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新课标人教A版高中数学选修4-4单元检测全套试卷及参考答案

选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 已知集合 ,则 等于( ) A、 B、 C、 D、

2.在 中,有命题①;② ;③ ,则 为等腰三角形;④ ,则 为锐角三角形.上述命题正确的是( ) 若 若

A、① ②

B、① ④

C、② ③

D、② ④ ③ B、2 B. C、3 C. D、 4.已知

3.设 是函数 的反函数,若 ,则 的值为( ) A、 1 数列 满足 ,若 ,则 = ( ) A.

D. 5.已知定义在 R 上的奇函数 满足 为偶函数,对于函数 有下列几种描述,其中描述正确的是 ( ) (1) 是周期函数 (2) 是它的一条对称轴 (3) 是它图象的一个对称中心 (4)当 时,它一定取最大值 B.(2)(3) C.(1)(2) D.(1)(3) 6.把函数 的图象按向量 平移后,得到的图象 B、 C、 D、 7.若命题 p:不等式 ) A、p 真 q 假

A.(2)(4)

关于 y 轴对称,则 的最小值为( ) A、

的解集为 0<x<1;命题 q:在中,“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件,则( B、“p 且 q”为真 C、“p 或 q”为假

D、p 假 q 真 8.已知| |=2 ,| |=3, , 夹角为 ,则以 B. 14 C.15

=5 +2 ,= -3 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 A. D.16 9.点 O 在 内部且满足 ,则 面积与 面积之比为 A. 2 B. C. 3 D. 5

10.设定义域为 的函数 ,若关于 的方程 有 3 个不同的整数解 ,则 等于( )

A.5

B.

C.13

D.

第 II 卷 (非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 为锐角,且 ,则 12.函数 的 定义域是 . .

13.在直角坐标平面内,已知点列 , , , ,…, , ,……如果 为正偶数,则向量 的坐标(用表示) 为________ 14.在 中, , ,则 面积最大值为 15.有如下四个命题: ① 已知函数 ( 为实常数, 是自然对数的底数),若 在区间 内为减函数,则 的取值范围 是.

② 已知点 是函数 图象上的两个不同点,则一定有 ; ③ 已知 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意 的 ,满足: ,则数列 一定为等差数列 ④ 已知 O 是 所在平面上一定点,动点 P 满足: .则 P 点的轨迹一定通过 的重心 其中正确命题的序号为

三 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤) 16 (本题满分 12 分) 函数 的一段图象过点 ,如图所示 ⑴ 求函数 的解析式; ⑵ 将函数 的图象按向量 平移,得到函数 ,求 的单调递增区间

17. (本小题满分 12 分)已知向量 ,且与向量 所成角为 ,其中 、 、 是△ABC 的内角. (1)求角 的大小; (2)求 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)设 是数列 ( )的前 项和, ,且 , , . (I)证明:数列 ( )是常数数列; (II)求数列 的通项公式.

19. (本小题满分 13 分)设 a>0,函数 小值.

(1)讨论 f(x)的单调性

(2)求 f(x)在区间[a,2a]上的最

20. (本小题满分 13 分)我校现有教职员工 500 人,为了开展迎 2008 奥运全民健身活动,增强教职员工体 质,学校工会鼓励大家积极参加晨练与晚练,每天清晨与晚上定时开放运动场、健身房和乒乓球室,约有 30%的教职员工坚持每天锻炼. 据调查统计,每次去户外锻炼的人有 10%下次去室内锻炼,而在室内锻炼

的人有 20%下次去户外锻炼. 请问,随着时间的推移,去户外锻炼的人数能否趋于稳定?稳定在多少人左 右?

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 是在(0,+∞)上每一点处可导的函数,若 在 x>0 上恒成立. (1)求证:函数 (0,+∞)上是增函数; (2)当 时,证明: ; (3)已知不等式 在 且 时恒成立,求证: …+ N+).

