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【金版学案】2016-2017人教版高中数学选修4-5课件:第一讲1.2-1.2.2绝对不等式的解法


第一讲

不等式和绝对值不等式

1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法

[学习目标] 1.理解和掌握|ax+b|≤c 及|ax+b|≥c 型 不等式的解法(重点). 2.掌握|x-a|+|x-b|≥c 及|x-a| +|x-b|≤c 型不等式的解法(重点、难点).

[知识提炼· 梳理] 1.|x|>a 与|x|<a(α>0)型的不等式 当 a>0 时,不等式|x|>a 的解集是{x|x>a 或 x<- a},不等式|x|<a 的解集是{x|-a<x<a}.

2.|ax+b|>c,(c>0)与|ax+b|<c,(c>0)型的不等 式 不等式|ax+b|>c 的解集是{x|ax+b>c 或 ax+b<- c};不等式|ax+b|<c 的解集是{x|-c<ax+b<c}.

3.|x-a|+|x-b|≥c 和|x-a|+|x-b|≤c 型不等式 (1)利用绝对值的几何意义. 式子|x-a|+|x-b|的几何意义是:在数轴上实数 x 与 a,b 对应的点之间的距离的和;式子|x-a|-|x-b|的几何 意义是:在数轴上实数 x 与 a 对应的点之间的距离与实数 x 与 b 对应的点之间的距离的差.利用上述几何意义,结 合数轴可以得到形如不等式|x-a|±|x-b|≤(≥)c 的解集.

(2)分段讨论法. 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,转化 为不含绝对值的不等式求解. (3)数形结合法. 从函数的观点,利用函数图象求不等式的解集.

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√” ,错误的打“×”). (1)|x|<1 的解集为{x|-1<x<1}.( )

(2)|x|<1 的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 1 的点的集合.( ) )

(3)|x|≥1 的解集是{x|x≥1 或 x≤-1}.(

(4)|x|>1 的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 1 的点的集合.( )

解析:由绝对值的定义及几何意义易知(1)(2)(3)(4)都 正确. 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√

2.已知集合 A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|> 3},则 A∩B 等于( A.{x|2≤x≤3} C.{x|2<x≤3} ) B.{x|2≤x<3} D.{x|-1<x<3}

解析: 因为 A={x|2≤x≤3}, B={x|x>2 或 x<-1}, 所以 A∩B={x|2<x≤3}. 答案:C

3.不等式|x+3|-|x-3|>3 的解集是(
? ? 3? A.?x?x>2? ? ? ? ? ?3 ? B.?x?2<x≤3? ? ? ?

)

C.{x|x≥3}

D.{x|-3<x≤0}

解析:当 x<-3 时,-(x+3)+(x-3)>3,无解. 当-3≤x≤3 时,x+3+x-3>3, 3 3 即 x> ,故 <x≤3. 2 2

当 x>3 时,x+3-(x-3)>3,即 6>3,故 x>3.
? ? 3? 综上所述,所求的解集为?x?x>2?. ? ? ?

答案:A

4. 不等式|8-x|≥3 的解集为________________. 解析:原不等式化为 x-8≥3 或 x-8≤-3 解得 x≥11 或 x≤5. 答案:{x|x≥11 或 x≤5}

5.(2014· 湖南卷)若关于 x 的不等式|ax-2|<3 的解
? ? 5 1? 集为?x?-3<x<3?,则 a=________. ? ? ?

解析:由|ax-2|<3 得到-3<ax-2<3,-1<ax<5,
? ? 5 1? 又知道解集为?x?-3<x<3? ? ? ?

所以 a=-3. 答案:-3

类型 1 |ax+b|≤c(或|ax+b|≥c)(c>0)型不等式的解 法(自主研析) [典例 1] 解下列不等式. (1)|4x+5|≥25;(2)1<|x-1|<5. 解:(1)因为|4x+5|≥25?4x+5≥25 或 4x+5≤-25 15 ?4x≥20 或 4x≤-30?x≥5 或 x≤- . 2

? ? 15? 所以原不等式的解集为?x?x≥5或x≤- 2 ?. ? ? ?

(2)因为 1<|x-1|<5?1<x-1<5 或-5<x-1<- 1?2<x<6 或-4<x<0,所以原不等式的解集为{x|2<x <6 或-4<x<0}.

归纳升华 1. 求解|ax+b|≤c 和|ax+b|≥c 型不等式的一般步骤: (1)判断不等号右侧的式子是否大于 0; (2)若大于 0,根据绝对值不等式的几何意义,整体代 换,若不能判定,则分三种情况进行分类讨论; (3)将不等式的解集写成集合或者区间的形式.

