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福建省泉州中远学校2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题

泉州中远学校 2014—2015 学年第一学期期中考试 高一数学试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、单项选择题: (本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分)
1 已知集合 A= { x ? N | 1 ? x ? 5} , 集合 B= ?x ? N | 2 ? x ? 6} , 则A? B ? ( A )

{2, 3}

B

{4, 3}

C

{5, 3}

D

{4, 5}
( )

2. 如果 f(x)= x ? 1 ,则 f(7)= A.2 B.4 C.2 2 D.10

3.函数 f ( x) ? 3x ? 6 的零点是 A. 0 B. 3 C. 2 D. -6 4.设集合 A={1,3,a},B={1,2}且 A ? B,则 a 的值为 A.0 5.函数 f ( x) ? B.1 C.2 D.3

(

)





x ?1 的定义域为 x?2
B、(1,+∞) C、[1,2)





A、[1,2)∪(2,+∞)

D、[1,+∞) ( )

6.下列函数中能用二分法求零点的是

A. 7.下列各式错误 的是 .. A.3
0.8

B.
?0.1

C.

D. ( )
1.4

? 30.7

B.0.75

? 0.750.1

C. 3

? ? ? ? 3?
1.6

D. 0.5

0.4

? 0.50.6
( )

8.函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象必经过点 A. ? 0,1?
2

B. ?1,0 ? B.[-3, +∞)

C. ? 2,1? C.( -∞, 3]

D. ? 0, 2 ? ( ) D.[3, +∞) ( )

9. 已知函数 f(x)=-x -6x-3 的单调增区间为 A.(-∞, -3]
x 10.在同一坐标系下函数 y ? ? x ? a 和 y ? a 图像可能是

11. 某商品降价 10%后,欲恢复原价,则应提价 A. 9% B. 10% C. 11%

( D.

)

1 9

12. 若函数 g ( x) ? x 2 ? 2x ? 12m 在区间( ? ?, ? 2 )与( ? 2, 1 )上各有一个实根, 则实数 m 的取值范围是 ( )

1 A.(?? , ) 4

1 B.( ,?? ) 4

1 C.(0, ) 4

1 D.( ,1) 4

二、填空题: (本大题共 4 个小题,每个小题 4 分,共 16 分)
13.设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,则 lg 6 ? 14. 若幂函数 f(x)的图象过点 ( 2 ,
x

。 (用 a 、 b 来表示)

2 ), 则 f (4)= ________ 。

15. 如果指数函数 y ? ? a ? 2 ? 在 x ? R 上是减函数,则 a 的取值范围是_____________。 16.已知函数 f(x)的定义域为 R,对任意实数 x, y 满足 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ?

1 , 2 1 1 1 3 且 f ( ) ? 0 ,当 x ? 时,f(x)>0.给出以下结论:① f (0) ? ? ;② f ( ?1) ? ? ; 2 2 2 2 1 ③f(x)为 R 上减函数;④ f ( x ) ? 为奇函数;⑤f(x)+1 为偶函数。其中正确结论的 2
序号是 。

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 74 分)
17.设全集 U=R,集合 A={ x | ?1 ? x ? 5} ,集合 B= ?x | 2 ? x ? 7} 求(1) A ?

B ;(2) ( CU A ) ? B ;(3) (CU A) ? (C U B) 。
x ?1 1 ? x ? ?1 , x ? ?1

?2 x , ? 18.已知函数 f ( x) ? ?2 , ?? 2 x , ?

(1)在平面直角坐标系中画出 f ( x) 的图象; (2)若 f (a) ? 8 ,求 a 的值。 19.已知函数 f ( x) ? x ?

1 。 x

(1)用函数单调性的定义证明:函数 f ? x ? 在 (0 ,? ?) 上是增函数; (2)求函数 f ? x ? 在 ?3, 6? 上的最小值和最大值。

20.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆月租金3000元时,可全部租出,当每辆车的月租 金增加50元时,末租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,末 租出的车每辆每月需要保管费50元。问: (1 ) 、当每辆车的月租金定为3600元时,能 租出去多少辆车?(2) 、每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最 大的月收益可达多少?

21.已知函数 f ( x) ? log 2 (4 ? 1) ? ax .
x

(1)若函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,求实数 a 的值; (2)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的零点。

22.已知函数 f ( x) ? log 4 (4 ? 1) ?
x

x . 2

(Ⅰ)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? m ? 0 有解,求 m 的取值范围; (Ⅲ)若函数 g ( x) ? log4[1 ? 2x ? 3x ? ?? (n ?1) x ? nx a] , n ? 2, n ? N ,对任意

x ? (? ?,1] 都有意义,求 a 的取值范围。

泉州中远学校 2014—2015 学年第一学期期中考试

高一数学试卷参考答案
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 C 5 A 6 C 7 B 8 C 9 A 10 A 11 D 12 C

二、填空题: (本题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.

a ?b



14. 2



15.