周南中学 08 届高三第一次月考 数学(理)参考解答及评分标准 1.A.2.C.3.B.4.B. 5.D.6.B.7.A.8.C.9.D.10.A. 11. 12. . 13. , 14. 15.② . 三 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出文字说明 证 ③ 明过程或演算步骤) 16 (本题满分 12 分) 函数 的一段图象过点 ,如图所示 ⑴ 求函数 的解析式; ⑵ 将函数 的图象按向量 平移,得到函数 ,求 的单调递增区间

并求此时自变量 的集合 解:⑴ 由图知: ,于是 将函数 的图象向左平移 ,得 的图象,则 将 代入 得 故, ………………………………………………………………6 分 ⑵ 依题意: 故, 解法一:画图得函数的单调递增区间为 ……………12 分 解法二:解不等式得单调递增区间为 17. (本小题满分 12 分)已知向量 ,且与向量 所成角为 ,其中 、 、 是△ABC 的内角. (1)求角 的大小; (2)求 的取值范围. 17.解:(1)∵ ,且与向量 所成角为 , ∴ ,∴ .又∵ ∴ ,∴ .…………………………………………………6 分 (2) 由(1)可得 , ∴ ∵∴, ∴ …………………………………………………12 分 18. (本小题满分 12 分)设 是数列 ( )的前 项和, ,且 , , . (I)证明:数列 ( )是常数数列; (II)求数列 的通项公式. 18.解: (I)当 时,由已知得 . 因为 ,所以 . …………………………① 于是 . …………………………………………………② 由② -① 得: .……………………………………………③ 于是 .……………………………………………………④ 由④ -③ 得: .…………………………………………………⑤

即数列 ( )是常数数列.…………………………………………………6 分 (II)由① ,所以 . 有 所以 , .……………………10 分 .…………………………………12 分 19. (本小题满分 13 分)设 a>0,函数 (1)讨论 f(x)的单调性 (2)求 f(x)在区间[a,2a]上的最

小值. 19. (本小题满分 13 分) (1)解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞)………………………………1 分 对 求导数,得 (a>0)………………3 分 解不等式 >0,得 0<x<e………………………………4 分 解 不等式 <0,得 x>e……………………………………………5 分 故 f(x)在(0,e)上单调递增,在(e, +∞)上单调递减 ………………………6 分 (2)解: ① 2a≤e 时,即 时,由(1)知 f(x)在(0,e)上 当 单调递增, 所以……………………………………………………………7 分 ② a≥e 时,由(1)知 f(x) 当 (e, +∞)上单调递减, 所以 ………… ……………………………………………8 分 ③ 的大小 因 当 为 ……………10 分 所以,若 若 综上,当 ……………13 分 20. (本小题满分 13 分)我校现有教职员工 500 人,为了开展迎 2008 奥运全民健身活动,增强教职员工体质,学校工会鼓励大家积极参加晨练与晚练, 每天清晨与晚上定时开放运动场、健身房和乒乓球室,约有 30%的教职员工坚持每天锻炼. 据调查统计, 每次去户外锻炼的人有 10%下次去室内锻炼,而在室内锻炼的人有 20%下次去户外锻炼. 请问,随着时间 的推移,去户外锻炼的人数能否趋于稳定?稳定在多少人左右? .20.解:设第 n 次去户外锻炼的人数为 ,去室内锻炼的人为 ,…………1 分 则有: …………5 分 …………7 分 …………9 分 …………13 分

…………11 分 ∴ 随着时间的推移,去户外锻炼的人数将稳定在 100 人左右

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 是在(0,+∞)上每一点处可导的函数,若 在 x>0 上恒成立. (1)求证:函数 (0,+∞)上是增函数; (2)当 时,证明: ; (3)已知不等式 在 且 时恒成立,求证: …+ N+). 21.(1)证明:由 g(x)= ′(x)= 由 xf′(x)>f(x)可知:g′(x) >0 在 x>0 上恒成立. 从而 g(x)= ………………………………3 分 (2)由(1)知 g(x)= 在 x1>0,x2>0 时,

于是 f(x1)< 两式相加得到:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2) ………………………………………………7 分 (3)由(2)中可知: g(x)= 由数学归纳法可知:xi>0(i=1,2,3,…,n)时, 有 f(x1)+f(x2)+f(x3)+… +f(xn)<f(x1+x2+x3+…+xn) (n≥2)恒成立. ……………9 分 设 f(x)=xlnx,则在 xi>0(i=1,2,3,…,n)时 有 x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn<(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)(n≥2)……(*)恒成立. 令 …+ = …+ 由 < …+ > …+ ………………………………10 分 (x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1- …+xn) (∵ ln(1+x)<x) <(**)……………………………………12 分

由(**)代入(*)中,可知: …+ 于是: …+ …………………13 分


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