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辽宁省五校协作体2014-2015学年度高三上学期期末考试 数学(理)


辽宁省五校协作体 2014-2015 学年度高三上学期期末考试 数学(理)
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 设集合 M ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,集合 N ? {x | ( ) ? 4} ,则 M
x

1 2

N? (



(A) {x | x ? ?2}
2

(B) {x | x ? ?1}

(C) {x | x ? ?1}

(D) {x | x ? ?2} ( )

z -2z 2. 已知复数 z=1+i,则 = z-1 (A) -2i (B) 2i (C) -2 (D) 2 3. 如图,若 f ( x) ? log x 3 , g ( x) ? log2 x ,输入 x=0.25,则输出 h(x)=

(

)

(A)0.25 (B)2log32 1 (C)- log23 2 (D)-2

4. 下列选项中,说法正确的是 (A)命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”
2





(B)命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的充分不必要条件 (C)命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”是假命题
2 2

(D)命题“在△ABC 中,若 sin A ?

1 ? ,则 A ? ”的逆否命题为真命题 2 6

5. 一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车,当他离汽车 25 米时交通灯由红 变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同) ,汽车在时间 t 内的路程为 s 1 = t2 米,那么,此人 2 (A)可在 7 秒内追上汽车 (B)可在 9 秒内追上汽车 ( )

(C)不能追上汽车,但其间最近距离为 14 米 (D)不能追上汽车,但其间最近距离为 7 米

6. 在△ABC 中, BC ? BA ? AC ? AC ,则三角形 ABC 的形状一定是 (A)等边三角形 (C)直角三角形 7. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(其中 | ? |? 只需把 y ? f ( x) 的图象上所有点 (A) 向右平移 (C) 向左平移 (B)等腰三角形 (D)等腰直角三角形

?

?

2

(

)

?
2

) 的图象如图所示, 为了得到 y ? sin ?x 的图象, ( )

? ? 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 12 6 ? ?
6
个单位长度 (D)向左平移

12

个单位长度

7题

1 2 2 8. 抛物线 x = y 在第一象限内图象上一点(ai,2ai)处的切线与 x 轴交点的横坐标记 2 为 ai+1,其中 i ? N ,若 a2=32,则 a2+a4+a6 等于 (A)64 (B)42
2 2
?

( (D)21

)

(C)32

x y 9. 已知 F1、 F2 是双曲线 2 - 2=1(a>b>0)的左右两个焦点, 以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线 a b 的一条渐近线交于点 M,与双曲线交于点 N(设点 M,N 均在第一象限) ,当直线 MF1 与直线 ON 平行时,双曲线的离心率取值为 e0,则 e0 所在的区间为 (A) 1, 2

?

?

(B)

?

2, 3
k

?

(C)

?

3, 2

?

( (D) ? 2,3?



1 ? x? 2 10. 设 k 是一个正整数, ?1 ? ? 的展开式中第四项的系数为 ,记函数 y=x 与 y=kx 的 16 k ? ?
图像所围成的阴影部分为 S,任取 x ? [0,4],y ? [0,16],则点(x,y)恰好落在阴影区域内的 概 率 (B) (D) 为 ( )

17 96 1 (C) 6
(A)

5 32

7 48

11. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,BB1= 2 。设点 A 关于直线 BD1 的对称点为 P,则 P 与 C1 两点之间的距离为 (A) 1 (B) ( )

2

(C)

3 3

(D)

3 2

12. 已 知 函 数 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 单 调 增 函 数 , 且 满 足 对 任 意 的 实 数 x 都 有
x f? ? f ? x? ? 3 ? ? ? 4 ,则 f(x)+f(-x) 的最小值等于

( (D)12



(A) 2

(B)4

(C)8

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上. 13. 在一次游戏中,三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者。三个人互相传递,每人 每次只能传一下,由甲开始传,经过五次传递后,花又被传回给甲,则不同的传递方式有 ______种(用数字作答).

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 14. 设实数 x,y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 x ? 0 ? ? ?y ? 0
10,则 a ? b 的最小值为
2 2



3

4

15. 把矩形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成三棱锥 C-ABD 的 正视图和俯视图如右图所示,则侧视图的面积 为 。 4

正视图

3

? 1 ,x ?1 ? 16.定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? x ? 1 ,若关于 x 的 ?1, x ? 1 ?
方程 h(x)=[f(x)] +bf(x)+
2

俯视图

1 2 5 b- , 有五个不同的零点 x1,x2,x3,x4,x5。 设 x1<x2<x3<x4<x5, 2 8


且 x1,x2,x3,x4,x5 构成一个等差数列的前五项,则该数列的前 10 项和为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ? 2 cos x ? sin? 2 x ?
2

? ?

