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江苏省南京市江宁高级中学2016-2017学年高二数学下学期期末模拟试卷

江苏省南京市江宁高级中学2 0142015学年高二(下)期末数学模拟试卷(理科)
  一、填空题(每题5分,共70分) 1.已知集合U=R,集合M={y|y=2x,x∈R},集合N={x|y=lg(3﹣x)},则(?UM )∩N=      .   2.若1+2ai=(1﹣bi)i,其中a、b∈R,i是虚数单位,则|a+bi|=       .   3.某学校高中三个年级的学生人数分别为:高一 950人,髙二 1000人,高三1050人.现要调查该校学生的视力状况,考虑采用分层抽样的方 法,抽取容量为60的样本,则应从高三年级中抽取的人数为      .   4.某国际体操比赛,我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加,最终将有 3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是       (结果用最简分数表示).   5.以椭圆   6.执行如图所示的程序框图,若输出的b的值为31,则图中判断框内①处应填 的整数为      . 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为      .

1

  7.在直角坐标系中,不等式组 值      .   8.(文科)已知函数f(x)=a+ 是奇函数,则实数a的值为       表示平面区域面积是4,则常数a的

.   9.“ ”是“不等式2x2﹣5x﹣3<0成立”的      

条件(在“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要 ”中选一个填写).   10.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有 一个小于1的概率是      .   11.在平面直角坐标系xOy中,抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为1的一点到焦 点的距离为3,则焦点到准线的距离为      .  

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12.在△ABC中,若BC⊥AC,AC=b,BC=a,则△ABC的外接圆半径



将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面体S﹣ABC中,若SA、SB、S C两两垂直,SA=a,SB=b,SC=c,则四面体S﹣ABC的外接球半径R=       .   13.已知椭圆C: + =1(a>b>0)和圆O:x2+y2= ,若C上存在点P,使

得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则椭圆C的离心 率取值范围是      .   14.已知函数 ,将集合A={x|f(x)=t,0<t<1

}(t为常数)中的元素由小到大排列,则前六个元素的和为      .     二、解答题(共6大题,共90分) 15.在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2 ,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下: 编号n 1 2 76 3 72 4 70 5 72

成绩xn 70

(1)求第6位同学的成绩x6,及这6位同学成绩的标准差s; (2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75 )中的概率.   16.如图,在四面体ABCD中,AD=BD,∠ABC=90°,点E,F分别为棱AB,AC上的 点,点G为棱AD的中点,且平面EFG∥平面BCD.求证:

3

(1)EF= BC; (2)平面EFD⊥平面ABC.

  17.如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直直线A B.点P是圆O上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别交L与M、N点. (Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆方程; (Ⅱ)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.

  18.如图,储油灌的表面积S为定值,它的上部是半球,下部是圆柱,半球的半 径等于圆柱底面半径. (1)试用半径r表示出储油灌的容积V,并写出r的范围. (2)当圆柱高h与半径r的比为多少时,储油灌的容积V最大?

4

  19.已知椭圆 的焦距为4,设右焦点为F1,离心率为e.

(1)若

,求椭圆的方程;

(2)设A、B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,若 原点O在以线段MN为直径的圆上. ①证明点A在定圆上; ②设直线AB的斜率为k,若   20.已知函数 . ,求e的取值范围.

(I)判断函数f(x)的单调性; (Ⅱ)若y=xf(x)+ 的图象总在直线y=a的上方,求实数a的取值范围;

(Ⅲ)若函数f(x)与 线相同,求实数m的值.    

的图象有公共点,且在公共点处的切

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江苏省南京市江宁高级中学20162017学年高二(下)期末数学模拟试卷(理科) 参考答案与试题解析   一、填空题(每题5分,共70分) 1.已知集合U=R,集合M={y|y=2x,x∈R},集合N={x|y=lg(3﹣x)},则(?UM )∩N= (﹣∞,0] .

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:M={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},N={x|y=lg(3﹣x)}={x|3﹣x>0}={ x|x<3} 则?UM={y|y≤0}. 则(?UM)∩N={y|y≤0}. 故答案为:(﹣∞,0] 点评: 本题主要考查集合的基本运算,求出集合的等价条件是解决本题的关键 .   2.若1+2ai=(1﹣bi)i,其中a、b∈R,i是虚数单位,则|a+bi|=   .

考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:首先由已知复数相等得到a,b,然后求模. 6

解答:

解:因为1+2ai=(1﹣bi)i=b+i,

所以b=1,a= ,所以

|a+bi|=| +i|=



故答案为:



点评:本题考查了两个复数相等以及求复数的模;属于基础题.   3.某学校高中三个年级的学生人数分别为:高一 950人,髙二 1000人,高三1050人.现要调查该校学生的视力状况,考虑采用分层抽样的方 法,抽取容量为60的样本,则应从高三年级中抽取的人数为 21 .

