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北师大版必修1 4.2.1实际问题的函数刻画._图文

4.2.1实际问题的 函 数 刻 画
景德镇第一中专 文志杰

复习回顾
选定初始区间

两端函数值 反号的区间

程利 实用 数二 解分 的法 过求 程方

取区间的中点
中点函数 值为零 否



M
N 是 否

取新区间,一个端 点是原区间的中 点,另一端点是原 区间两端点中的 一个,新区间两端 点的函数值反号
方程解满足要 求的精确度

结束

用数学刻画实际问题是数学应用 的第一步。这里要突出两个方面:

1、读懂问题; 2、根据实际问题特征和掌握的 数学特征,建立实际问题与数学 问题的联系.

问题1 当人的生活环境温度改变时,人体代 谢率也有相应的变化,下表给出了实验的一 级数据
环境温度 代谢率/4 1858J/(h· 2) m 4 60 10 44 20 40 30 40.5 38 54

分析:这组数据能说明什么?
对于环境温度只 有唯一的人体代 谢率与之对应
决定

函数关系

将实验值在直角坐标系中表示出来. 并用折线把它们连接起来
环境温度与代谢率 ①小于20℃的范围内是下降 ②大于30℃的范围内是上升 代谢率/4 185J/(h· m ③20℃~30℃较稳定 60 ④环境温度太低或太 50 40 高,有较大影响 30
O 10 20 30

2)

40 温度/(℃)

解:在这个实际问题中出现了两个变量,一个是环境温度, 另一个是人体的代谢率. (1)代谢率曲线在小于20 C的范围是下降的,在大于30 C的 范围是上升的; (2)环境温度在 20 oC ~ 30oC 时,代谢率较低,并且较稳定, 即温度变化时,代谢率变化不大; (3)环境温度太低或太高时, 它对代谢率有较大影响.
所以,临床上做“基础代谢率” 20 测定时,室温要保持在 ?c ~ 30?c 之间,这样可以使环境温度的影 响最小。
代谢率/4185J/(h ? m )
2

60 50 0 4 30

0

10

20

30

40 温度/( ?c)

对实验数据分析得到一个函数 描点,用折线连接得到一个新函数 定义域扩大到区间[4,38] 这是个环境温度与人体代谢的近似函数,它 的函数图像可以帮助我们更好地把握环境 温度与人体代谢的关系 代谢率/4 185J/(h· m
2)

60 50 40 30

O

10

20

30

40 温度/(℃)

问题2 某厂生产一种畅销的新型工艺品,为 此更新专用设备和制作模具花去了200 000 元,生产每件工艺品的直接成本为300元,每 件工艺品的售价为500元,产量x对总成本C, 单位成本P,销售收入R以及利润L之间存在 什么样的函数关系?表示了什么实际含义?

解析: (1) 该问题中反映的信息中有哪些量?
(2) 这几个量之间存在怎样的依赖关系? 总成本C 与产量x 之间的关系 单位成本P 与产量x 之间的关系 销售收入R与x 之间的关系 利润L与产量x 的关系
200 000 P? ? 300 x

C ? 200 000 ? 300x

R ? 500 x

L ? R ? C ? 200x ? 200 000

解: 总成本C与产量x的关系 C=200 000+300x 单位成本P与产量x的关系
200 000 P? ? 300 x

销售收入R与产量x的关系 R=500x 利润L与产量x的关系 L=R-C=200x-200 000

L=R-C=200x-200 000 若x<1000,L<0; 若x=1000,L=0; 若x>1000,L>0;

画出R与C的图像
R(C) R C

500 000
200 000

1 0000 x

200 000 P? ? 300 x

x增加 P减少

以上各式建立的是函数关系 (1)从利润关系式可见,希望 有加大利润映增加产量. 500 000 若 x ? 1 000 , 则要亏损; 若 x ? 1 000, 则利润为零; 200 000 0 若 x ? 1 000 则可盈利. , 如图所示,R和C的图象是两条 直线,在它们的交点处利润为零.

R(C)

R C

1000

x

(2 ) 从单位成本与产量的关系 可见,为了降低成本,应增加产量,以形成规模效益.

200 000 P ? ? 300 x

问题3 如图,在一条弯曲的河道上,设置了六个 水文监测站.现在需要在河边建一个情报中心, 从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通 讯电缆,怎样刻画专用通讯电缆的总长度?
A
B C

D
D

E

E

F F

b
c
C

d
Ae

B

f

分析:情报中心在河边的位置一旦确定,每一个水文 监测站到情报中心的通讯电缆长度就唯一确定了,因 此,表示情报中心位置的数值与专用通讯电缆的总长 度就构成一个函数关系。
现在将弯曲的河道“拉直”,使刻 画曲线段长度的问题变成了刻画直 线段长度的问题,将“变直了”的 河道当做一个数轴:
?

E
?

D? B?
?

F

C

?

A

表示情报中心位置的数值可以看作 一个变量,用x表示,这样,对于给 定的x值,就能计算出情报中心到每 一个水文站的长度,从而可以得出 所需电缆的总长度。

把变直的河道当作数轴,A,B,C,D,E,F的 坐标就可以用0,b,c,d,e,f表示 情报中心位置的数值用x 表示 所需电缆总长度 f(x)=|x|+|x-b|+|x-c|+|x-d|+|x-e|+|x-f|
A B C

x

D

E

F

问题1:当环境温度改变时,人体代谢率也有相应的变化, 通过对实验数据的分析,它可以确定由环境温度值到人体 代谢率各数值的一个函数,通过对这个函数的学习,我们 体会到用函数能够刻画(社会的)人的代谢率与温度(自 然的)的关系。 问题2:总成本C,单位成本P,销售收入R,利润L都是产 量x的函数。 问题3:用“以直代曲”的办法,可确定电缆总长度的函数

通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在指教坐标 系中的点,观察这些点的特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数 图像,即选定函数形式,将一些数据代入,求出具体的函数表达式, 再做必要的检验,基本符合实际,就确定。

课堂练习 ? P122 练习 1、
?

课堂练习(P122 练习1、) 解答
1.商店的一种商品每个进价80元,零售价100 元.为了促进销售,开展购一件商品赠送一个 小礼品的活动,在一定的范围内,礼品价格每 增加1元,销售量增加10%.求利润与礼品价格 n之间的函数关系.
促销后销售量M与原销售量a、 M=a(1+10%)n 礼品价格n的函数关系 促销后单个商品的利润N与 N=100-80-n 礼品价值n的函数关系 利润与礼品价格n的函数关系

y=M· N=1.1na(20-n),0≤n≤20

小结
用数学刻画实际问题
读懂问题 根据实际问题特征和掌握数学特征 建立实际问题与数学问题的联系

?作业 ?练习53 ?P122

练习 2

P130 习题4-2 A组 1

(P122 练习 2、) 解答 2.在测量某物理的过程中,因仪器和观察的 误差,使得n次测量分别得到a1,a2·,an,共n个 · · 数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似 值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与 各数据差的平方和最小.依此规定,请用 a1,a2,·,an表示出a. · ·

解 设a与各数据差的平方和为y,则 y=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2

=na2-2(a1+a2+…+an)a+a12+a22+…+an2 由二次函数的性质知
? 2?a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? 当a ? ? 时 2n

y取得最小值,即最佳近似值
1 a ? ?a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? n