7? ? ?. 6 ?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值,并写出 f ( x) 取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若 f ( A) ? 值范围。

3 , b+c=2。求实数 a 的取 2

18. (本小题满分 12 分) 在某次考试中,从甲乙两个班各抽取 10 名学生的数学成绩进行统计分析,两个班成绩 的茎叶图如图所示,成绩不小于 90 分的为及格。 (1) 用样本估计总体,请根据茎叶图对甲乙两个班 级的成绩进行比较。 甲 乙 (2) 求从甲班 10 名学生和乙班 10 名学生中各抽取 2 5 7 7 8 9 一人,已知有人及格的条件下乙班同学不及格 4 7 8 8 6 7 8 的概率; 5 8 9 1 2 3 5 (3) 从甲班 10 人中抽取一人,乙班 10 人中抽取二 6 8 10 1 人,三人中及格人数记为 X,求 X 的分布列和 期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中, DD1 ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是平行四边形, AB=AD=2A1B1, ?BAD ? 60 (1)证明:BB1 ? AC; (2)若 AB=2,且二面角 A1-AB-C 大小为 60 ,连接 AC,BD,设交点为 O,连接 B1O。求三棱锥 B1-ABO 外接 球的体积。 (球体体积公式: V ? A1 D1 B1 D F A C1

4 ? R 3 ,R 是球半径) 3

O B

C

20. (本小题满分 12 分) 设抛物线 C1:y =4x 的准线与 x 轴交于点 F1,焦点为 F2;以 F1,F2 为焦点,离心率为 的椭圆记作 C2 (1) 求椭圆的标准方程; (2) 直线 L 经过椭圆 C2 的右焦点 F2,与抛物线 C1 交于 A1,A2 两点,与椭圆 C2 交于 B1,B2 两点。 当以 B1B2 为直径的圆经过 F1 时,求|A1A2|长。 (3) 若 M 是椭圆上的动点,以 M 为圆心,MF2 为半径 作圆 M , 是否存在定圆 N , 使得 M 与 N 恒相切?若存在,求出 N 的方程,若不 存在,请说明理由。 21. (本小题满分 12 分)
2

1 2

y

A2 B2

F1 O B1

F2 A1

x

已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2x ? ax, x ? (0, ??) (a 是实数), g ( x) ? 2 +1。 x x ?1

(1) 若函数 f(x)在[1,+ ? )上是单调函数,求 a 的取值范围; (2) 是否存在正实数 a 满足:对于任意 x1 ? ?1, 2? ,总存在 x2 ??1,2? ,使得 f(x1)=g(x2) 成立,若存在求出 a 的范围,若不存在,说明理由。 (3) 若 数
2



?xn ?
2





1 x1 ? , xn ?1 ? g ( xn ) ? 1 2
2









? x1 ? x2 ?
x1 x2

?x ? x ? ? 2 3
x2 x3

?

?x ? x ? ? n n ?1
xn xn ?1

?

5 。 16

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 已知 AB 是⊙ O 的直径,AC 是⊙ O 的弦,?BAC 的 平分线 AD 交⊙ O 于 D ,过点 D 作 DE ? AC 交 AC 的延长 线于点 E , OE 交 AD 于点 F .若 C F A O B E D

AC 3 AF ? ,求 的值。 AB 5 FD

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中, 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系 取相同的单位长度. 已知曲线 C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) , 过点 P(?2, ?4) 的直线 l 的 参数方程为 ?

? ? x ? ?2 ? 2t , ? ? y ? ?4 ? 2t.

(t 为参数) 。 直 线 l 与 曲 线 C 分 别 交 于 M 、N . 若

| PM | 、 | MN | 、 | PN | 成等比数列,求实数 a 的值。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log 2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? m) . (1)当 m ? 7 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

2014—2015 学年度上学期期末考试高三年级 数学科(理科)参考答案
一.选择题 题 号 答 案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 D 6 C 7 A 8 B 9 A 10 C 11 A 12 B

二.填空题 13. 10 14.

25 13

15.

72 25

16.

35

三.解答题 17、本小题满分 12 分 解(Ⅰ) f ( x) ? 2 cos x ? sin(2 x ?
2

7? 7? 7? ) ? (1 ? cos 2 x) ? (sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) 6 6 6

? 1+

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1+sin(2 x ? ) . 2 2 6

∴函数 f ( x) 的最大值为 2 . 当且仅当 sin(2 x ? 到。 所以函数最大值为 2 时 x 的取值集合为 ? x x ? k? ? (Ⅱ)由题意, f ( A) ? sin(2 A ?

