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必修2-3.1 直线的倾斜角与斜率


3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 1.倾斜角 当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向__上__方向 定义 之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角. 规定 图示 范围 (1) 作用 2.斜率(倾斜角为 α) 定义 记法 范围 公式 作用 1.给出下列命题: ①任何一条直线都有惟一的倾斜角; ②一条直线的倾斜角可以为-30° ; ③倾斜角为 0° 的直线只有一条,即 x 轴; ④按照倾斜角的概念,直线倾斜角的集合{α|0° ≤α<180° }与直线构成的集合建立了一一映射关系. 正确命题的个数( A A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个 α≠90° α=90° 一条直线的倾斜角 α 的__正切值__叫做这条直线的斜率 斜率不存在 斜率 k=tanα __R__ y2-y1 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率为 k=__ __ x2-x1 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 (2) 0° ≤α<180° 用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的__倾斜程度__ 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是: 直线上 的一个定点以及它的__倾斜角__,二者缺一不可 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为__0° __. [解析] 由倾斜角 α∈[0° ,180° )知②错;又平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0° , 这样的直线有无数条,故③④错;只有①是正确的. 2.已知直线过点 A(0,4)和点 B(1,2),则直线 AB 的斜率为 ( C ) A.3 B.2 2-4 =-2. 1-0 C.-2 D.不存在 [解析] 直线 AB 的斜率 k= 3.一条直线的斜率等于 1,则此直线的倾斜角等于__45° __. [解析] 设倾斜角为 α,则 tanα=1,又∵0° ≤α<180° ,∴α=45° . 4.(2016· 诸城高一检测)已知交于点 M(8,6)的四条直线 l1、l2、l3、l4 的倾斜角之比为 1︰2︰3︰4,又知 l2 过点 N(5,3),求这四条直线的倾斜角. 6-3 [解析] ∵k2=kMN= =1,∴直线 l2 的倾斜角为 45° .又∵l1、l2、l3、l4 的倾斜角之比为 1︰2︰3︰4, 8-5 ∴这四条直线的倾斜角分别为 22.5° 、45° 、67.5° 、90° . 命题方向 1 ?直线的倾斜角 例题 1 (1)已知直线 l 的倾斜角为 β-15° ,则下列结论中正确的是( D ) A.0° ≤β<180° B.15° <β<180° C.15° ≤β<180° D.15° ≤β<195° (2)已知直线 l1 的倾斜角为 α1,则 l1 关于 x 轴对称的直线 l2 的倾斜角 α2 为__0° 或 180° -α1__. [解析] (1)因为直线 l 的倾斜率为 β-15° ,所以 0° ≤β-15° <180° ,即 15° ≤β<195° . (2)当 α1=0° 时,α2=0° ,当 0° <α1<180° 时,α2=180° -α1. 『规律方法』 1.求直线的倾斜角 (1)根据题意画出图形,结合倾斜角的定义找出倾斜角,再通过解三角形或其它方法求之; (2)先求出直线的斜率 k,再由 k=tanα,求倾斜角 α. 2.倾斜角 α 与直线斜率值的关系:把倾斜角 α 分为以下四类讨论: α=0° ,0° <α<90° ,α=90° ,90° <α<180° .对应的斜率 k 的值

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