当前位置:首页 >> 数学 >>

2013北京海淀区高三二模数学(理)试题答案无水印


海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 2013.5

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B

8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 2 12. 2;

10. c ? b ? a

11. (1, 3) 14.②③; 2 ? 2

3 ?1 2

13. [0,1]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 sin( x ? ) ? 0 所以 x ?

π 4

π ? kπ, k ? Z 4 π 4

……………………2 分 ……………………4 分 ……………………6 分

所以函数的定义域为 {x | x ? kπ+ , k ? Z} (II)因为 f ( x ) ? 1 ?

cos 2 x ? sin 2 x sin x ? cos x

= 1 ? (cos x ? sin x )
? 1 ? sin x ? cos x

π = 1 ? 2( x ? ) 4 π 2 π 2

……………………8 分

又 y ? sin x 的单调递增区间为 (2kπ ? ,2kπ ? ) , k ? Z

π π π ? x ? ? 2kπ ? 2 4 2 3π π ? x ? 2kπ ? 解得 2kπ ? 4 4 π 又注意到 x ? kπ+ , 4


2kπ ?

……………………11 分

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2kπ ?

3π π ,2kπ ? ) , 4 4

k ? Z …………………13 分

16. 解: (I)设至少一张中奖为事件 A 则 P( A) ? 1 ? 0.52 ? 0.75 (II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ? 则 ? 可以取 5,0, ?45, ?145 …………………6 分 …………………4 分

? 的分布列为
?
5 0

?45

?145

P

50%

50% ? 2% ? p

2%

p
…………………8 分

所以 ? 的期望为 E? ? 5 ? 50% ? 0 ? (50% ? 2% ? p) ? ( ?45) ? 2% ? ( ?145) ? p

? 2.5 ? 90% ? 145p
所以当 1.6 ? 145 p ? 0 时,即 p ? 所以当 0 ? p ?

…………………11 分 …………………12 分

8 725

8 时,福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13 分 725

17.解: (I)因为点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上 所以 PH ? 平面 ABC ,所以 PH ? AC …………………1 分

因为在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? ,

BC ? 2 , AD ? 4
所以 AC ? 4 , ?CAB ? 60? ,所以 ?ADC 是等边三角形, 所以 H 是 AC 中点, 所以 HE / / PC 同理可证 EF / / PB 又 HE ? EF ? E , CP ? PB ? P 所以 EFH / / PBC 平面 PBC (II)在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则 A(0, ?2,0) , P(0,0,2 3) , B( 3,1,0) …………………6 分 …………………5 分 …………………2 分 …………………3 分

因为 E(0, ?1, 3) , HE ? (0, ?1, 3) 设平面 PHB 的法向量为 n ? ( x, y, z )
A F x

??? ?

z P E H B C y

?

因为 HB ? ( 3,1,0) , HP ? (0,0,2 3)

??? ?

??? ?

??? ? ? ? HB ? n ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ? ? 所以有 ? ??? ? ,即 ? , ?z ? 0 ? HP ? n ? 0 ? ?


x ? 3,



y ? ?3,

所 …………………8 分



? n ? ( 3, ?3,0)
? ???? ? ???? n ? HE 3 3 ? cos ? n, HE ?? ? ????? ? ? 4 | n | ?| HE | 2 ? 2 3
…………………10 分 所 以 直 线

HE







P H 所 B















3 4

…………………11 分 …………………12 分

(III)存在,事实上记点 E 为 M 即可

EH ? PE ? EA ? 因为在直角三角形 PHA 中,
分 在直角三角形 PHB 中,点 PB ? 4, EF ? 所 等 18.解: (I) 因为 S (t ) ? 当 a ? 0 , S (t ) ? 以 点

1 PA ? 2 , 2

…………………13

1 PB ? 2 2


E







P,

O,

C, 的

F 距





…………………14 分

1 | t ? a | e t ,其中 t ? a 2

…………………2 分

1 | t | et ,其中 t ? 0 2 1 1 当 t ? 0 时, S (t ) ? tet , S '(t ) ? (t ? 1)et , 2 2
所 增, 以

S ' t ?(

),

0 所



S (t )



(0, ??)





…………………4 分

当 t ? 0 时, S (t ) ? ? tet , S '(t ) ? ? (t ? 1)et ,

1 2

1 2

1 2 1 令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ?1,0) 上递减 ……………7 分 2
令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ??, ?1) 上递增 综上, S (t ) 的单调递增区间为 (0, ??) , ( ??, ?1)

S (t ) 的单调递增区间为 ( ?1,0)
(II)因为 S (t ) ?

1 | t ? a | et ,其中 t ? a 2

当 a ? 2 , t ? [0,2] 时, S (t ) ? (a ? t )et 因为 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e ,所以 S (t ) 在 [0,2] 上的最大值一定大于等于 e

1 2

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et 2
t ? a ?1
当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时





S' t ?