考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:先求出每个个体被抽到的概率 ,再用高三的总人数乘以此概率,即得所求.

解答:

解:每个个体被抽到的概率等于

=



则应从高三年级中抽取的人数为 1050× 故答案为 21. 点评:

=21,

本题主要考查分层抽样的定义和方法,用每层的个体数乘以每个个体被 抽到的概率等于该层应抽取的个体数, 属于基础题.   7

4.某国际体操比赛,我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加,最终将有 3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是  (结果用最简分数表示).  

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析: 利用组合的方法求出有3人上场比赛的所有方法和甲、乙两名替补运动员 均不上场比赛的方法,利用古典概型的概率公式求出概率. 解答: 有C63=20 由古典概型的概率公式得 甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是 = . 解:有3人上场比赛的所有方法有C83=56

故答案为: 点评:



求一个事件的概率,关键是先判断出事件的概率模型,然后选择合适的 概率公式进行计算.   5.以椭圆 . 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为   

考点:双曲线的标准方程;椭圆的简单性质. 专题:计算题.

8

分析: 先根据椭圆的标准方程求出椭圆的顶点和焦点,从而得到双曲线的焦点 和顶点,进而得到双曲线方程. 解答: 解:椭圆 的顶点为(﹣2,0)和(2,0),焦点为(﹣1,0)和(1,0). ∴双曲线的焦点坐标是(﹣2,0)和(2,0),顶点为(﹣1,0)和(1,0) . ∴双曲线的a=1,c=2?b= ∴双曲线方程为 . .

故答案为: 点评:



本题考查双曲线的标准方程、双曲线和椭圆的性质和应用,解题时要注 意区分双曲线和椭圆中数量关系的区别.   6.执行如图所示的程序框图,若输出的b的值为31,则图中判断框内①处应填 的整数为 4 .

考点:程序框图. 9

专题:算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程依次计算程序运行的结果,直到输出的b的值为31,确定 跳出循环的a值,从而确定判断框的条件. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环b=2+1=3,a=2;

第二次循环b=2×3+1=7,a=3; 第三次循环b=2×7+1=15,a=4; 第四次循环b=2×15+1=31,a=5. ∵输出的b的值为31,∴跳出循环的a值为5, ∴判断框内的条件是a≤4, 故答案为:4. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算程序运行的 结果是解答此类问题的常用方法.   7.在直角坐标系中,不等式组 值 0 . 表示平面区域面积是4,则常数a的

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析: 利用二元一次不等式组的定义作出对应的图象,找出对应的平面区域, 利用面积是9,可以求出a的数值. 解答: 由 解:由图象可知不等式对应的平面区域为三角形BCD. 解得 ,即C(﹣2,2).由题意知a>﹣2.

10





,即D(a,﹣a).





,即B(a,a+4),

所以|BD|=|2a+4|=2a+4,C到直线x=a的距离d=a﹣(﹣2)=a+2, 所以三角形BCD的面积为 即(a+2)2=4,解得a=0或a=﹣6(舍去). 故答案为:0. ,

点评: 本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域,利用数形结合是解决本 题的关键.   8.(文科)已知函数f(x)=a+ 是奇函数,则实数a的值为   .

考点:函数奇偶性的性质. 11

专题:函数的性质及应用. 分析:由题意可得f(﹣x)=﹣f(x),即a+ =﹣a﹣ ,即2a=



=1,由此求得a的值.

解答:

解:函数f(x)=a+

是奇函数,可得f(﹣x)=﹣f(x),

即 a+

=﹣a﹣

,即2a=



=1,

解得 a= ,

故答案为



点评:本题主要考查奇函数的定义和性质,属于基础题.   9.“ ”是“不等式2x2﹣5x﹣3<0成立”的 充分不必要 

条件(在“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要 ”中选一个填写).

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析: 根据不等式的解法求出不等式的等价条件,利用充分条件和必要条件的 定义进行判断即可. 解答: 解得 解:由2x2﹣5x﹣3<0,得(x﹣3)(2x+1)<0, , 12

∴“

”是“不等式2x2﹣5x﹣3<0成立”的充分不必要条件.

故答案为:充分不必要条件. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法求出不等 式的等价条件是解决本题的关键.   10.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有 一个小于1的概率是   .

