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【B版】人教课标版高中数学必修二教学教案-柱、锥、台和球的体积【精品】


(此文档为 word 格式,下载后可以任意修改,直接打印使用!) 1.1.7 柱、锥、台和球的体积(一) 教学目标:了解柱、锥、台的体积的计算方法 教学重点:了解柱、锥、台的体积的计算方法 教学过程: (一)祖暅原理: 祖暅(音 gè ng),一名祖暅之,是祖冲之的儿子,他的活动时期大约在公元 504—526 年.祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献. 祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》.他推导球体积公式的方法非 常巧妙. 根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释,下面我们使用现代的术语,并 将原来的图形略加修改,把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下: 作一个几何体 V1.底面 OABC 是一个正方形,边长为 r(图 2-18).高 取一点 S,过点 S 与底面平行的截面为 SPQR,设它的边长为 a,OS 为 h, 则截面面积 a2=r2-h2. 另取一个边长为 r 的正方体 V2(图 2-19),连结 O′D′,O′C′,O′A′,锥体 O′-A′B′C′D′记作 V3, V2-V3 是正方体 O′D′挖去锥体 O′-A′B′C′D′剩下的几何体. 下 面来证明 V1=V2-V3. 设平行于底面与底面距离为 h 的平面,截 V2 的截面是正方形 P′TS′M,面积 等于 r2,截 V3 的截面是正方形 Q′TR′N,面积等于 h2(因为 Q′T=O′T=h),所以这 两个正方形的差形成曲尺形 P′Q′NR′S′M,它的面积等于 r2-h2. 比较 V1 与 V2-V3 在等高(h)处的截面, 它们的面积都是 r2-h2, 因此体积相等, 即 V1=V2-V3. 祖暅原理的原文是“幂势既同,则积不容异.”“幂”是截面积,“势”是几何体 的高.意思是:两个同高的几何体,如果与底等距离的截面积总相等,那么几何 体的体积相等.这就是现在说的:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于 这两个平面的任意平面所截, 如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几 何体的体积相等. 积为 V4(是未知数).和 V1 比较,在高 h 处的截面积 C″EF 是以 a 为半 祖暅提出的“幂势既同,则积不容异”,及“体积之比等于对应截面积之比”,在这 里是当作公理使用.提法“幂势既同,则积不容异”,在西方通常叫做“卡瓦列利 原理”(Cavalierisches,Prinzip).卡瓦列利[米兰 Milan(现意大利城市)人]在他的名 著《连续不可分几何》中提出这一原理,这本书出版于 1635 年. (二)长方体的体积 V ? Sh (三)利用祖暅原理可以说明:等底面积等高的长方体与柱体的体积相等,故柱 体的体积为: V ? Sh (四)利用祖暅原理可以说明:等底面积等高的锥体的体积均相等 (五)三棱住可以分割成三个体积相等的锥 故锥体的体积为 V ? 1 Sh 3 1 (六)利用两个锥体做差可得台体的体积公式 V ? ( S '? SS ' ? S )h 3 (七)例子: (1) 长方体的三个面的面积分别为 2、6 和 9,则长方体的体积为[ ] (2)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, 在从 B 点出发的三条棱上分别取其中点 E、F、G,则棱锥 B-EFG 的体积是平行六面体体积的[ ] (3)如果一个正四面体的体积为 9dm3,则其表面积 S 的值为[ ] 棱锥的体积是 [ ] (5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为 V1,内切切圆柱体积为 V2,则[ A.V1∶V2=∶1 C.V1∶V2=4∶1 B.V1∶V

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