 e
x ? ?e ,x<0, 1?? ? 已知函数 f(x)= 则 f? f? e??=________. ? ? ?ln x,x>0, ?

1 log x-2的定义域是________. 2

5. 判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但 必须注意使定义域不受影响. lg?1-x2? [问题 5] f(x)= 是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”). |x-2|-2 答案 奇

解析

2 ? ?1-x >0, 由? 得定义域为(-1,0)∪(0,1), ?|x-2|-2≠0 ?

f(x)=

lg?1-x2? lg?1-x2? = . -?x-2?-2 -x

∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数. 6. 弄清函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于 原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)的定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. 故“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件. 2 [问题 6] 设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,且在 x=0 处有意义,则该函数为

?

?

(

)

A.(-∞,+∞)上的减函数 B.(-∞,+∞)上的增函数 C.(-1,1)上的减函数 D.(-1,1)上的增函数 答案 D 解析 由题意可知 f(0)=0,即 lg(2+a)=0,解得 a=-1, 故 f(x)=lg 1+x ,函数 f(x)的定义域是(-1,1), 1-x 1+x =lg(1+x)-lg(1-x), 1-x

在此定义域内 f(x)=lg

函数 y1=lg(1+x)是增函数,函数 y2=lg(1-x)是减函数,故 f(x)=y1-y2 是增函数.选 D. 7. 求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用“及”连 接,或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替. 1 [问题 7] 函数 f(x)= 的减区间为________. x 答案 (-∞,0),(0,+∞)

8. 求函数最值(值域)常用的方法: (1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数. (2)图象法:适合于已知或易作出图象的函数. (3)基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的函数. (4)导数法:适合于可导函数. (5)换元法(特别注意新元的范围).

(6)分离常数法:适合于一次分式. (7)有界函数法:适用于含有指、对函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最 值,都要考查“等号”是否成立,特别是基本不等式法,并且要优先考虑定义域. [问题 8] 函数 y= 1 ? 答案 ? ?2,1? y 解析 方法一 ∵x≥0,∴2x≥1,∴ ≥1, 1-y 1 解得 ≤y<1. 2 1 ? ∴其值域为 y∈? ?2,1?. 方法二 y=1- 1 ? ∴y∈? ?2,1?. 9. 函数图象的几种常见变换 (1)平移变换:左右平移——“左加右减”(注意是针对 x 而言);上下平移——“上加下 减”. (2)翻折变换:f(x)→|f(x)|;f(x)→f(|x|). (3)对称变换:①证明函数图象的对称性,即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点 仍在图象上; ②函数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称; ③函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于直线 x=0 (y 轴)对称; 函数 y=f(x)与函数 y=-f(x) 的图象关于直线 y=0(x 轴)对称. [问题 9] 函数 y=|log2|x-1||的递增区间是________. 答案 [0,1),[2,+∞) 1 1 1 ,∵x≥0,∴0< x ≤ , 2x+1 2 +1 2 2x (x≥0)的值域为________. 2 +1
x

?|log2?x-1?|?x>1?, ? 解析 ∵y=? ? ?|log2?1-x?|?x<1?,

作图可知正确答案为[0,1),[2,+∞). 10.有关函数周期的几种情况必须熟记:(1)f(x)=f(x+a)(a>0),则 f(x)的周期 T=a;(2)f(x 1 +a)= (f(x)≠0)或 f(x+a)=-f(x),则 f(x)的周期 T=2a. f?x? [问题 10] 对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都有 f(x+2)=- =x,则 f(2 012.5)=________. 1 ,若当 2<x<3 时,f(x) f?x?

