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三角函数解题规律及总结

三角函数的解题技巧
3、关于“托底”方法的应用: 在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用 在需把含 tg ? (或 ctg ? )与含 sin ? (或 cos ? )的式子的互化中,本文把 这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下: 例 5、已知:tg ? =3,求 分析:由于 tg? ?
sin ? ? 3 cos ? 的值。 2 sin ? ? cos ?

sin ? ,带有分母 cos ? ,因此,可把原式分子、分母 cos ?

各项除以 cos ? , “造出”tg ? ,即托出底:cos ? ; 解:由于 tg ? =3 ? ? ? k? ?

?
2

? cos ? ? 0

sin ? cos? ? 3? cos? ? tg? ? 3 ? 3 ? 3 ? 0 故,原式= cos? sin ? cos? 2tg? ? 1 2 ? 3 ? 1 2? ? cos? cos?
例 6、已知:ctg ? = -3,求 sin ? cos ? -cos2 ? =? 分析:由于 ctg ? ?
cos ? cos ? ,故必将式子化成含有 的形式 sin ? sin ?

解: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ? sin ? cos? ? cos2 ? ?

sin ? cos? ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ?

分子,分母同除以 sin 2 ?

cos? cos? 2 ?( ) 2 sin ? sin ? ? ctg? ? ctg ? cos? 2 1 ? ctg 2? 1? ( ) sin ?

?

? 3 ? (?3) 2 6 ?? 2 5 1 ? (?3)

例 7、设 0 ? x ? 求: (ctgx ?

?
2

,0 ? y ?

?
2

, 且 sin x sin y ? sin(

?
3

? x) sin(

?
6

? y)

3 )(ctgy ? 3 ) 的值 3

分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要 用“托底法” ,由于 0 ? x ?

?
2

,0 ? y ?

?
2

,故 sin x ? 0, sin y ? 0 ,在等式两边

同除以 sin x sin y ,托出分母 sin x sin y 为底,得: 解:由已知等式两边同除以 sin x sin y 得:

sin( ? x) sin( ? y ) sin cos? cos sin x sin cos y ? cos sin y 3 6 3 3 6 6 ?1? ? ?1 sin x sin y sin x sin y

?

?

?

?

?

?

1 3 cos x ? sin x cos y ? 3 sin y ? ? ?1 4 sin x sin y 1 ? ( 3ctgx ? 1)(ctgy ? 3 ) ? 1 4 3 3 ? (ctgx ? )(ctgy ? 3 ) ? 1 4 3 3 4 ? (ctgx ? )(ctgy ? 3 ) ? 3 3 3 ?
“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子 的互化的计算。由于 tg? ?
sin ? cos ? , ctg ? ? ,即正切、余切与正弦、余 cos ? sin ?

弦间是比值关系,故它们间的互化需“托底” ,通过保持式子数值不变的情 况下添加分母的方法, 使它们之间可以互相转化, 达到根据已知求值的目的。 而 添 加 分 母 的 方 法 主 要 有 两 种 : 一 种 利 用 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 把
2 s i n ? ? c o 2 ? 作为分母,并不改变原式的值,另一种是通过等式两边同时 s

除以正弦或余弦又或者它们的积,产生分母。 4、关于形如: a cos x ? b sin x 的式子,在解决三角函数的极值问题时的 应用:
A s s x ( 可 以 从 公 式 s i n c o x ? c o A s i n ? s i nA ? x) 中 得 到 启 示 : 式 子
a c o s ? b s i n 与上述公式有点相似,如果把 a,b 部分变成含 sinA,cosA x x

的式子,则形如 a cos x ? b sin x 的式子都可以变成含 sin( A ? x) 的式子,由于 -1≤ sin( A ? x) ≤1, 所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:不能直接把 a 当 成 sinA,b 当成 cosA,如式子: 3 cos x ? 4 sin x 中,不能设 sinA=3,cosA=4,

考虑:-1≤sinA≤1,-1≤cosA≤1,可以如下处理式子:
? ? a b a cos x ? b sin x ? a 2 ? b 2 ? cos x ? sin x ? ? 2 ? 2 a2 ? b2 ? a ?b ?

