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复数与几何学习教材PPT课件


复数与几何 长春市第十一中学 李 旭 由于复数与复平面上的点的一一对 应关系,使复数与解析几何存在必 然的联系。利用复数解曲线与方程 问题成为一种有效的手段,常用的 方法是两复数相等的条件的应用、 复平面上两点间距离公式的使用等。 在解决有关轨迹问题时,利用解析 几何求轨迹的方法和复数的有关性 质,使有些问题的解决更简捷。 z ? ( 1 ? i ) 例1、已知复数z满足: 解: argz ? u =z+i ? , 2 , 求 u=z+i 的轨迹方程。 z=u–i 由 z-(1+i) = 得 2 2 z-(1+i) = 2 u –(1+2i) 几何意义法: u的轨迹是由z的轨迹向上平移一个单位而得到的, 所以它的轨迹也是一个圆。 z的轨迹是一个以(1,1)为圆心, 2 为半径的圆, 则 u 的轨迹是以(1,2)为圆心, 2为半径的圆。 坐标平移的原则是什么? 上 加 左加 右减 下 减 y y 1 2 1 x x 0 0 z的轨迹 u的轨迹 例2、B为圆x2+y2=1上的动点,A为定点(2,0), 且 ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形, (如图)求C点的轨迹方程。 解: 设C(x ,y),B(x’,y’) 因为zB–zA =(zC –zA)i 所以 x’ + y’ i – 2 = ( x – 2+ y i ) i ( x’ – 2 )+ i y ’ = – y + ( x + 2 ) i x’ – 2 = – y y’=x+2 又(x’)2+(y’)2=1 (x – 2)2+(y –2)2=1 y 2 .o’ B C 0 1 A x 例3、复数z满足不等式 z z ? iz ? i z ? 0 , 设u=z+i,求u的辐角主角的取值范围。 解:由 已 知 得 即 z ( z ? i) ? i z ? 0 z ( z ? i) ? i( z ? i) ? 1 ( z ? i)(z ? i) ? 1 z ?i ?1 又 u = z + i. 得 z = u - i 得 u ? 2i ? 1 y 0 x ? ? 2? ? argu ? ? , ? ?3 3 ? 例4、已知在复平面内等边三角形的两个 1 3 i 。 顶点所表示的复数为2, ? 2 2 求第三个顶点所对应的复数。 分析:我们要 y C B 0 C’ A 注意AB这条 向量的旋转 方向,可以 有两种选择。 x 例5、已知复数z1,z2,z3满足|z1|=|z2|=|z3|,z1+z2+z3=0, 求证:z1,z2,z3在复平面上对应的点A、B、C是一个 内接与单位圆的正三角形的顶点。 y y C B x A x 复数与几何的关系远不 止上面的例子中所列举 的情形,他们之间更多 的联系还有待于同学们 去发现和挖掘。 应用复数的几何意义,解 决几何中的某些问题时候, 要注意变量的范围。 注意几何知识的同时使用, 不一定是单纯的代数方法, 注意知识的连带性。 谢谢!再见!

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