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必修2立体几何复习(知识点+经典习题)


一、判定两线平行的方法 1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就 和交线平行 4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、 在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、 判定线面平行的方法 1、 据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点 2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个 平 面平行 3、 两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面 5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行 4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、 定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直 2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直 3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 5、 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、 定义:成 90? 角 2、 直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直 3、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线 垂直 4、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影 垂直 5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直
1

七、判定面面垂直的方法 1、 定义:两面成直二面角,则两面垂直 2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为 90? 2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是: 0? ? ? ? 90? 2、直线与平面所成的角的取值范围是: 0? ? ? ? 90? 3、斜线与平面所成的角的取值范围是: 0? ? ? ? 90?

?0?,90??

?0?,90??
?0?,90??

4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是: 0? ? ? ? 180? 十、三角形的心 1、 内心:内切圆的圆心,角平分线的交点 2、 外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点 3、 重心:中线的交点 4、 垂心:高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1) 有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2) 有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台.

?0?,180 ??

2.如图 E , F 分别是 AB, AA1 的中点探索过 EF 的平面截正方体所得截面的形状.

D

6.下列说法不正确的是( ) A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。
2

B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题 的序号 ... 2.在空间,下列命题正确的是 (A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同一平面的两条直线平行 考点二 三视图与直观图及面积与体积 【基础训练】 1.如图(3), E , F 为正方体的面 ADD1 A1 与面 BCC1 B1 的中心,则四边形 BFD1 E 在该正方体的面 上的投影可能是 .
D1 C1

(写出所有真命题的序号).

A1 E

B1 D F C

A

B
0

2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那 么原图形的面积是( )

3

A.

2?2 2

B

1? 2 2

C

2? 2 2

D1 ? 2

3.在 ?ABC 中, AB ? 2,BC ? 1.5,?ABC ? 1200 若使其绕直线 BC 旋转一周,则它形成 的几何体的体积是( A. ? ) C.

9 2

B.

7 ? 2

5 ? 2

D.

3 ? 2

, 3, , 6 ,则这个长方体的对角线长 4. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2,
是 . 若长方体共顶点的三个侧面面积分别为 3,5,15,则它的体积为 ) D. .

5.正方体的内切球和外接球的半径之比为( A.

3 :1

2 B. 3:

: 3 C. 2:

3 :3

2

6.一个正方体的顶点都在球面上 ,它的棱长为 2,则球的表面积是( A. 8? cm
2

B. 12? cm

2

C. 16? cm

2

D. 20? cm

7.若三个球的表面积之比是 1:2:3,则它们的体积之比是 . 8.长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球的 表面积是( ) A. 25? B. 50? C. 125? D. 以上都不对 9..半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为 . 【高考链接】 1.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积为 ( ) ( A ) 48+12 2 36+12 2 ( B ) 48+24 2 (C)

(D)36+24 2

2.设某几何体的三视图如下则该几何
4

体的体积为

m3

3..如图 1,△ ABC 为三角形, AA? // BB? // CC ? , CC ? ⊥平面 ABC 且 3 AA? = =AB,则多面体△ABC - A?B?C? 的正视图(也称主视图)是

3 BB? = CC ? 2

考点三 线面间位置关系 【基础训练】 1.已知在四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AC,BD 的中点,若 AB=2,CD=4, ) EF ? AB ,则 EF 与 CD 所成的角的度数是( A. 90
0

B. 45

0

C. 60

0

D. 30

0

2.已知直线 l1 , l2 , 平面?, l1 ? l2,l1 ?? , 则l2与?的位置关系是 (



A.l2 ? ?

B. l2 ? ?

C. l2 ?? 或l2 ? ?

D. l2与? 相交

【高考链接】 1 设 a,b 是两条直线, ?,? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是( A. a ? ?,b ∥ ?,? ? ? C. a ? ?,b ? ?,? ∥ ? B. a ? ?,b ? ?,? ∥ ? D. a ? ?,b ∥ ?,? ? ? )

2.对两条不相交的空间直线 a 和 b ,必定存在平面 ? ,使得( )
5

(A) a ? ? , b ? ? (B) a ? ? , b // ? (C) a ? ? , b ? ? (D) a ? ? , b ? ? 3.已知直线 m,n 和平面 ? , ? 满足 m ? n, m ? a, ? ? ? ,则( )

A. n ? ?

B.n // ? , 或 n ? ?

C.n ? ?

D.n // ? , 或 n ? ?