?
6

) ? 1, 即 2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,即 x ? k? ?

?
6

, k ? Z 时取

? ?

?

? ,k ?Z? . 6 ?

??(6 分)

3 ? 1 ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 6 2 ? ? ? 13? ? 5? ) , ∴ 2A ? ? ? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ? ? ( , , ∴A? . 3 6 6 6 6 6 ) ?1 ?
在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2

?

?

3

? (b ? c) 2 ? 3bc .

由 b ? c ? 2 ,知 bc ? (

b?c 2 ) ? 1 ,即 a 2 ? 1 .∴当 b ? c ? 1 时,取等号。 2

又由 b+c>a 得 a<2.所以 a 的取值范围是[1,2 ) 。??????(12 分) 18、本小题满分 12 分 解: (1)从茎叶图可以得到:甲班的平均分为 89 分;乙班平均分为 89 分。 甲班的方差>乙班的方差 所以甲乙两班平均分相同,但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。??(4 分) (本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分) (2)事件“从甲班 10 名学生和乙班 10 名学生中各抽取一人,已知有人及格”记 A; 事件“从甲班 10 名学生和乙班 10 名学生中各抽取一人,乙班同学不及格”记 B 则 P ? B / A? ?

P ? A? B? 2 ? P ? A? 7

????????(8 分)

(3)X 的取值为 0,1,2,3, 分布列为 X P 期望 E ? X ? ? 0 1 2 3

2 15 7 5

19 45

16 45

4 45

????????(12 分)

19、本小题满分 12 分 证明: (1)底面平行四边形 ABCD 中,连接 AC,BD,设 AC 因为 AB=AD, ?BAD ? 60 ,所以 AC ? BD

BD ? O

又 DD1 ? 平面 ABCD,所以 DD1 ? AC,所以 AC ? 平面 BDD1, 又因为四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 DD1 与 BB1 延长后交于一点, 所以 BB1 ? 平面 BDD1,所以 AC ? BB1。即 BB1 ? AC (2)因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以 OD ? 。????(4 分)

1 BD. 2

由棱台定义及 AB=AD=2A1B1 知 D1B1//DO,且 D1B1=DO, 所以边四形 D1B1OD 为平行四边形, 所以 DD1//B1O 。 因为 DD1 ? 平面 ABCD,所以 B1O ? 平面 ABCD,即 B1O ? AO, B1O ? BO 由(1)知 AC ? BD 于点 O,即 AO ? BO 以 DB,AC,OB1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系如图:则 A(0,- 3 ,0),B(1,0,0) ,D(-1,0,0),设 B1(0,0,h) ,则 D1(-1,0,h) ; 设 A1(a,b,h) (h>0) D1 A1 z B1 D F A C1

则 DA =(1, - 3 ,0), (a+1,b,0) , 因 D1 A1 =

O B x

Cy

为 D1 A1 =

1 DA , 2
1 1 3 3 ,b= ? . 即 A1(- , ? ,h) 。 2 2 2 2

所以 a=-

所以 AA1 ? (? ,

1 3 , h) , AB ? (1, 3,0) 2 2

设平面 A1AB 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

? 1 3 ? y ? hz ? 0 ?? x ? ? AA1 ? n ? 0 则? ,即 ? 2 2 ? ?x ? 3y ? 0 ? AB ? n ? 0 ?
取 y= 3 ,则 x=-3,z= ?

3 h

即 n ? (?3, 3, ? ) ,又已知平面 ABC 的一个法向量 m ? (0,0,1)

3 h

由二面角 A1-AB-C 大小为 60 ,可得 cos ? n, m ? ?

3 h 9?3? 9 h2

?

1 2

解得:h=

3 3 即棱台的高为 2 2 因为 B1O ? AO, B1O ? BO,AO ? BO

所以三棱锥 B1-ABO 外接球的直径就是以 OA,OB,OB1 为三条棱的长方体的体对角线, 长为

? 3?

2

5 5 ?3? ? 1 ? ? ? ? ,所以外接球半径 R= 4 2 ?2?
2

2

所以外接球体积为 V ?