(

, )

得 0

…………………8 分

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0,2) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 所以当 t ? 2 时, S (t ) 取得最大值 S (2) ? (a ? 2)e2 2 1 2 a ? ?2 , 令 (a ? 2)e2 ? e ,解得 2 e
所 以

a?3
…………………10 分 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0, a ? 1) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? ( a ? 1,2) 成立, S (t ) 单调递减 2 1 所以当 t ? a ? 1 时, S (t ) 取得最大值 S (a ? 1) ? ea ?1 2 1 令 S (a ? 1) ? ea ?1 ? e ,解得 a ? ln 2 ? 2 2
所 以

l

?

a
…………………12 分

n

?











l

? ?a

n

2

2

…………………13 分 19.解:(I)因为椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, a 2 b2

一内角为 60? 的菱形的四个顶点, 所 以

a? 3 b? ,

,

1 椭



M









x2 ? y2 ? 1 3

…………………4 分

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 因为 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) , 显然直线 AB 有斜率,

1 2

当直线 AB 的斜率为 0 时,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,则 x1 ? ? x2 , y1 ? y2

1 x2 x2 1 2 所以 S?AOB = | 2 x1 || y1 |?| x1 || y1 |?| x1 | 1 ? 1 ? x12 (1 ? 1 ) ? x1 (3 ? x12 ) 2 3 3 3
因为 x12 (3 ? x12 ) ? 所以 S ?AOB

x12 ? (3 ? x12 ) 3 ? , 2 2 6 3 3 ,当且仅当 | x1 |? 时, S ?AOB 取得最大值为 ? 2 2 2

………………7 分

当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y ? kx ? t

? y ? kx ? t ? 2 2 2 所以 ? x 2 ,代入得到 (3k ? 1) x ? 6kt ? 3t ? 3 ? 0 ? y2 ? 1 ?3 ?
2 2 当 ? ? 4(9k ? 3 ? 3t ) ? 0 ,

即 3k 2 ? 1 ? t 2 ①

方程有两个不同的解 又

x1 ? x2 ?

?6kt 3k 2 ? 1

, …………………8

x1 ? x2 ?3kt ? 2 2 3k ? 1
分 所以

y1 ? y2 t ? 2 , 2 3k ? 1


y1 ? y2 1 ? 2 ? ? 1 ,化简得到 2 又 2 3k ? 1 ? 4t x ?x k 0? 1 2 2
代 入









0?t?4
…………………10 分 又原点到直线的距离为 d ?

|t | k2 ?1

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1

1 1 |t | 所以 S?AOB = | AB || d |? 1? k2 2 2 k2 ?1
化 简

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1
得 到

S?A =

1 4

?

2 O

3 t

B

(

t

4

…………………12 分 因为 0 ? t ? 4 ,所以当 t ? 2 时,即 k ? ? 综 上 ,

7 3 时, S ?AOB 取得最大值 3 2
积 的 最 大 值 为

?A

O 面 B

3 2 20.(I)解:法 1:

…………………14 分

1 2 3 ?7 1 2 3 7 1 2 3 7 改变第4列 改变第2行 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 ?2 1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 2:

1 2 3 ?7 1 2 3 ?7 1 2 3 7 改变第2行 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 ?1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 3:

1 2 3 ?7 ?1 2 3 ?7 ?1 2 3 7 改变第1列 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 ?1

…………………3 分 (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ①如果首先操作第三列,则

a a2 ? 1 a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 2 ? a a2
则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a ?

1 5 或a ? 2 2 1 时,则接下来只能操作第一行, 2
?a a 2 2 ? a a2

当a ?

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

此时每列之和分别为 2 ? 2a,2 ? 2a 2 ,2 ? 2a,2a 2 必有 2 ? 2a 2 ? 0 ,解得 a ? 0, ?1 当a ?

5 时,则接下来操作第二行 2

a a2 ? 1 a ?a 2 a ? 2 a 2 ? 1 a ? 2 ?a 2
此 时 第 4 列 和 为 负 , 不 符 合 题

意. …6 分 ② 如果首先操作第一行

………………

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

a a2 a ? 2 a2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a 2 , 2a ? 2 , 2a 2 当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ? 1 时, 2 ? 2a , 2a ? 2 至少有一个为负数, 所以此时必须有 2 ? 2a 2 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 或 a ? ?1 经检验, a ? 0 或 a ? ?1 符合要求 综 上 :

a?0 ?

,
…………………9 分

1

(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。 证明如下: 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 cij( i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n ) 各行的数字之和分别为 ,

a1 , a2 ,?, am , 各列的数字之和分别为 b1 , b2 ,?, bn ,A ? a1 ? a2 ? ? ? am ,B ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,
数表中 m ? n 个实数之和为 S ,则 S ? A ? B 。记

K ? min k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kn cin | kl ? 1或 ? 1(l ? 1,2,?, n)且 k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kncin ? 0
1?i ?m

T ? min t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ts ? 1或 ? 1(s ? 1,2,?, m)且 t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ? 0
1? j ?n

?