4.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

C. 若m‖ ? , n‖? , 则m‖ n D. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? 5.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? ,? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? ,? / / ? ,则 l ? ? )

B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

6.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 (A)若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? (C)若 l //? , m ? ? ,则 l //m (B)若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? (D)若 l //? , m//? ,则 l //m

7.用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线, y 表示平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;②若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c ; ③若 a ∥ y , b ∥ y ,则 a ∥ b ;④若 a ⊥ y , b ⊥ y ,则 a ∥ b . A. ①② 考点四 B. ②③ 求空间图形中的角 C. ①④ D.③④

【基础训练】 1.直角 ?ABC 的斜边 AB ? ? ,AC,BC 与平面 ? 所成 的角分别为 30 和45 ,CD 是斜边 AB 上的
0 0

高,则 CD 与平面 ? 所成的角为 . 2. 如 图 , 正 三 棱 柱 V-ABC( 顶 点 在 地 面 上 的 射 影 是 底 面 正 三 角 形 的 中 心 ) 中 ,D,E,F 分 别 是 VC,VA,AC 的中点,P 为 VB 上任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的 角的大小是( ) V A. 30
0

B. 90

0

E

D

6
A

F P B

C

C. 600

D.随点的变化而变化

5.直线 l 与平面 ? 所成的角为 30 , l ? ? ? A, m ? ? , A ? m, 则 m 与 l 所成角的取值范围是
0

.

【高考链接】 题型一 异面直线所成的角 1.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点, 则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( )

(A)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

2. 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 = 2 AB ,E 为 AA1 重点, 则异面直线 BE 与 CD1 所 形成角的余弦值为( (A ) ) (B)

10 10

1 5

(C)

3 10 10

(D)

3 5

3.如图,已知正三棱柱

ABC ? A1B1C1 的各条棱长都相等, M 是
侧棱 CC1 的中点,则异面直线

AB1和BM 所成的角的大小是



4.如图,若正四棱柱

ABCD ? A1 B1C1D1 的底面连长为 2,高
7

为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的 正切值是______________

5.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,则异面直线 BA1 与 AC1 所 成的角等于( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

题型二 线面角 1.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射影为 △ABC 的 中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( )

A.

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为 ( A. )

2 2 3

B.

2 3

C.

2 4

D.

1 3

3.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则

AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 (
A. 30
?

) D. 90
?

B. 45

?

C. 60

?

4.如图,已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,

PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB 则下列结论正确的是(
A. PB ? AD ; B. 平面PAB ? 平面PBC C. 直线 BC ∥ 平面PAE



8

D. 直线 PD与平面ABC 所成的角为 45° 5.已知三棱锥 S ? ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC ,

SA =3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为(
(A)

)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4
)

6.正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为(

(A)

2 3

(B)

3 3

(C)

2 3

(D)

6 3

考点六 证明空间线面平行与垂直 1. 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , PD ? 平面ABCD, 底面 ABCD 为正方形 ,PD=DC,E,F 分别是 AB,PB 的中点.(1)求证: EF ? CD; (2)在平面 PAD 内 求一点 G,
P

使GF ? 平面PCB, 证明你的结论。
D

F C

2. 四 棱 锥 A ? BCDE 中 , 底 面 BC DE为 矩 形 , 侧 面

A

E

B

ABC ? 底面 BCDE , BC ? 2 , CD ? 2 , AB ? AC .
(Ⅰ)证明: AD ? CE ; (Ⅱ)设侧面 ABC 为等边三角形,求二面角 C ? AD ? E 的大小.

3.正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB ? 4 ,

点 E 在 CC1 上 且

C1 E ? 3EC .

9

(Ⅰ)证明: A1C ? 平面 BED ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? DE ? B 的大小.

4. 在 直 三 棱 柱 A B C? A 1 B 1 C 1中 , E 、 F 分 别 是 A 1B 、 A 1C 的 中 点 , 点 D 在 B1C1 上 ,

A1 D ? B1C



求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1 FD ? 平面 BB1C1C .

5.如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点 (Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

易错题 1.一个圆锥的底面圆半径为 3 ,高为 4 ,则这个圆锥的侧面积为( )

15? A. 2

B. 10?

C. 15?

D. 20?

2.已知一个棱长为 6cm 的正方体塑料盒子(无上盖),上口放着一个半径为 5cm 的钢球,则球心 到盒底的距离为 cm. 3.设 P, A, B, C 是球 O 表面上的四个点, PA, PB, PC 两两垂直,且 PA ? PB ? PC ? 1 ,则球 的表面积为 .

4.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 A 1 B 1 C 1 D 1 内 取一点 E,使 AE 与 AB、AD 所成的角都是 60°,则线段 AE 的长为
10

.


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