考点:几何概型. 专题:计算题. 分析: 本题考查的知识点几何概型,我们可以求出满足条件的正三角形ABC的面 积,再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小 于1的图形的面积,然后代入几何概型公式即可得到答案. 解答: 解:满足条件的正三角形ABC如下图所示: ×4=

其中正三角形ABC的面积S三角形=

满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴 影部分所示 则S阴影= π 则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是 P= = =

13

故答案为:



点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、 体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解 决的步骤均为:求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N(A),再求出 总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据P=   11.在平面直角坐标系xOy中,抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为1的一点到焦 点的距离为3,则焦点到准线的距离为 4 . 求解.

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线的方程求得准线的方程,进而利用点A的纵坐标求得点A到 准线的距离,进而根据抛物线的定义求得答案. 解答: 解:依题意可知抛物线的准线方程为y=

点A与抛物线焦点的距离为3, ∴纵坐标为1,点A到准线的距离为 +1=3,解得p=4. 14

抛物线焦点(0,2),准线方程为y=﹣2, ∴焦点到准线的距离为:4. 故答案为:4. 点评: 本题主要考查了抛物线的定义的运用.考查了学生对抛物线基础知识的 掌握.属基础题.   12.在△ABC中,若BC⊥AC,AC=b,BC=a,则△ABC的外接圆半径 ,

将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面体S﹣ABC中,若SA、SB、S C两两垂直,SA=a,SB=b,SC=c,则四面体S﹣ABC的外接球半径R=   .

考点:进行简单的合情推理. 专题:压轴题;探究型. 分析: 这是一个类比推理的题,在由平面图形到空间图形的类比推理中,一般 是由点的性质类比推理到线的性质,由线的性质类比推理到面的性质,由已知 在平面几何中,△ABC中,若BC⊥AC,AC=b,BC=a,则△ABC的外接圆半径 ,我们可以类比这一性质,推理出在四面体S﹣ABC中,若SA、SB、S

C两两垂直,SA=a,SB=b,SC=c,则四面体S﹣ABC的外接球半径R= 解答: 解:由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时

一般是由点的性质类比推理到线的性质, 由线的性质类比推理到面的性质, 由圆的性质推理到球的性质. 15

由已知在平面几何中,△ABC中,若BC⊥AC,AC=b,BC=a, 则△ABC的外接圆半径 ,

我们可以类比这一性质,推理出: 在四面体S﹣ABC中,若SA、SB、SC两两垂直,SA=a,SB=b,SC=c, 则四面体S﹣ABC的外接球半径R=

故答案为: 点评: 类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;( 2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .   13.已知椭圆C: + =1(a>b>0)和圆O:x2+y2= ,若C上存在点P,使

得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则椭圆C的离心 率取值范围是   .

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用条件判断出O、P、A、B四点共圆,由三角函数求得|OP|的长,根据| OP|的范围和椭圆离心率、性质,列出不等式求出椭圆的离心率的取值范围. 解答: 解:连接OA,OB,OP,依题意,O、P、A、B四点共圆,

∵∠APB=60°,∠APO=∠BPO=30°,

16

在直角三角形OAP中,∠AOP=60°,|OA|=

∴cos∠AOP=

,则|OP|=

=



∵b<|OP|≤a, ∴ b≤a,∴3b2≤a2,即3(a2﹣c2)≤a2, ,即e≥ ,

∴2a2≤3c2,则

又0<e<1,则

≤e<1,

故答案为:



点评: 本题考查椭圆的离心率,四点共圆的性质,及三角函数的概念,考查转 化思想,属于中档题.   14.已知函数 ,将集合A={x|f(x)=t,0<t<1

}(t为常数)中的元素由小到大排列,则前六个元素的和为 52 .

考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:函数的性质及应用. 17

分析: 通过分类讨论①当1≤x≤2时,f(x)=x﹣1,由x﹣1=t,解得x=1+t;② 当2<x≤3时,f(x)=3﹣x,由3﹣x=t,解得x=3﹣t; ③当3<x≤6时,1< ,则f(x)=3( )=x﹣3,由x﹣3=t,解得x=3+t

;④当6<x≤9时, ﹣t; ⑤当9<x≤18时,

,f(x)=

=9﹣x,由9﹣x=t,解得x=9

,则f(x)=3

=x﹣9,由x﹣9=t,解得x=9

+t;⑥当18<x≤27时, 解得x=27﹣t. 即可得到答案. 解答:

,则f(x)=

=27﹣x,由27﹣x=t,

解:①当1≤x≤2时,f(x)=x﹣1,由x﹣1=t,解得x=1+t;