?

|

?

?

? ? min?K , T ? .
按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B ) 增大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2 ? ,但是每次操作都只是改变数表中某 行(或某列) 各数的符号, 而不改变其绝对值,显然,S 必然小于等于最初的数表中 m ? n 个 实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行和与 所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号, S 就又会继续上升,导致 矛 立 …………………13 分 盾 , 故 结 论 成 。

更多试题下载: (在文字上按住 ctrl 即可查看试题) 高考模拟题:高考各科模拟试题【下载】 历年高考试题:历年高考各科试题【下载】 高中试卷频道:高中各年级各科试卷【下载】


相关文章:
2013年北京市海淀区高三二模数学(理科)试题及答案.pdf
2013北京市海淀区高三二模数学(理科)试题答案 - 用心 细心 专心 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学(理科) 2013. 5 本试卷共 4 页,150 分。考试时...
2013北京海淀区高三二模数学(理)试题答案无水印.doc
2013北京海淀区高三二模数学(理)试题答案无水印 - 海淀区高三年级第二学期期
【解析版】北京市海淀区2013届高三二模数学理试题.doc
【解析版】北京市海淀区2013高三二模数学理试题 - 2013北京市海淀区高考数学二模试卷 (理科) 参考答案试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 ...
2013年北京市海淀区高三二模数学(理科)试题和答案.doc
2013北京市海淀区高三二模数学(理科)试题答案 - 013 年北京市海淀区高三年级二摸试题 数 学(理科) 2013. 5 一、选择题:本大题共 8 小...
北京市海淀区2015年高三二模数学(理)试卷及解析(无水印).pdf
北京市海淀区2015年高三二模数学(理)试卷及解析(无水印) - 海淀区高三年级
2013北京海淀区高三二模数学(理)试题及答案_图文.doc
2013北京海淀区高三二模数学(理)试题答案 - ‘’ ‘’’ 海淀区高三年级第二学期期末练习 数学 (理科) 2013.5 参考答案及评分标准 说明: 合理答案均可酌情...
北京2013届海淀高三二模数学理科试题及答案.doc
北京2013海淀高三二模数学理科试题答案 - 海淀区高三年级第二学期期末练习 数学 (理科) 2013.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分....
2013届北京海淀区高三二模数学文科试题及答案[WORD修正版].doc
2013北京海淀区高三二模数学文科试题答案[WORD修正版] - 海淀区高三
2013北京海淀区高三二模数学(理)试题答案.doc
2013北京海淀区高三二模数学(理)试题答案 - 海淀区高三年级第二学期期末练习
2013北京海淀区高三二模数学(文)试题答案.doc
2013北京海淀区高三二模数学()试题答案 - 海淀区高三年级第二学期期末练习
北京2013届海淀高三二模数学理科试题及答案.doc
北京2013海淀高三二模数学理科试题答案 - 海淀区高三年级第二学期期末练习 数学 (理科) 2013.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分....
【解析版】北京市海淀区2013届高三二模数学理试题.doc
【解析版】北京市海淀区2013高三二模数学理试题 - 2013北京市海淀区高考数学二模试卷 (理科) 参考答案试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 ...
2013北京海淀区高三二模数学(理)试题答案.doc
2013北京海淀区高三二模数学(理)试题答案 - 中国权威高考信息资源门户 ww
2013海淀高三二模数学理.pdf
2013海淀高三二模数学理 - 海淀 数 作答无效。 学(理科) 2013. 5 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 一...
2017年北京市海淀区高三年级二模数学(理)试题及答案.doc
2017年北京市海淀区高三年级二模数学(理)试题答案 - 北京市海淀区高三二模 数学(理科)2017.5 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答...
2017海淀高三二模数学(理)试题及答案word版.doc
2017海淀高三二模数学(理)试题答案word版 - 海淀区高三年级第二学期期
...2013届高三5月期末练习(二模)数学(理)试题及答案.doc
北京市海淀区2013届高三5月期末练习(二模)数学(理)试题答案 - 海淀区高三年级第二学期期末练习 数学 (理科) 2013.5 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120...
2013北京市海淀区高三数学二模试题.pdf
2013北京市海淀区高三数学二模试题 - 原千翔教育 您身边最贴心的辅导机构 h
2012年北京市海淀区高三毕业班二模数学(理)试题及答案....doc
2012年北京市海淀区高三毕业班二模数学(理)试题答案免费下载 - 海淀区高三
北京市海淀区2016届高三二模数学理试题(WORD版含官方参....doc
北京市海淀区2016届高三二模数学理试题(WORD版含官方参考答案及评分标准)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市海淀区2016届高三二模数学理试题(WORD版含官方...
更多相关标签: