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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编三角函数+综合应用


二倍角公式
【数学理卷·2015 届安徽省“江淮十校”高三 11 月联考(201411)WORD 版】5.若 ? ? (

?
2

, ? ), 且

cos 2? ? sin( ? ? ) ,则 sin 2? 4 1 1 A. ? B. 2 2
【答案】 【解析】A

?

的值为



) C. 1 D. ?1

【知识点】同角三角函数基本关系,二倍角公式 C2 C6

? 2? ) ? cos[2( ? ? )] ? 1 ? 2sin 2 ( ? ? ) 2 4 4 1 ? ? 1 ? 2cos2 2? ? 2sin 2 2? ?1 ? sin 2? ? ? 或 sin 2? ? 1 .又 ? ? ( , ? ), 2 2 1 得 sin 2? ? ? 所以选 A. 2
【思路点拨】找到 sin 2? 与 cos 2? ? sin( 代入 cos 2? ? sin(

解析: sin 2? ? cos(

?

?

?

?

?
4

4

? ? ) 的结合点,也可利用 sin 2 2? ? cos 2 2? ? 1

? ? ) 求解.

【数学文卷·2015 届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考(201411) 】12 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则角 A 的大小为__ __ 【知识点】同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦;正弦定理.C2C6 C8 【答案】 【解析】 =

? 6

解析:由 sinB+cosB= 2得 1+2sinBcosB=2,即 sin2B=1,因为 0<B<π ,所以 B

π 2 2 1 .又因为 a= 2,b=2,所以在△ABC 中,由正弦定理得 = ,解得 sinA= .又 a<b,所以 A<B 4 sinA π 2 sin 4



? π ,所以 A= . 4 6
得 1+2sinBcosB=2,即 sin2B=1,根据三角形的内角和定理得到 0<B

【思路点拨】由条件由 sinB+cosB=

<π 得到 B 的度数.利用正弦定理求出 A 即可.

C7 三角函数的求值、化简与证明
【数学理卷·2015 届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考(201411) 】17. (本小题满分 12 分)

-1-

在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c . 已知 a ? 3 , cos A ? (1)求 的值; (2)求 ?ABC 的面积. 【知识点】解三角形;三角函数中的恒等变换应用.C7 C8 【答案】 【解析】 (1) b = 3 2 ; (2)

6 ? ,B ? A? . 3 2

3 2 2
2 2

? 6? 3 解析: (1)因 0 ? A ? ? ,故 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? . ? ???2 分 ? 3 ? ? ? 3 ? ?
因 B ? A?

?
2

,故 sin B ? sin ? A ?

? ?

??

6 . ? ? cos A ? 2? 3
3?

? ????????4 分

a sin B a b 由正弦定理 ,得 b ? ? ? sin A sin A sin B

6 3 ? 3 2 . ????????6 分 3 3
???????8 分

(2)

.

sin C ? sin ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 ? 3? 6 6 1 ?? ? ? ? ? . ? ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3
1 1 1 3 2 . ab sin C ? ? 3 ? 3 2 ? ? 2 2 3 2

? ?????10 分

则 ?ABC 的面积为

? ???????12 分

【思路点拨】 (1)△ABC 中,利用同角三角函数的基本关系求出 sinA,再由正弦定理求出 b. (2)利用公 式求得 cosB,sinC 的值,再利用三角形面积公式即可。

【数学理卷·2015 届江西省赣州市十二县(市)高三上学期期中联考(201411) 】16. (本小题满分 12 分)

已知向量 m ? (sin x, ?1) ,向量 n ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (m ? n) ? m . (1)求 f ( x) 的最小正周期 T ; (2)已知 a , b , c 分别为 D ABC 内角 A , B , C 的对边, A 为锐角, a = 2 3 , c = 4 ,
? ?? 且 f ( A) 恰是 f ( x) 在 ?0, ? 上的最大值,求 A , b 和 ?ABC 的面积 S . ? 2? 【知识点】三角函数中的恒等变换应用.C7

1 2

-2-

【答案】 【解析】(1)

? ;(2) A ?

