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《课时讲练通》2018-2019学年高中数学(人教A版)必修三课时提升作业:(十三) 2.2.2 用样本的数字特征估

课时提升作业(十三)
用样本的数字特征估计总体 的数字特征

(25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.(2015·豫西五校联考)某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)

分别为 8,12,10,11,9,估计此人每次上班途中平均花费的时间

为( )

A.8 分钟

B.9 分钟

C.11 分钟

D.10 分钟

【解析】选 D.依题意,估计此人每次上班途中平均花费的时间为

=10(分钟). 2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图 (如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是 ( )

A.46,45,56

B.46,45,53

C.47,45,56

D.45,47,53

【解析】选 A.从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数

的平均数,即

=46,众数为 45,极差为 68-12=56.

3.(2015·安徽高考)若样本数据 x1,x2,…,x10 的标准差为 8,则数

据 2x1-1,2x2-1,…,2x10-1 的标准差为 ( )

A.8

B.15

C.16

D.32

【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差.

【解析】选 C.样本数据 x1,x2,…,x10 的标准差 =8,则 DX=64, 而样本数据 2x1-1,2x2-1,…,2x10-1 的方差 D(2X-1)=22DX=22×64,

所以其标准差为

=16.

4.期中考试以后,班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M, 如果把 M 当成一个同学的分数,与原来的 40 个分数一起,算出这 41

个分数的平均值为 N,那么 M∶N 为 ( )

A.

B.1

C.

D.2

【解析】选 B.N=

=M,所以 M∶N=1.

【补偿训练】(2015·乐清高一检测)某台机床加工的 1 000 只产品中

次品数的频率分布如下表:

次品数

0

1

2

3

4

频率

0.5 0.2 0.05 0.2 0.05

则次品数的众数、平均数依次为 ( )

A.0,1.1

B.0,1

C.4,1

D.0.5,2

【解析】选 A.数据 xi 出现的频率为 pi(i=1,2,…,n),则 x1,x2,…, xn 的平均数为 x1p1+x2p2+…+xnpn.

5.某中学高三从甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们 取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x+y 的值为 ( )

A.7

B.8

C.9

D.10

【解析】选 B.由甲班学生成绩的众数是 85 知 x=5,由乙班学生成绩

中位数是 83,得 y=3.所以 x+y=8.

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

6.(2015·江苏高考)已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数

据的平均数为

.

【解题指南】利用平均数的概念计算即可.

【解析】 =

,所以这组数据的平均数为

=6.

答案:6 【补偿训练】有一笔统计资料,共有 11 个数据如下(不完全以大小排 列):2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x,已知这组数据的平均数 为 6,则这组数据的方差为 ( )

A.6

B.

C.66

D.6.5

【解析】选 A.因为
= (2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+x)= (61+x)=6, 所以 x=5. 方差数为:s2=

= =6.

7.某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下:7,8,7,9,

5,4,9,10,7,4.

则:(1)平均命中环数为

.

(2)命中环数的标准差为

.

【解析】(1) = (7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7.
(2)s2= [(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(107)2+(7-7)2+(4-7)2]
= (0+1+0+4+4+9+4+9+0+9)=4, 所以 s=2. 答案:(1)7 (2)2 【补偿训练】抛硬币 20 次,正面 12 次,反面 8 次.如果抛到正面得

3 分,抛到反面得 1 分,则平均得分是



.

,得分的方差

【解析】总得分为 12×3+8×1=44,则平均分是 =2.2,

方差 s2= [(3-2.2)2×12+(1-2.2)2×8]=0.96.

答案:2.2 0.96 8.甲、乙两人在相同的条件下练习射击,每人打 5 发子弹,命中的环

数如下:

甲:6,8,9,9,8;

乙:10,7,7,7,9.

则两人的射击成绩较稳定的是

.

【解析】 = =8, =1.2, =1.6,因为 < ,所以甲稳

定. 答案:甲 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

9.已知一组数据: 125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122

124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表.

