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11-12学年高一数学:1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时(人教A版必修1)

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1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时
1.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)为增函数,当 x∈(-∞,-2]时,函数 f(x)为减 函数,则 m 等于( A.-4 C.8 ) B.-8 D.无法确定

m 解析:选 B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反.由题意得函数的对称轴为 x=-2,则 =-2, 4 所以 m=-8. 2.函数 f(x)在 R 上是增函数,若 a+b≤0,则有( A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b) C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 解析:选 C.应用增函数的性质判断. ∵a+b≤0,∴a≤-b,b≤-a. 又∵函数 f(x)在 R 上是增函数, ∴f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a). ∴f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b). 3.下列四个函数:①y= 数的是( A.① C.①④ ) B.④ D.①②④ x x ;②y=x2+x;③y=-(x+1)2;④y= +2.其中在(-∞,0)上为减函 x-1 1-x )

x-1+1 x 1 解析:选 A.①y= = =1+ . x-1 x-1 x-1 其减区间为(-∞,1),(1,+∞). 1 1 1 ②y=x2+x=(x+ )2- ,减区间为(-∞,- ). 2 4 2 ③y=-(x+1)2,其减区间为(-1,+∞), ④与①相比,可知为增函数. 4.若函数 f(x)=4x2-kx-8 在[5,8]上是单调函数,则 k 的取值范围是________. k k k 解析:对称轴 x= ,则 ≤5,或 ≥8,得 k≤40,或 k≥64,即对称轴不能处于区间内. 8 8 8 答案:(-∞,40]∪[64,+∞)

1.函数 y=-x2 的单调减区间是(

)
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A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 解析:选 A.根据 y=-x2 的图象可得.

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2.若函数 f(x)定义在[-1,3]上,且满足 f(0)<f(1),则函数 f(x)在区间[-1,3]上的单调性是( A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.无法判断

)

解析:选 D.函数单调性强调 x1,x2∈[-1,3],且 x1,x2 具有任意性,虽然 f(0)<f(1),但不能保证其他 值也能满足这样的不等关系. 3.已知函数 y=f(x),x∈A,若对任意 a,b∈A,当 a<b 时,都有 f(a)<f(b),则方程 f(x)=0 的根( A.有且只有一个 B.可能有两个 C.至多有一个 D.有两个以上 )

解析:选 C.由题意知 f(x)在 A 上是增函数.若 y=f(x)与 x 轴有交点,则有且只有一个交点,故方程 f(x) =0 至多有一个根. 4.设函数 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则( A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) )

C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a) 1 3 解析:选 D.∵a2+1-a=(a- )2+ >0, 2 4 ∴a2+1>a, ∴f(a2+1)<f(a),故选 D. 5.下列四个函数在(-∞,0)上为增函数的是( |x| x2 x ①y=|x|;②y= ;③y=- ;④y=x+ . x |x| |x| A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解析:选 C.①y=|x|=-x(x<0)在(-∞,0)上为减函数; |x| ②y= =-1(x<0)在(-∞,0)上既不是增函数,也不是减函数; x x2 ③y=- =x(x<0)在(-∞,0)上是增函数; |x| x ④y=x+ =x-1(x<0)在(-∞,0)上也是增函数,故选 C. |x| 6.下列说法中正确的有( ) )

①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数; ②函数 y=x2 在 R 上是增函数; 1 ③函数 y=- 在定义域上是增函数; x
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1 ④y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). x A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 A.函数单调性的定义是指定义在区间 I 上的任意两个值 x1,x2,强调的是任意,从而①不对; 1 ②y=x2 在 x≥0 时是增函数,x≤0 时是减函数,从而 y=x2 在整个定义域上不具有单调性;③y=- 在整 x 1 个定义域内不是单调递增函数.如-3<5,而 f(-3)>f(5);④y= 的单调递减区间不是(-∞,0)∪(0,+ x ∞),而是(-∞,0)和(0,+∞),注意写法. b 7.若函数 y=- 在(0,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是________. x 解析:设 0<x1<x2,由题意知 b b b?x1-x2? f(x1)-f(x2)=- + = >0, x1 x2 x1·2 x ∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0. ∴b<0. 答案:(-∞,0) 3 8.已知函数 f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,那么 f(a2-a+1)与 f( )的大小关系为________. 4 1 3 3 解析:∵a2-a+1=(a- )2+ ≥ , 2 4 4 3 ∴f(a2-a+1)≤f( ). 4 3 答案:f(a2-a+1)≤f( ) 4 9.y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 解析: y=-(x-3)|x|=
?-x2+3x ? ? 2 ? ?x -3x

?x>0? ?x≤0?

,作出其图象如图,观察图象知递增区

3 间为[0, ]. 2

3 答案:[0, ] 2 10.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0. (1)求 b 与 c 的值; (2)试证明函数 f(x)在区间(2,+∞)上是增函数. 解:(1)∵f(1)=0,f(3)=0,
? ?1+b+c=0 ∴? ,解得 b=-4,c=3. ?9+3b+c=0 ? 本卷第 3 页(共 4 页)_________________________________________________________ ___山东世纪金榜书业有限公司

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(2)证明:∵f(x)=x2-4x+3, ∴设 x1,x2∈(2,+∞)且 x1<x2,
2 f(x1)-f(x2)=(x2-4x1+3)-(x2-4x2+3) 1 2 =(x1-x2)-4(x1-x2) 2

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=(x1-x2)(x1+x2-4), ∵x1-x2<0,x1>2,x2>2, ∴x1+x2-4>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在区间(2,+∞)上为增函数. 11.已知 f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x-1)<f(1-3x),求 x 的取值范围.

?-1≤x-1≤1 ? 解:由题意可得?-1≤1-3x≤1, ?x-1<1-3x ?

? ?0≤x≤2, 3 即? ?x<1 ? 2
0≤x≤2

1 ∴0≤x< . 2

ax+1 12.设函数 y=f(x)= 在区间(-2,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围. x+2

解:设任意的 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2, ∵f(x1)-f(x2)= = = ax1+1 ax2+1 - x1+2 x2+2

?ax1+1??x2+2?-?ax2+1??x1+2? ?x1+2??x2+2? ?x1-x2??2a-1? . ?x1+2??x2+2?

∵f(x)在(-2,+∞)上单调递增, ∴f(x1)-f(x2)<0. ∴ ?x1-x2??2a-1? <0, ?x1+2??x2+2?

∵x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0, 1 ∴2a-1>0,∴a> . 2

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