2.注意事项: (1)在进行集合运算时,要注意利用数轴这一重要工 具,尤其是要注意端点值的取舍; (2)利用绝对值的几何意义时,要注意将 x 前系数化 为 1.

[变式训练] 解下列不等式. (1)|1-2x|>5; (2)|4x-1|+2≤10. 解:(1)|1-2x|>5?2x-1>5 或 2x-1<-5?2x>6 或 2x<-4?x>3 或 x<-2. 所以原不等式的解集为{x|x>3 或 x<-2}.

(2)|4x-1|+2≤10?4x-1|≤8 7 9 所以-8≤4x-1≤8?-7≤4x≤9?- ≤x≤ . 4 4
? 7 9? 所以原不等式的解集为?x|-4≤x≤4?. ? ?

类型 2 |x-a|+|x-b|≥c(或|x-a|+|x-b|≤c)型不 等式的解法 [典例 2] 解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
解:法一:如图所示,设数轴上与-1,1 对应的点 分别为 A,B,那么 A,B 两点的距离和为 2,因此区间[- 1,1]上的数都不是不等式的解.设在 A 点左侧有一点 A1 到 A,B 两点的距离和为 3,A1 对应数轴上的 x.

3 所以-1-x+1-x=3,得 x=- , 2 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A,B 两点距离和为 3, B1 对应数轴上的 x, 3 所以 x-1+x-(-1)=3.所以 x= . 2

从数轴上可看到,点 A1,B1 之间的点到 A,B 的距 离之和都小于 3;点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A,B 的距离之和都大于 3. 3 3 所以原不等式的解集是(-∞,- ]∪[ ,+∞). 2 2

法二:当 x≤-1 时,原不等式可以化为-(x+1)-(x -1)≥3, 3 解得 x≤- . 2 当-1<x<1 时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3, 即 2≥3 不成立,无解. 当 x≥1 时,原不等式可以化为 x+1+x-1≥3.

3 所以 x≥ . 2 3 3 综上可知原不等式的解集为{x|x≤- 或 x≥ }. 2 2 法三:将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数 y=|x+1|+|x-1|-3,即 y=

? ?-2x-3,x≤-1, ? ?-1,-1<x<1, ? ? ?2x-3,x≥1.

作出函数的图象(如右图所示). 3 3 函数的零点是- , . 2 2 3 3 从图象可知,当 x≤- 或 x≥ 时,y≥0,即|x+1| 2 2 +|x-1|-3≥0.
? ? 3? ?3 所以原不等式的解集为?-∞,-2?∪?2,+∞?. ? ? ? ?

归纳升华 |x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式 的三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分 区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法 直观,但只适用于数据较简单的情况.

1. 分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解, ? ?x,x≥0, 即|x|=? 也即 x 为非负数时,|x|为 x;x 为负 ? ?-x,x<0, 数时,|x|为-x,即 x 的相反数.

2.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等 式的图象解法和画出函数 f(x)=|x-a|+|x-b|-c(a<b) 的图象是密切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象 的关键是写出 f(x)的分段表达式.不妨设 a<b,于是 f(x)

? ?-2x+a+b-c,x≤a, ? = ?b-a-c,a<x<b, 这种图象法的关键是合 ? ? ?2x-a-b-c,x≥b, 理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体 现了函数与方程结合、数形结合的思想.
3.几何解法的关键是理解绝对值的几何意义.

[变式训练] (2015· 课标全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)= |x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1> 0.

当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解;

2 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 <x 3 <1; 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2.
? ?2 ? 所以 f(x)>1 的解集为?x?3<x<2?. ? ? ?

? ?x-1-2a,x<-1, ? (2)由题设可得,f(x)=?3x+1-2a,-1≤x≤a, ? ? ?-x+1+2a,x>a.

所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点
? ? ?2a-1 ? 分别为 A? ,0?,B(2a+1,0),C(a,a+1), ? 3 ?

2 △ABC 的面积为 (a+1)2. 3 2 由题设得 (a+1)2>6,故 a>2. 3 所以 a 的取值范围为(2,+∞).

类型 3 绝对值不等式的综合应用(规范解答) [典例 3] (本小题满分 10 分)设函数 f(x)=|x+ a|- |x- 1-a|. 1 (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥ 的解集; 2 (2)若对任意 a∈[0,1],不等式 f(x)≥b 的解集为空 集,求实数 b 的取值范围.