?
3

,b ? 2 , S ? 2 3

解析:(1) f ( x) ? (m ? n) ? m ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

1 2

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ?1? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 2 ??????3 分 6 2? 因为 ? ? 2 ,所以 T ? ????????5 分 ?? 2
(2) 由(1)知: f ( A) ? sin(2 A ?

?

?

6

)?2 6 ?

当 x ? [0,

?

由正弦函数图象可知,当 2 x ? 所以 2 A ?

?

?
2

2

] 时, ?

?

6

? 2x ?

?
6

?

5? 6

时 f ( x) 取得最大值 3 。 ????8 分

?
6

?

?
2

,A?

?
3

???????9 分 ∴ 12 ? b 2 ? 16 ? 2 ? 4b ?

由余弦定理, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 从而 S ?

1 ∴ b ? 2 ???10 分 2

1 1 bc sin A ? ? 2 ? 4sin 60 ? 2 3 ????????12 分 2 2

【思路点拨】(1) 首项利用向量的数量积求出三角函数的关系式,进一步利用恒等变换把函数转化成正弦 型函数,最后求出最小正周期. (2) 利用(1)求出 A 的大小,再利用余弦定理求出 b 的长,最后求出三角 形的面积.

【数学理卷·2015 届江西省赣州市十二县(市)高三上学期期中联考(201411) 】6. 若

0 ?? ?

?

2 3 A. 3

,?

?

? 1 ? ? 3 ? ? ? ? 0, cos( ? ? ) ? , cos( ? ) ? , 则 cos(? ? ) ? ( 2 4 3 4 2 3 2 3 5 3 6 B. ? C. D. ? 3 9 9
解析: ∵0 ?? ?



【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值.C7 【答案】 【解析】 C

?
2

,?

?
2

? ? ? 0, ∴

?
4

?

?
4

?? ?

3? ? ? ? ? ? , ? ? ? ,∴sin ( ?? ) 4 4 4 2 2 4

? 1?

? ? 1 2 2 6 ,sin( ? )= ? 4 2 3 9 3

∴ cos(? ?

?
2

) ? cos[(

?
4

? ? )﹣(

?
4

?

?
2

)]=cos(

?
4

? ? )cos(

?
4

?

?
2

)+sin(

?
4

? ? )sin(

?
4

?

?
2



=

5 3 故选 C 9 ,

【思路点拨】先利用同角三角函数的基本关系分别求得 sin(
-3-

?
4

? ? )和 sin(

?
4

?

?
2

)的值,进而利用

cos(? ?

?
2

) ? cos[(

?
4

? ? )﹣(

?
4

?

?
2

)]通过余弦的两角和公式求得答案.

C8 解三角形
【数学理卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试(201411) 】18. (本题满分 12 分)在锐角三角形

ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,
且 3a ? 2c sin A ? 0 . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 2, 求 a ? b 的最大值.

【知识点】解三角形 C8 π 【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)4 3 (Ⅰ)由 3a-2csin A=0 及正弦定理,得 3sin A-2sin Csin A=0(sin A≠0), ∴sin C= 3 π ,∵△ABC 是锐角三角形,∴C= 2 3

π π 2 2 2 2 (Ⅱ)∵c=2,C= ,由余弦定理,a +b -2abcos =4,即 a +b -ab=4 3 3 ∴(a+b) =4+3ab≤4+3·?
2

?a+b?2,即(a+b)2≤16, ? ? 2 ?

∴a+b≤4,当且仅当 a=b=2 取“=”故 a+b 的最大值是 4. 【思路点拨】根据正限定求出角,根据余弦定理和均值不等式求出最大值。

【数学理卷·2015 届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考(201411) 】13. 在 ?ABC 中, 若 a 2 ? c 2 ? b2 ? tan B ? 3 ? ac ,则角 B= 【知识点】同角三角函数关系;余弦定理的应用. C2 【答案】 【解析】

?

?