由于 (

a a ?b
2 2

)2 ? (

b a ?b
2 2

) 2 ? 1。 b a2 ? b2

故可设: A ? sin

a a2 ? b2

, c A ? ? 1 ?n 则o s i s

即: A , cos A ? ?

∴ a cos x ? b sin x ? a 2 ? b 2 (sin A cos x ? cos A sin x) ? a 2 ? b 2 sin( A ? x) 无论 A ? x 取何值,-1≤sin(A±x)≤1,

? a 2 ? b 2 ≤ a 2 ? b 2 sin(A ? x) ≤ a 2 ? b 2
即: ? a 2 ? b 2 ≤ a cos x ? b sin x ≤ a 2 ? b 2 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用: 例 1(98 年全国成人高考数学考试卷) 求:函数 y ? 3 cos2 x ? sin x cos x 的最大值为( A ) A. 1 ?
3 2

B. 3 ? 1

C. 1 ?

3 2

D. 3 ? 1

1 1 ? 2 sin x cos x ? sin 2 x , 再想办法把 cos2 x 变成含 cso2 x 2 2 cos 2 x ? 1 的式子: cos 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 1 ? sin 2 x 于是: y ? 3 ? 2 2 sin 分析: x cos ?

?

3 3 1 cos 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2 3 1 3 cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 2

?(

由于这里: a ?

3 1 3 1 , b ? ,则 a2 ? b2 ? ( )2 ? ( )2 ? 1 2 2 2 2

∴ y ? 1? (

3 1 3 cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 2

设: sin A ?

3 a 3 1 ? 2 ? , 则 cos A ? 1 2 2 a2 ? b2
3 2

∴ y ? sin A cos 2 x ? cos A sin 2 x ?
3 2

? sin( A ? 2 x) ?

无论 A-2x 取何值,都有-1≤sin(A-2x)≤1,故 ? 1 ?
3 ,即答案选 A。 2

3 3 ≤ y ≤1 ? 2 2

∴ y 的最大值为 1 ?

三、三角函数知识点解题方法总结 1、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间(-90?,90?)的公式. sin(kπ +α )=(-1)ksinα (k∈Z); cos(kπ +α )=(-1)kcosα (k∈Z); tan(kπ +α )=(-1)ktanα (k∈Z); cot(kπ +α )=(-1)kcotα (k∈Z). 2、见“知 1 求 5”问题,造 Rt△,用勾股定理,熟记常用勾股数(3, 4,5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。 3、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。 4、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知 tanα ,求 sinα 与 cosα 的齐 次式,有些整式情形还可以视其分母为 1,转化为 sin2α +cos2α . 5、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式: sin(α +β )sin(α -β )= sin2α -sin2β ; cos(α +β )cos(α -β )= cos2α -sin2β . 6、见“sinα ±cosα 与 sinα cosα ”问题,起用平方法则: (sinα ±cosα )2=1±2sinα cosα =1±sin2α ,故 若 sinα +cosα =t,(且 t2≤2),则 2sinα cosα =t2-1=sin2α ; 若 sinα -cosα =t,(且 t2≤2),则 2sinα cosα =1-t2=sin2α .

7、见“tanα +tanβ 与 tanα tanβ ”问题,启用变形公式: tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ).思考:tanα -tanβ =??? 8、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0) 函数 y=Asin(wx+φ )和函数 y=Acos(wx+φ )的图象,关于过最值点且平 行于 y 轴的直线分别成轴对称; 函数 y=Asin(wx+φ )和函数 y=Acos(wx+φ )的图象,关于其中间零点分 别成中心对称; 同样,利用图象也可以得到函数 y=Atan(wx+φ )和函数 y=Acot(wx+φ ) 的对称性质。 9、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式: |sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ )≤(a2+b2); asinx+bcosx=c 有解的充要条件是 a2+b2≥c2. 10、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化. 1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1. 2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等


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