2 答案 - 5 11.二次函数问题 (1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用 “两看法”:一看开口方向,二看对称轴与所给区间的相对位置关系. (2)二次函数解析式的三种形式: ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (3)一元二次方程实根分布:先观察二次系数,Δ 与 0 的关系,对称轴与区间关系及有穷 区间端点函数值符号,再根据上述特征画出草图. 尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、 函数或不等式, 要考虑到二次项系数可能 为零的情形. [问题 11] 若关于 x 的方程 ax2-x+1=0 至少有一个正根,则 a 的范围为________. 1? 答案 ? ?-∞,4? 12.(1)对数运算性质 已知 a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,M>0,N>0. 则 loga(MN)=logaM+logaN, M loga =logaM-logaN, N logaMn=nlogaM, logbN 对数换底公式:logaN= . logba n 1 推论:logamNn= logaN;logab= . m logba (2)指数函数与对数函数的图象与性质 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑,特别注意底数的取值对有关性质 的影响,另外,指数函数 y=ax 的图象恒过定点(0,1),对数函数 y=logax 的图象恒过定 点(1,0). [问题 12] 函数 y=loga|x|的增区间为________________________________________. 答案 当 a>1 时,(0,+∞);当 0<a<1 时,(-∞,0) 13.幂函数 形如 y=xα(α∈R)的函数为幂函数. (1)①若 α=1,则 y=x,图象是直线. ②当 α=0 时,y=x0=1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线.

③当 0<α<1 时,图象过(0,0)与(1,1)两点,在第一象限内是上凸的. ④当 α>1 时,在第一象限内,图象是下凸的. (2)增减性:①当 α>0 时,在区间(0,+∞)上,函数 y=xα 是增函数,②当 α<0 时,在 区间(0,+∞)上,函数 y=xα 是减函数. 1 1?x [问题 13] 函数 f(x)=x -? 的零点个数为 2 ?2? A.0 答案 B 14.函数与方程 (1)对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点.事实上,函数 y=f(x) 的零点就是方程 f(x)=0 的实数根. (2)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有 f(a)f(b)<0,那么函数 y =f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在 c∈[a,b],使得 f(c)=0,此时这个 c 就是方程 f(x) =0 的根.反之不成立. [问题 14] 已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x2-3x+2)· g(x)+3x-4,其中函数 y=g(x)的 图象是一条连续曲线,则方程 f(x)=0 在下面哪个范围内必有实数根 A.(0,1) 答案 B 解析 f(x)=(x-2)(x-1)g(x)+3x-4, B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) ( ) B.1 C.2 D.3 ( )

∴f(1)=0+3×1-4=-1<0,f(2)=2×3-4=2>0. 又函数 y=g(x)的图象是一条连续曲线, ∴函数 f(x)在区间(1,2)内有零点. 因此方程 f(x)=0 在(1,2)内必有实数根. 15.求导数的方法 ①基本导数公式:c′=0 (c 为常数);(xm)′=mxm
-1

(m∈Q);(sin x)′=cos x;(cos x)′

1 1 =-sin x;(ex)′=ex;(ax)′=axln a;(ln x)′= ;(logax)′= (a>0 且 a≠1). x xln a ②导数的四则运算:(u± v)′=u′± v′; u u′v-uv′ (uv)′=u′v+uv′;?v?′= (v≠0). v2 ? ? ③复合函数的导数:yx′=yu′· ux′. 如求 f(ax+b)的导数,令 u=ax+b,则 (f(ax+b))′=f′(u)· a. ex [问题 15] f(x)= ,则 f′(x)=________. x

答案

ex?x-1? x2

16. 利用导数判断函数的单调性: 设函数 y=f(x)在某个区间内可导, 如果 f′(x)>0, 那么 f(x) 在该区间内为增函数;如果 f′(x)<0,那么 f(x)在该区间内为减函数;如果在某个区间 内恒有 f′(x)=0,那么 f(x)在该区间内为常数. 注意:如果已知 f(x)为减函数求字母取值范围,那么不等式 f′(x)≤0 恒成立,但要验证 f′(x)是否恒等于 0.增函数亦如此. [问题 16] 函数 f(x)=ax3-x2+x-5 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围是________. 1 答案 a≥ 3 解析 f(x)=ax3-x2+x-5 的导数 f′(x)=3ax2-2x+1.