②当2<x≤3时,f(x)=3﹣x,由3﹣x=t,解得x=3﹣t; ③当3<x≤6时,1< ; ④当6<x≤9时, ; ⑤当9<x≤18时, +t; ⑥当18<x≤27时, x=27﹣t. 18 ,则f(x)= =27﹣x,由27﹣x=t,解得 ,则f(x)=3 =x﹣9,由x﹣9=t,解得x=9 ,f(x)= =9﹣x,由9﹣x=t,解得x=9﹣t ,则f(x)=3( )=x﹣3,由x﹣3=t,解得x=3+t

因此将集合A={x|f(x)=t,0<t<1}(t为常数)中的元素由小到大排列, 则前六个元素的和=(1+t)+(3﹣t)+(3+t)+(9﹣t)+(9+t)+(27﹣t)= 52. 故答案为52. 点评: 熟练掌握含绝对值符号的函数如何去掉绝对值符号、分类讨论的思想方 法、函数的交点等是解题的关键.   二、解答题(共6大题,共90分) 15.在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2 ,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下: 编号n 1 2 76 3 72 4 70 5 72

成绩xn 70

(1)求第6位同学的成绩x6,及这6位同学成绩的标准差s; (2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75 )中的概率.

考点:极差、方差与标准差;古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式,在表示式中有一个 未知量,根据解方程的思想得到结果,求出这组数据的方差,再进一步做出标 准差. (2)本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从5位同学中选2个,共有C5
2种结果,满足条件的事件是恰有一位成绩在区间(68,75)中,共有C 1种结果 4

,根据概率公式得到结果. 解答: 解:(1)根据平均数的个数可得75= 19 ,

∴x6=90, 这六位同学的方差是 (25+1+9+25+9+225)=49, ∴这六位同学的标准差是7 (2)由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是从5位同学中选2个,共有C52=10种结果, 满足条件的事件是恰有一位成绩在区间(68,75)中,共有C41=4种结果, 根据古典概型概率个数得到P= 点评: 本题考查一组数据的平均数公式的应用,考查求一组数据的方差和标准 差,考查古典概型的概率公式的应用,是一个综合题目.   16.如图,在四面体ABCD中,AD=BD,∠ABC=90°,点E,F分别为棱AB,AC上的 点,点G为棱AD的中点,且平面EFG∥平面BCD.求证: (1)EF= BC; (2)平面EFD⊥平面ABC. =0.4.

考点:平面与平面垂直的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离.

20

分析: (1)利用平面与平面平行的性质,可得EG∥BD,利用G为AD的中点,可 得E为AB的中点,同理可得,F为AC的中点,即可证明EF= BC; (2)证明AB⊥平面EFD,即可证明平面EFD⊥平面ABC. 解答: 证明:(1)因为平面EFG∥平面BCD,

平面ABD∩平面EFG=EG,平面ABD∩平面BCD=BD, 所以EG∥BD,…(4分) 又G为AD的中点, 故E为AB的中点, 同理可得,F为AC的中点, 所以EF= BC.…(7分) (2)因为AD=BD, 由(1)知,E为AB的中点, 所以AB⊥DE, 又∠ABC=90°,即AB⊥BC, 由(1)知,EF∥BC,所以AB⊥EF, 又DE∩EF=E,DE,EF?平面EFD, 所以AB⊥平面EFD,…(12分) 又AB?平面ABC, 故平面EFD⊥平面ABC.…(14分)

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点评: 本题考查平面与平面平行的性质,考查平面与平面垂直的判定,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题.   17.如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直直线A B.点P是圆O上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别交L与M、N点. (Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆方程; (Ⅱ)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.

考点:直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式. 专题:直线与圆. 分析: (Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系,由条件求得M、N两点的坐标,即可 求得以MN为直径的圆的方程. (Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0),求得 M(4,

)、N(4,

),以及MN的值,求得MN的中点,

22

坐标为(4,

),由此求得以MN为直径的圆截x轴的线段长度为 2

,化简可得结果. 解答: 解:(Ⅰ)以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立如直 角坐标系, 由于⊙O的方程为x2+y2=4,直线L的方程为x=4,∠PAB=30°,∴点P的坐标为( 1, ), (x+2),lBP:y=﹣ (x﹣2). ).

∴lAP:y=

将x=4代入,得M(4,2

),N(4,﹣2

∴MN的中点坐标为(4,0),MN=4
2=12.

.∴以MN为直径的圆的方程为(x﹣4)2+y

同理,当点P在x轴下方时,所求圆的方程仍是 (x﹣4)2+y2=12.…(6分) (Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0),则 (y0≠0),∴ ∵直线AP:y= =4﹣ . (x﹣2),将x=4代入,得 yM= + =4

(x+2),直线BP:y=

,yN=



∴M(4,

)、N(4,

),MN=|



|=



故MN的中点坐标为(4,

).