1 [规范解答] (1)当 a=1 时,f(x)≥ 等价于|x+1|-|x| 2 1 ≥ .(1 分) 2 1 ①当 x≤-1 时,不等式化为-x-1+x≥ ,无解; 2 1 ②当-1<x<0 时,不等式化为 x+1+x≥ , 2 1 解得- ≤x<0; 4

1 ③当 x≥0 时,不等式化为 x+1-x≥ ,解得 x≥0. 2 (3 分)
? 1 ? 综上所述,不等式 f(x)≥1 的解集为?-4,+∞?. ? ?

(4 分)

(2) 因为不等式 f(x)≥b 的解集为空集,所以 b > [f(x)]max.(5 分) 以下给出两种方法求 f(x)的最大值. 法一:因为 f(x)=|x+ a|-|x- 1-a|(0≤a≤1), 当 x≤- a时,f(x)=-x- a+x- 1-a=- a- 1-a<0.

当- a<x< 1-a时,f(x)=x+ a+x- 1-a= 2x+ a- 1-a≤2 1-a+ a- 1-a= a+ 1-a. 当 x≥ 1-a 时, f(x) = x + a - x + 1-a = a + 1- a. 所以[f(x)]max= a+ 1-a.(7 分)

法二:因为 f(x)=|x+ a|-|x- 1-a|≤|x+ a-x + 1-a|=| a+ 1-a|= a+ 1-a, 当且仅当 x≥ 1-a时取等号. 所以[f(x)]max= a+ 1-a.(7 分) 因为对任意 a∈[0, 1], 不等式 f(x)≥b 的解集为空集, 所以 b> a+ 1-a
? ? ? ? ? ? ? ?max

.(8 分)

以下给出三种思路求 g(a)= a+ 1-a的最大值. 思路 1:令 g(a)= a+ 1-a, 所以 g2(a)=1+2 a 1-a≤1+( a)2+( 1-a)2= 2, 1 当且仅当 a= 1-a,即 a= 时等号成立. 2

所以[g(a)]max= 2. 所以 b 的取值范围为( 2,+∞).(10 分) 思路 2:令 g(a)= a+ 1-a, 因为 0≤a≤1,所以可设 a=cos
2

? π? θ?0≤θ≤2?, ? ?

则 g(a)= a+ 1-a=cos θ+sin θ= 2,

? π? 2sin?θ+4?≤ ? ?

π 当且仅当 θ= 时等号成立. 4 所以 b 的取值范围为( 2,+∞).(10 分)

思路 3:令 g(a)= a+ 1-a, ? ?x= a, 因为 0≤a≤1,设? ? ?y= 1-a, 则 x2+y2=1,0≤x≤1,0≤y≤1.

问题转化为在 x2+y2=1,0≤x≤1,0≤y≤1 的条件 下,求 z=x+y 的最大值.

利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为 2, 2 此时 x=y= . 2 所以 b 的取值范围为( 2,+∞).(10 分)

归纳升华 1.对于含有绝对值的综合应用题,首先考虑的是零 点分段法去绝对值,把函数转化为分段函数,其次结合图 象求解参数或自变量的范围.

2.解决已知不等式的解集求其参数的范围问题,仍 然是利用转化的思想,将其转化为函数的最大 (小 ) 值问 题.

[类题尝试] 已知函数 f(x)=|x+a|+|x-3|(a∈R). (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥x+8 的解集; (2)若函数 f(x)的最小值为 5,求 a 的值. 解:当 a=1 时,不等式 f(x)≥x+8 可化为|x+1|+|x -3|≥x+8, 当 x<-1 时,有-(x+1)-(x-3)≥x+8,解得 x≤ -2;

当-1≤x≤3 时,有(x+1)-(x-3)≥x+8,解得 x≤ -4,不合要求; 当 x>3 时,有(x+1)+(x-3)≥x+8,解得 x≥10; 综上所述,x≤-2 或 x≥10. 所以,原不等式解集为(-∞,-2]∪[10,+∞).

(2)因为 f(x)=|x+a|+|x-3|=|x+a|+|3-x|≥|(x+a) +(3-x)|=|a+3| 令|a+3|=5,解得 a=2 或 a=-8.

1.解含有绝对值的不等式的总体思路是:将含有绝 对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解,依据的 是同解性,对同解性应理解为: “|x|”中的 x 可以是任何有 意义的数学式子 f(x),因此从结论上说,|f(x)|<g(x)与- g(x)<f(x)<g(x)同解,|f(x)|>g(x)与 f(x)>g(x)或 f(x)<- g(x)同解.掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键,数 形结合法解不等式是另一个重要的解题途径,为此要熟 练掌握函数|f(x)|的图象和画法.

2.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 型不等式有 三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区 间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法 直观,但只适用于数据较简单的情况.


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