? ?a>0, 1 由 f′(x)≥0,得? 解得 a≥ . 3 ?Δ=4-12a≤0, ?

1 a= 时,f′(x)=(x-1)2≥0, 3 1 且只有 x=1 时,f′(x)=0,∴a= 符合题意. 3 17.导数为零的点并不一定是极值点,例如:函数 f(x)=x3,有 f′(0)=0,但 x=0 不是极 值点. 1 1 [问题 17] 函数 f(x)= x4- x3 的极值点是________. 4 3 答案 x=1 18.定积分
b 运用微积分基本定理求定积分 ? a f(x)dx 值的关键是用求导公式逆向求出 f(x)的原函数,

应熟练掌握以下几个公式: xn 1 b n ?b |, ax dx= n+1 a


b ?b asin xdx=-cos x|a, b ?b acos xdx=sin x|a,

1 b ?b a dx=ln x|a(a>0,b>0), x ax b x ?b |. aa dx= ln a a
2 [问题 18] 计算定积分 ? 1 -1(x +sin x)dx=________.

答案 解析

2 3
3 2 2 1 ?x -cos x??- ?1 -1(x +sin x)dx= ?3 ?? 1=3.

易错点 1 函数概念不清致误 例1 已知函数 f(x2-3)=lg 错解 x ,求 f(x)的定义域. x -4
2 2

x2 由 2 >0,得 x>2 或 x<-2. x -4

∴函数 f(x)的定义域为{x|x>2 或 x<-2}. 找准失分点 x2 错把 lg 2 的定义域当成了 f(x)的定义域. x -4

x2 正解 由 f(x2-3)=lg 2 ,设 x2-3=t,则 x2=t+3, x -4 t+3 因此 f(t)=lg . t-1 ∵ x2 >0,即 x2>4,∴t+3>4,即 t>1. x -4
2

∴f(x)的定义域为{x|x>1}. 易错点 2 忽视函数的定义域致误 例2 判断函数 f(x)=(1+x) 错解 因为 f(x)=(1+x) 1-x 的奇偶性. 1+x 1-x = 1+x 1-x ?1+x?2= 1-x2, 1+x

所以 f(-x)= 1-?-x?2= 1-x2=f(x), 所以 f(x)=(1+x) 找准失分点 1-x 是偶函数. 1+x

对函数奇偶性定义理解不够全面,事实上对定义域内任意一个 x,都有

f(-x)=f(x),或 f(-x)=-f(x). 正解 f(x)=(1+x) 1-x 1-x 有意义时必须满足 ≥0?-1<x≤1,即函数的定义域是 1+x 1+x

{x|-1<x≤1},由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数. 易错点 3 混淆“切点”致误 例3 求过曲线 y=x3-2x 上的点(1,-1)的切线方程. 错解 ∵y′=3x2-2,

∴k=y′|x=1=3×12-2=1, ∴切线方程为 y+1=x-1,即 x-y-2=0. 找准失分点 错把(1,-1)当切点.

正解 设 P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为 y′|x=x0=3x2 0-2.
2 ∴切线方程为 y-y0=(3x0 -2)(x-x0), 2 即 y-(x3 0-2x0)=(3x0-2)(x-x0).

又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程,得
2 -1-(x3 0-2x0)=(3x0-2)(1-x0),

整理,得(x0-1)2(2x0+1)=0, 1 解得 x0=1,或 x0=- . 2 故所求切线方程为 y-(1-2)=(3-2)(x-1), 1 3 1 或 y-(- +1)=( -2)(x+ ), 8 4 2 即 x-y-2=0,或 5x+4y-1=0. 易错点 4 极值的概念不清致误 例4 已知 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10,则 a+b=________. 错解 -7 或 0 x=1 是 f(x)的极值点?f′(1)=0;

找准失分点

忽视了“f′(1)=0D?/x=1 是 f(x)的极值点”的情况. 正解 f′(x)=3x2+2ax+b,由 x=1 时,函数取得极值 10,得 ① ②

?f′?1?=3+2a+b=0, ? ? 2 ? ?f?1?=1+a+b+a =10,

? ? ?a=4, ?a=-3, 联立①②得? 或? ?b=-11, ?b=3. ? ?