2?a?3 ;

16. ① ② ④ 。

三、解答题: (本题共 6 个小题,前五个小题每小题 12 分,第 22 题 14 分,共 74 分)
17. 解:? 集合 A={ x | ?1 ? x ? 5} ,集合 B= ?x | 2 ? x ? 7}

? A ? B ? ?x | 2 ? x ? 5} ,
又全集 U=R,

? CU A ? ?x | x ? ?1或x ? 5} , CU B ? ?x | x ? ?2 或x ? 7}
即( CU A ) ? B ? ?x | x ? ?1或x ? 2}

(CU A) ? (C U B) ? ?x | x ? ?1或x ? 7}
18. (1) (2) f (a) ? 8

y
2

当 a ? 1 时, 有 2a ? 8 ,即 a ? 4 当 a ? ?1 时,

?1 o

1

x

有 ? 2a ? 8 ,即 a ? ?4 综上所述: a ? 4 或 - 4 。

19. 解: (1)在 (0 ,? ?) 内任取 x1 , x 2 ,令 x1 ? x2 ,

? ? 1? ? 1? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? ? x1 ? ? x2 ? x1 x2 ? ? ?

∵ x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 ∵ x1 , x2 ? (0 ,? ?) ,∴ x1 x2 ? 0 ∴1 ?
1 ?0 x1 x2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ∴ f ( x ) ? x1 ?

即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

1 在 (0 ,? ?) 上单调递增。 x1

(2)由(1)可知函数 f ( x) 在 (0 ,? ?) 上单调递增

? 在 ?3, 6?上函数 f ( x) 为增函数,
即 y max ? f ?6 ? ? 20. 解: (1)? 租金增加了 600 元,? 600 ? 50=12。 即未出租的车有 12 辆,一共出租了 88 辆。 (2)设每辆车的月租金为 x 元, (x≥3000) ,租赁公司的月收益为 y 元。

35 8 , y min ? f ?3? ? 。 6 3

x ? 3000 x ? 3000 x ? 3000 )? ? 50 ? (100 ? ) ?150 50 50 50 则: x2 1 ? ? ? 162 x ? 21000 ? ? ( x ? 4050) 2 ? 37050 50 50 y ? x(100 ?

当x ? 4050时,   ymax ? 30705
答:每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大。最大的月收益 可达 30705 元。

21.解: (1)∵ f ( x) 是 R 上的偶函数

∴ f ( ? x ) ? f ( x ) 即 f (? x) ? f ( x) ? 0 ∴ [log2 (4? x ? 1) ? a(? x)] ? [log2 (44 ? 1) ? ax] ? 0

log2

4? x ? 1 ? 2ax ? 0 , 4x ? 1

log2

1 ? 2ax ? 0 4x

得: ?2 x ? 2ax ? 0

即a ?1

(2)若 a ? 4 , f ( x) ? log2 (4x ? 1) ? 4 x 令 f ( x) ? 0 ,即 log2 (4x ? 1) ? 4 x , 得: 4 x ? 1 ? 24 x
(4x )2 ? 4x ? 1 ? 0 ,

得: 4 x ?

1? 5 1? 5 或 (舍) 2 2

∴ x ? log 4

1? 5 2

22. 解:(Ⅰ)f(x)是偶函数, ∵ f (? x) ? log 4 (4 故 f(x)是偶函数。 (Ⅱ)∵ m ? f ( x) ? log 4 (4 ? 1) ?
x

?x

? 1) ?

x 1 ? 4x x x ? log 4 x ? ? log 4 (4 x ? 1) ? ? f ( x) ; 2 4 2 2
x 1 ? log 4 (4 x ? 1) ? log 4 2 x ? log 4 (2 x ? x ) , 2 2
∴m ?

又2 ?
x

1 1 2 ? ( 2x ? ) ?2? 2, x 2 2x

1 ; 2 1 . 2

故要使方程 f ( x) ? m ? 0 有解,m 的取值范围为 m ? (Ⅲ)由 1 ? 2x ? 3x ? ? ? (n ?1) x ? nx a ? 0 知 a ? ( ) ? ( ) ?? ? (
x x

1 n

2 n

n ?1 x ) 恒成立 n

又∵ yi ? ( ) , i ? 1, 2,? , n ? 1 都是减函数
x

i n

n ?1 x ) 也是减函数 n 1 1 21 31 n ?1 1 n ?1 ) ? ?a ∴在区间 (? ?,1] 上有 ymin ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( n n n n 2 n ?1 ). ∴ a 的取值范围是 (? ?, 2
∴ y ? ( ) ? ( ) ?? ? (
x x

1 n

2 n


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