以MN为直径的圆截x轴的线段长度为 2

=

?

23

=

?

=

=4

为定值.

再根据以MN为直径的圆O′的半径为2 O′为线段MN的中点, 可得⊙O′必过⊙O 内定点(4﹣2 点评:

,AB的中点O到直线MN的距离等于4,故

,0).

本题主要考查求圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离 公式,属于中档题.   18.如图,储油灌的表面积S为定值,它的上部是半球,下部是圆柱,半球的半 径等于圆柱底面半径. (1)试用半径r表示出储油灌的容积V,并写出r的范围. (2)当圆柱高h与半径r的比为多少时,储油灌的容积V最大?

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:应用题;导数的综合应用. 分析: (1)由表面积S为定值,用r表示出h,可得储油灌的容积V及r的范围; (2)求导函数,确定函数的极大值即最大值,即可得出结论. 解答: 解:(1)∵S=2πr2+2πrh+πr2=3πr2+2πrh,∴ 分) 24 ,…(3

∴ …(7分) (2)∵

=



,令V'=0,得

,列表

r V'(r) V(r) ↗ …(11分) ∴当 时,体积V取得最大值,此时 , + 0 ﹣

极大值即最大值↘

∴h:r=1:1.…(13分) 答:储油灌容积 得最大值.…(15分) 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查学生利用数学知识解决 实际问题的能力,确定函数解析式是关键.   19.已知椭圆 的焦距为4,设右焦点为F1,离心率为e. ,当h:r=1:1时容积V取

(1)若

,求椭圆的方程;

(2)设A、B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,若 原点O在以线段MN为直径的圆上. ①证明点A在定圆上; ②设直线AB的斜率为k,若 ,求e的取值范围. 25

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:综合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的焦距为4, ,求出几何量,即可求椭圆的方程;

(2)①设出A的坐标,利用AF1的中点为M,BF1的中点为N,求出M、N的坐标, 根据原点O在以线段MN为直径的圆上,可得OM⊥ON,从而可得结论; ②直线方程与椭圆、圆联立,表示出k,根据 解答: 解:(1)由题意, ,即可求e的取值范围. ,∴ =2

,∴c=2,a=2

∴椭圆的方程为



(2)①证明:设A(x,y)则B(﹣x,﹣y) 因为椭圆的方程为 ,所以右焦点F1(2,0),M( , ),N(

,﹣ ), ∵原点O在线段MN为直径的圆上,∴OM⊥ON, ∴ ,

∴x2+y2=4,∴点A在定圆上.

②解:由

,可得

,∴

将e= = ,b2=a2﹣c2=

,代入上式可得

26



,∴

∴ ∵0<e<1 ∴ <e≤ .

点评: 本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用,考查学生 的计算能力,属于中档题.   20.已知函数 .

(I)判断函数f(x)的单调性; (Ⅱ)若y=xf(x)+ 的图象总在直线y=a的上方,求实数a的取值范围;

(Ⅲ)若函数f(x)与 线相同,求实数m的值.

的图象有公共点,且在公共点处的切

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导 数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;综合题. 分析: (1)先对函数 进行求导运算,根据导函数大于0时原函数单

调递增,导函数小于0时原函数单调递减,可求得单调区间. 27

(2)将将函数f(x)的解析式代入,可将问题转化为不等式

对于x>

0恒成立,然后g(x)=lnx+ 后进行求导,根据导函数的正负情况判断函数的 单调性进而可得到函数g(x)的最小值,从而得到答案. (3)将函数f(x)与 的图象有公共点转化为

有解,再由y=lnx与

在公共点(x0,y0)处的切线相同可得到

同时成立,进而可求出x0的值,从而得到m的值.

解答:

解:(Ⅰ)可得



当0<x<e时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当e<x时,f′(x)<0,f(x )为减函数. (Ⅱ)依题意,转化为不等式 对于x>0恒成立

令g(x)=lnx+ ,则g'(x)=

当x>1时,因为g'(x)=

>0,g(x)是(1,+∞)上的增函数,

当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)是(0,1)上的减函数, 所以g(x)的最小值是g(1)=1, 从而a的取值范围是(﹣∞,1). (Ⅲ)转化为 的切线相同 28 ,y=lnx与 在公共点(x0,y0)处

由题意知

∴解得:x0=1,或x0=﹣3(舍去),代入第一式,即有 点评:



本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即导函数大 于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减.

29


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