当 a=4,b=-11 时, f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1) 在 x=1 两侧的符号相反,符合题意. 当 a=-3,b=3 时, f′(x)=3(x-1)2 在 x=1 两侧的符号相同, 所以 a=-3,b=3 不符合题意,舍去. 综上可知 a=4,b=-11,∴a+b=-7. 答案 -7 易错点 5 错误利用定积分求面积 例5 求曲线 y=sin x 与 x 轴在区间[0,2π]上所围部分的面积 S. 错解
π 分两部分,在[0,π]上有 ? 0 sin xdx=2,在[π,2π]上有 ? 2π π sin xdx=-2,因此所

求面积 S 为 2+(-2)=0.

找准失分点

面积应为各部分的绝对值的代数和,也就是第二部分的积分不是阴影部

分的面积,而是面积的相反数.所以,不应该将两部分直接相加.
2π 正解 S=? π π sin xdx|=2+2=4. 0sin xdx+| ?

答案 4

1. 集合{(x,y)|y=x2,x∈[a,b](a,b 为常数)}∩{(x,y)|x=2}中元素的个数为 A.0 答案 C 解析 B.1 C.0 或 1 D.不确定

(

)

从函数观点看,题中交集中元素的个数,实际上是函数 y=x2(x∈[a,b])的图象

与直线 x=2 交点的个数,若 a≤2≤b 时,根据函数定义中“唯一”知交集中元素的个 数为 1;若 2D∈/[a,b],则交集中元素的个数为 0,故元素的个数为 0 或 1. 2. 函数 y= ln?x+1? -x2-3x+4 的定义域为 B.(-4,1) D.(-1,1] ( )

A.(-4,-1) C.(-1,1) 答案 C

?x+1>0 ?x>-1 ? ? 解析 由? 2 ?? ?-1<x<1, ?-x -3x+4>0 ? ? ?-4<x<1

故选 C. 3. 下列各式中错误的是 A.0.83>0.73 C.0.75
-0.1

( B.log0.50.4>log0.50.6 D.lg 1.6>lg 1.4

)

<0.750.1

答案 C 解析 构造相应函数,再利用函数的性质解决,对于 A,构造幂函数 y=x3,为增函数, 故 A 对;对于 B、D,构造对数函数 y=log0.5x 为减函数,y=lg x 为增函数,B、D 都 正确;对于 C,构造指数函数 y=0.75x,为减函数,故 C 错. 1 4. 函数 f(x)=- +log2x 的一个零点落在下列哪个区间 x A.(0,1) C.(2,3) 答案 B 解析 根据函数的根的存在性定理得 f(1)f(2)<0. x 5. 函数 y= ,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列中的 sin x ( ) B.(1,2) D.(3,4) ( )

答案 C x 解析 y= 是偶函数,故排除 A,令 f(x)=x-sin x,x∈(0,π),则 f′(x)=1-cos x, sin x x∈(0,π),易知 f′(x)≥0 在 x∈(0,π)上恒成立,所以 f(x)min>f(0)=0,x∈(0,π),∴y = x >1,故选 C. sin x

6. 对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中 a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1) 和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是 A.4 和 6 C.2 和 4 答案 D 解析 ∵f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=-asin 1-b+c, 且 c 是整数,∴f(1)+f(-1)=2c 是偶数. 在选项中只有 D 中两数和为奇数,不可能是 D. 7. 已知 f(x)=? 答案 解析 1 2 5? ?5 ? f? ?6?=f?6-1?+1
? ?sin πx,x≤0, ?f?x-1?+1,x>0, ?

(

)

B.3 和 1 D.1 和 2

5? 则 f? ?6?的值为________.