分组

频数

频率

[121,123) [123,125) [125,127) [127,129) [129,131]
合计 (2)作出频率分布直方图. 【解析】(1)填表如下:
分组 [121,123) [123,125) [125,127) [127,129) [129,131]
合计

频数 2 3 8 4 3 20

频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1

(2)画频率分布直方图如下:

10.(2014·新课标全国卷Ⅱ改编)某市为了考核甲、乙两部门的工作 情况,随机访问了 50 位市民.根据这 50 位市民对这两部门的评分(评 分越高表明市民的评价越高,绘制茎叶图如下:

(1)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数. (2)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 【解题指南】(1)将数字按从小到大排列,得到中位数. (2)数出两部门小于 90 的市民数,求得概率. (3)从中位数、标准差等角度进行评价. 【解析】(1)两组数字是有序排列的,50 个数的中位数为第 25,26 两个数.由给出的数据可知道,市民对甲部门评分的中位数为

=75,对乙部门评分的中位数为

=67,

所以市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为 75,67. (2)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的 评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差 要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较

高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大. (20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.如图茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的 成绩(单位:分).

已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的

值分别为

()

A.2,5

B.5,5

C.5,8

D.8,8

【解析】选 C.因为甲组数据的中位数为 15,所以易知 x=5,又乙组

数据的平均数为 16.8,所以

=16.8,解得 y=8. 2.(2014·陕西高考)设样本数据 x1,x2,…,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1,2,…,10),则 y1,y2,…, y10 的均值和方差分别为 ( ) A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a

【解析】选 A.样本数据 x1,x2,…,x10 的均值 = (x1+x2+…+x10)=1,

方差 s'2= [(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4, 新数据 x1+a,x2+a,…,x10+a 的均值
= (x1+a+x2+a+…+x10+a)= (x1+x2+…+x10)+a=1+a, 新数据 x1+a,x2+a,…,x10+a 的方差
s2= [(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2]

= [(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

3.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数

的茎叶图(其中 m 为数字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和一个最

低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1,a2,则 a1 与 a2 的大

小关系是

.

【解析】去掉一个最高分和一个最低分后,甲选手叶上的数字之和是

20,乙选手叶上的数字之和是 25,故 a2>a1. 答案:a2>a1 4.抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果 如下:

运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次



87

91

90

89

93



89

90

91

88

92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为

.

【解析】设甲、乙两位射击运动员的平均成绩分别为 , ,

方差分别为 , .

=

=90,

= 故=

=90,

=4, =

=2.

因为 > ,所以乙射击运动员成绩较为稳定.

答案:2 【拓展延伸】极差、方差与标准差的区别与联系 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述. (1)极差是数据的最大值与最小值的差,它反映了一组数据变化的最 大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感. (2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小,为了得到以样本 数据的单位表示的波动幅度通常用标准差,即样本方差的算术平方 根,是样本数据到平均数的一种平均距离. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量

指标值,由测量结果得如下频数分布表:

质量指 标
值分组

[75,85) [85,95) [95,105)

[105, 115)

[115, 125)

频数

6

26

38

22

8

(1)作出这些数据的频率分布直方图:

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该 组区间的中点值作代表). (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定? 【解题指南】(1)根据题意直接作图. (2)利用频率分布直方图计算平均数及方差. (3)运用样本估计总体. 【解析】(1)如图所示:
(2)质量指标值的样本平均数为: =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
质量指标值的样本方差为:

s2=(80-100)2×0.06+(90-100)2×0.26+(100-100)2×0.38+

(110-100)2×0.22+(120-100)2×0.08=104.

所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为

104.

(3) 质 量 指 标 值 不 低 于 95 的 产 品 所 占 比 例 的 估 计 值 为

0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生

产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品

80%”的规定. 6.(2015·广东高考)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表.

工人 编号

年龄

工人 编号

年龄

工人 编号

年龄

工人 编号

年龄

1

40 10 36 19 27 28 34

2

44 11 31 20 43 29 39

3

40 12 38 21 41 30 43

4

41 13 39 22 37 31 38

5

33 14 43 23 34 32 42

6

40 15 45 24 42 33 53

7

45 16 39 25 37 34 37

8

42 17 38 26 44 35 49

9

43 18 36 27 42 36 39

(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段

里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据.

(2)计算(1)中样本的平均值和方差. (3)36 名工人中年龄在 -s 与 +s 之间有多少人?所占的百分比是多少 (精确到 0.01%)? 【解析】(1)由题条件知所抽样本编号是一个首项为 2,公差为 4 的 等差数列,故其所有样本编号依次为 2,6,10,14,18,22,26, 30,34,对应样本的年龄数据依次为 44,40,36,43,36,37, 44,43,37. (2)(1)中样本的平均值为

= 方差为:

=40,

s2= [(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2 +(44-40)2+ (43-40)2+(37-40)2] =

=.

(3)由(2)知 s= ,
所以 -s= , +s= , 所以年龄在 -s 与 +s 之间的共有 23 人, 所占的百分比为: ×100%≈63.89%.