4 3 4 ? 5 ? 125 ?R ? ? ? ? ? ? .???(12 分) 3 3 ?4? 48

3

20、本小题满分 12 分 解: (1)椭圆方程

x2 y 2 ? ?1 4 3

????????(2 分)

(2)当直线 L 与 x 轴垂直时,B1(1,

3 3 ),B2(1,- ),又 F1(-1,0), 2 2

此时 B1F 1 ? B2 F 1 ? 0 ,所以以 B1B2 为直径的圆不经过 F1。不满足条件。 当直线 L 不与 x 轴垂直时,设 L:y=k(x-1)

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 即? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ?1 ? ? ?4 3
因为焦点在椭圆内部,所以恒有两个交点。 设 B1(x1,y1),B2(x2,y2),则

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为以 B1B2 为直径的圆经过 F1,所以 B1F 1 ? B2 F 1 ? 0 ,又 F1(-1,0) 所以(-1-x1)(-1-x2)+y1y2=0,即(1+k )x1x2+(1-k )(x1+x2)+1+k =0 所以解得 k ?
2
2 2 2

9 7
得 k x -(2k +4)x+k =0
2 2 2 2

由?

? y2 ? 4x ? y ? k ( x ? 1)

因为直线 L 与抛物线有两个交点,所以 k ? 0 设 A1(x3,y3) ,A2(x4,y4),则 所以 A1 A2 ? x3 ? x4 ? p ? 2 ?
2 2

x3 ? x4 ?

2k 2 ? 4 4 ? 2 ? 2 , x3 x4 ? 1 2 k k
????(8 分)

4 64 ?2? 2 k 9 (3)存在定圆 N ,使得 M 与 N 恒相切,
其方程为:(x+1) +y =16,圆心是左焦点 F1.

由椭圆的定义可知: MF 1 ? MF 2 ? 2a ? 4,? MF 1 ? 4 ? MF 2 所以两圆相内切。 ????????(12 分)

21、本小题满分 12 分 解: (1) f ?( x) ?

1 1 ax 2 ? x ? 1 ? 2 ?a ? x x x2

,x ? [1,+ ? )

显然 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0,函数 f(x)在[1,+ ? )上是单调增函数,符合要求。 当 a<0 时,令 g(x)=ax +x-1, 当 x ?+ ? 时 g(x) x ?- ? 时, 所以函数 f(x)在[1,+ ? )上只能是单调减函数。
2

? ?? ? 0 ? 1 所以 ? ? 1 ? 4a ? 0 或 ? g (1) ? 0 , 解得 a ? ? 4 ? 1 ?? ?1 ? 2a
综上:满足条件的 a 的取值范围是 ? ??, ? ? 4

? ?

1? ?

?0, ?? ? 。????(3 分)

(2)不存在满足条件的正实数 a。因为 由 (1)知,a>0 时 f(x)在[1,+ ? )上是单调增函数, 所以 f(x)在[1,2]上是单调增函数。 所以对于任意 x1 ? ?1, 2? ,f(1) ? f(x1 ) ? f(2), 即 f(x1) ? ?1 ? a, ln 2 ?

? ?

1 ? ? 2a ? ; 2 ?

g ?( x) ?

2 ?1 ? x 2 ?

?1 ? x2 ?

2

,当 x ??1, 2? 时, g ?( x) ? 0 ,

所以 g(x)在[1,2]上是单调减函数。 所以当 x2 ??1,2? 时, g ( x2 ) ? ? , 2 ? 5 若对于任意 x1 ? ?1, 2? ,总存在 x2 ??1,2? ,使得 f(x1)=g(x2)成立, 则 ?1 ? a, ln 2 ?

?9 ?

? ?

? ?

1 ? ?9 ? ? 2a ? ? ? , 2 ? ,此时 a 无解。????(7 分) 2 ? ?5 ? 2 xn ? ,所以 x1>0 时,0<xn+1 ? 1, ? n ? N ? xn 2 ? 1

(3)因为 xn ?1 ? g ( xn ) ? 1 ?

(当且仅当 xn=1 时取等号) 若 xn=1 , 则 x1=1 , 这 与 已 知 矛 盾 , 所 以 0 ? xn ? 1 。

xn?1 ? xn ? xn ?1 ? xn ?

1 ? xn 1 1 1 1 2 ?1 ? ? ? ? ? 2 xn ? 1 4 x ? 1 ? 2 ? 2 4 2 2 ? 2 8 n xn ? 1

(两个等号不能同时成立) 所以

? xn ? xn?1 ?
xn xn ?1

2

?

xn ?1 ? xn 2 ?1 ? 1 1 ? ( xn ?1 ? xn ) ? ? ? ? xn xn ?1 8 ? xn xn ?1 ?

? x1 ? x2 ?
x1 x2 ? ?

2

?x ? x ? ? 2 3
x2 x3

2

?

?x ? x ? ? n n ?1
xn xn ?1

2

2 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 8 ?? x1 x2 ? ? x2 x3 ? 2 ?1? 1 1 ? ? ? ? 8 ? x1 xn ?1 ?
1 ? xn ?0 xn 2 ? 1

?1 1 ?? ?? ? ?? ? xn xn ?1 ? ?