1? ? π? =f? ?-6?+1=sin?-6?+1 1 1 =- +1= . 2 2 8. 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是________. 答案 (-2,2)

解析 因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x)=f(|x|). 因为 f(x)<0,f(2)=0.所以 f(|x|)<f(2). 又因为 f(x)在(-∞,0]上是减函数,

所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以|x|<2,所以-2<x<2.
?log2x ?x>0?, ? 9. 已知函数 f(x)=? x 且关于 x 的方程 f(x)+x-a=0 有且只有一个实根,则 ?3 ?x≤0? ?

实数 a 的取值范围是________. 答案 (1,+∞)

解析 方程 f(x)+x-a=0 的实根也就是函数 y=f(x)与 y=a-x 的图象交点的横坐标,如图所示,作出两个函数图象,显然当 a≤1 时,两个函数图象有两个交点,当 a>1 时,两个函数图象 的交点只有一个.所以实数 a 的取值范围是(1,+∞).
?ax2+1,x≥0 ? 10.已知函数 f(x)=? 为 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是________. ax ??a+2?e ,x<0 ?

答案

[-1,0)

解析 若 a=0,则 f(x)在定义域的两个区间内都是常数函数,不具备单调性;若 a>0, 函数 f(x)在两段上都是单调递增的,要想使函数在 R 上单调递增,只要(a+2)e0≤1,即 a≤-1,与 a>0 矛盾,此时无解;若-2<a<0,则函数在定义域的两段上都是单调递减 的,要想使函数在 R 上单调递减,只要(a+2)e0≥1,即 a≥-1 即可,此时-1≤a<0; 当 a≤-2 时,函数 f(x)不可能在 R 上单调.综上所述,a 的取值范围是[-1,0). 11.f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为______________________________. 答案 6 解析 f(x)=x3-2cx2+c2x,f′(x)=3x2-4cx+c2,

f′(2)=0?c=2 或 c=6,若 c=2,f′(x)=3x2-8x+4, 2 2 令 f′(x)>0?x< 或 x>2,f′(x)<0? <x<2, 3 3 2 2 故函数在(-∞, )及(2,+∞)上单调递增,在( ,2)上单调递减, 3 3 ∴x=2 是极小值点,故 c=2 不合题意,同样验证可知 c=6 符合题意. 12.已知函数 f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2. 1 - ,1?,求函数 g(x)的解析式; (1)如果函数 g(x)的单调减区间为? ? 3 ? (2)在(1)的条件下,求函数 y=g(x)的图象在点 P(-1,1)处的切线方程; (3)若不等式 2f(x)≤g′(x)+2 的解集为 P,且(0,+∞)?P,求实数 a 的取值范围. 解 (1)g′(x)=3x2+2ax-1.

1 ? 由题意 3x2+2ax-1<0 的解集是? ?-3,1?,

1 即 3x2+2ax-1=0 的两根分别是- ,1. 3 1 将 x=1 或- 代入方程 3x2+2ax-1=0 得 a=-1. 3 所以 g(x)=x3-x2-x+2. (2)由(1)知 g′(x)=3x2-2x-1,所以 g′(-1)=4, 所以点 P(-1,1)处的切线斜率 k=g′(-1)=4, 所以函数 y=g(x)的图象在点 P(-1,1)处的切线方程为 y-1=4(x+1),即 4x-y+5=0. (3)因为(0,+∞)?P,所以 2f(x)≤g′(x)+2,即 2xln x≤3x2+2ax+1 对 x∈(0,+∞) 3 1 上恒成立,可得 a≥ln x- x- 对 x∈(0,+∞)上恒成立. 2 2x 3x 1 设 h(x)=ln x- - , 2 2x ?x-1??3x+1? 1 3 1 则 h′(x)= - + 2=- . x 2 2x 2x2 1 令 h(x)=0,得 x=1 或 x=- (舍). 3 当 0<x<1 时,h′(x)>0;当 x>1 时,h′(x)<0. 所以当 x=1 时,h(x)取得极大值也是最大值, h(x)max=-2,所以 a≥-2. 所以 a 的取值范围是[-2,+∞).


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