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(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题三角函数之三角函数的综合问题2新人教A版

(新课标) 高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 三角函数之三角函数的综 合问题 2 新人教 A 版 例 9.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。 【答案】解: (1)由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ,根据正弦定理得: sin A cos C ? 3 sin Asin C ? sin B ? sin C , ∵ sin B=sin ?? ? A ? C ? ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C , ∴ sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin C 。 ∴ 3 sin A ? cos A ? 1。∴ sin( A ? 30 ) ? 0 1 。 2 0 ∴ A ? 30 ? 30 或 A ? 30 ? 150 (不合题意,舍去) 。∴ A ? 60 。 0 0 0 0 (2)由 S ? 2 1 bc sin A ? 3 得 bc ? 4 , 2 2 2 由 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 b ? c ? 4 , 解得: b ? c ? 2 。 【考点】正弦定理和余弦定理的应用,和与差的三角函数。 【解析】 (1)根据正弦定理可将已知等式化为 sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C ,应用和与差的 三角函数变形后可得 sin( A ? ? 6 )? 1 ,从而求出 A 。 2 (2)根据已知和余弦定理,可得关于 b, c 的方程组,求解即可。 例 10.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 【答案】解: (1)由 c = 3asinC-ccosA 3asinC ? cosA ,根据正弦定理,得 c 1 1 1= 3sinA ? cosA ,即 cos300 sinA ? sin300 cosA = , sin A ? 300 = 。 2 2 3asinC-ccosA 得 1= ? ? ∴ A ? 30 ? 30 或 A ? 30 ? 150 (不合题意,舍去) 。∴ A ? 60 。 0 0 0 0 0 1 (2)由 A ? 2 1 bcsin A ? 3 得 bc ? 4 , 2 2 2 由 a ? b ? c ? 2bccos A 得 b ? c ? 4 , 解得: b ? c ? 2 。 【考点】正弦定理和余弦定理的应用,和与差的三角函数。 【解析】 ( 1 )根据正弦定理可将已知等式化为 1= 3sinA ? cosA ,应用和与差的三角函数变形后可得 sin A ? 300 = ? ? 1 ,从而求出 A 。 2 (2)根据已知和余弦定理,可得关于 b, c 的方程组,求解即可。 例 11.已知函数 f ? x ? = ? sin x ? cos x ? sin 2x sin x 。 (1)求 f ? x ? 的定义域及最小正周期; (2)求 f ? x ? 的单调递增区间。 【答案】解: (1)由 sin x=0 解得 x=k? ? k ? Z ? , ∴ f ? x ? 的定义域为 ?x x ? k?,k ? Z? 。 又∵ f ? x ? = ? sin x ? cos x ? sin 2x = ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x =2 sin x sin x ? sin x ? cos x ? cos x ?? ? =sin 2x ? 1+cos 2 x= 2 sin ? 2x ? ?, ?x x ? k?,k ? Z ? 4? ? ∴ f ? x ? 的最小正周期为 2? =? 。 2 ?? ? (2)∵ f ? x ? = 2 sin ? 2x ? ?, ?x x ? k?,k ? Z ? , 4? ? ∴根据正弦函数的增减性,得 ? ? 2 ? 2k? ? 2x ? ? 4 < 2k? 或 2k? < 2x ? ? 4 ? ? 2 ? 2k? , k ?Z 。 解得 ? ? 8 ? k? ? x < ? 8 ? k? 或 ? 8 ? k? < x ? 3? ? k? , k ? Z 。 8 ? 3? ? ? ? ?? ? ∴ f ? x ? 的单调递增区间为 ? ? ? k?, +k? ? ? ? ? k?, +k? ?,k ? Z 。 8 8 ? 8 ? ?8 ? 【考点】三角函数的定义域、最小正周期和单调增减性。 2 【解析】(1)根据分式分母不为 0 的条件,结合正弦函数的零点得出 f ? x ? 的定义域。将 f ? x ? 变形,即可 由求最小正周期的公式求得。 (2)根据正弦函数的增减性,结合 f ? x ? 的定义域,求出 f ? x ? 的单调递增区间。 例 12. 函数 f ( x) ? 6 cos 2 ?x 2 ? 3 cos? x ? 3( ? ? 0)在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高 点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形。 (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值。 3 3 5 【答案】解: (Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? 6 cos 2 ?x ? 3 cos ? x ? 3 ? 3cos? x ? 3 sin ? x ? 2 3 s

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