又 xn ?1 ? xn ? xn ?1 ? xn ? 又 x1 ?

所以 xn+1>xn ,所以

1 ? xn ? 1 2

1 2
2

所以

? x1 ? x2 ?
x1 x2

?x ? x ? ? 2 3
x2 x3

2

?

?x ? x ? ? n n ?1
xn xn ?1

2

3 ?1 2 ?1 5 ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 8 8 16

????????(12 分) 另解:因为 xn ?1 ? g ( xn ) ? 1 ?

2 xn ? ,所以 x1>0 时,0<xn+1 ? 1, ? n ? N ? xn 2 ? 1

(当且仅当 xn=1 时取等号) 若 xn=1,则 x1=1,这与已知矛盾,所以 0 ? xn ? 1 。 又 xn ?1 ? xn ? xn ?1 ? xn ?

1 ? xn ?0 xn 2 ? 1

所以 xn+1>xn ,所以

1 ? xn ? 1 2

xn ?1 ? xn ?
设 h(t ) ?

2 xn ? xn x2 ? 1


设 xn=t,则 t ? ? ,1?

?1 ? ?2 ?

2t ?t t ?1
2

则 h?(t ) ?

?t

2(1 ? t 2 )
2

? 1?

2

?1 ?

?t 4 ? 4t 2 ? 1

?t

2

? 1?

2

?

? ?t 2 ? 2? ? 5
2

?t

2

? 1?

2

?0

所以函数 h(t)在 t ? ? ,1? 时是单调减函数,所以 h(t ) ? h( ) ? 即 xn ?1 ? xn ? 所以

?1 ? ?2 ?

1 2

3 10

2 xn 3 ? xn ? 2 x ?1 10
2

? xn ? xn?1 ?
xn xn ?1

?

xn ?1 ? xn 3?1 1 ? ( xn ?1 ? xn ) ? ? ? ? xn xn ?1 10 ? xn xn ?1 ?

? x1 ? x2 ?
x1 x2 ? ?

2

?x ? x ? ? 2 3
x2 x3

2

?

?x ? x ? ? n n ?1
xn xn ?1

2

3 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 10 ?? x1 x2 ? ? x2 x3 ? 3?1 1 ? ? ? ? 10 ? x1 xn ?1 ?
x1 ? 1 , xn ?1 ? xn 2
2

?1 1 ?? ?? ? ?? ? xn xn ?1 ? ?

因为

所以
2

1 ? xn ?1 ? 1, 2

所以

? x1 ? x2 ?
x1 x2

?

? x2 ? x3 ?
x2 x3

?

?

? xn ? xn?1 ?
xn xn ?1

2

?

3 3 5 ? 2 ? 1? ? ? 10 10 16

22、本小题满分 10 分 解: 连接 OD,BC,设 BC 交 OD 于点 M. 因为 OA=OD,所以 ? OAD= ? ODA;又因为 ? OAD= ? DAE,所以 ? ODA= ? DAE 所以 OD//AE;又 因为 AC ? BC,且 DE ? AC,所以 BC//DE。 所以四边形 CMDE 为平行四边形,所以 CE=MD 由

AC 3 3 5 5 3 ? ,设 AC=3x,AB=5x,则 OM= x ,又 OD= x ,所以 MD= x - x =x AB 5 2 2 2 2
AF AE 4 x 8 = ? ? 。 FD OD 5 x 5 2

所以 AE=AC+CE=4x 因为 OD//AE,所以

23、本小题满分 10 分 2 解:曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax (a>0)

? ? x ? ?2 ? ? 将直线 l 的参数方程化为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
代入曲线 C 的直角坐标方程得:

2 t ?, 2 (t ?为参数) 2 t ?. 2

1 2 t ? ? 4 2 ? 2a t ? ? 16 ? 4a ? 0 2
的 参 数 分 别 为

?

?

因为交于两点,所以 ? 0 ,即 a>0 或 a<-4. 设 交 点 M,N 对 应

t1? , t 2?

.



t1? ? t2? ? 2 4 2 ? 2a , t1?t2? ? 2 ?16 ? 4a ?
| MN | 、 | PN | 成等比数列,则 t1? ? t2? 若 | PM | 、
解得 a=1 或 a=-4(舍) 所以满足条件的 a=1.
2

?

?

? t1?t2?

???????? (10 分)

24、本小题满分 10 分 解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 解得函数 f ( x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ;????(5 分)
(2)不等式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,

? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1]

????(10 分)


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