。 C8
2

? 2? 或 3 3

解 析 : 把 a ? c ? b ? 2 accos B, t an B?
2 2

s i nB ,代入已知等式得: cosB

sin B ?

? 2? 3 ,又 B ? ? 0, ? ? ,所以角 B= 或 . 3 3 2 ? 3 ,又 B ? ? 0, ? ? ,所以角 B= 3 2

【思路点拨】把余弦定理、同角三角函数关系,代入已知等式得 sin B ? 或

2? . 3

-4-

【数学理卷·2015 届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考(201411) 】17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c . 已知 a ? 3 , cos A ? (1)求 的值; (2)求 ?ABC 的面积. 【知识点】解三角形;三角函数中的恒等变换应用.C7 C8 【答案】 【解析】 (1) b = 3 2 ; (2)

6 ? ,B ? A? . 3 2

3 2 2
2 2

? 6? 3 解析: (1)因 0 ? A ? ? ,故 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? . ? ???2 分 ? 3 ? ? ? 3 ? ?
因 B ? A?

?
2

,故 sin B ? sin ? A ?

? ?

??

6 . ? ? cos A ? 2? 3
3?

? ????????4 分

由正弦定理

a sin B a b ,得 b ? ? ? sin A sin A sin B

6 3 ? 3 2 . ????????6 分 3 3
???????8 分

(2)

.

sin C ? sin ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 ? 3? 6 6 1 ?? ? ? ? ? . ? ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3
1 1 1 3 2 . ab sin C ? ? 3 ? 3 2 ? ? 2 2 3 2

? ?????10 分

则 ?ABC 的面积为

? ???????12 分

【思路点拨】 (1)△ABC 中,利用同角三角函数的基本关系求出 sinA,再由正弦定理求出 b. (2)利用公 式求得 cosB,sinC 的值,再利用三角形面积公式即可。

【数学理卷· 2015 届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考 (201411) 】 3. 在 ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? , 则 cos B 等于( A. ? )

2 2 2 2 6 6 B. C. ? D. 3 3 3 3 【知识点】正弦定理.C8
【答案】 【解析】 D 解析:由正弦定理有

15 10 3 ? ? sin B ? , a ? b,? A ? B , B 为锐角 , 所以 sin 60? sin B 3

-5-

cos B =

6 .故选 D. 3

【思路点拨】由正弦定理可求得 sin B ?

3 ,再由 a ? b ,可得 B 为锐角,运算求得结果. 3

【数学理卷·2015 届河南省实验中学高三上学期期中考试(201411) 】18.(本小题满分 12 分)已知

f ?x ? ? m? n ,其中 m ? sin ?x ? cos?x, 3 cos?x , n ? ?cos?x ? sin ?x,2 sin ?x ? ,且 ? ? 0 ,若 f ?x ? 相邻 ? 两对称轴间的距离不小于 。 2
(1)求 ? 的取值范围. (2)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 3 , b ? c ? 3 ,当 ? 最大时, f ? A? ? 1,求 ?ABC 的面积. 【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8 【答案解析】 (1) 0 ? ? ? 1 (2)

? ?

?

?

?

?

3 2

f ?x? ? ?sin ?x ? cos?x? ? ?cos?x ? sin ?x? ? 2 3 sin ?x ? cos?x

?? ? ? 3 sin 2?x ? cos2?x ? 2 sin ? 2?x ? ? 6? ? ? ? k? ? k?z ? 对称轴为 2?x ? ? k? ? , k ? z ∴x ? 6 2 2? 6? 2? ?? (1)由 T ? ? 得 得0 ? ? ?1 2? ?? ? (2)由(1)知 ? ? 1 ∴ f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 6? ? ? ?? ? ∵ f ? A? ? 1 ∴ 2 sin ? 2 A ? ? ? 1 ∵ A ? ?0, ? ? ∴A? 3 6? ? b 2 ? c 2 ? a 2 1 9 ? 2bc ? 3 ? bc ? 2 由 cos A ? 得 ? 2 2bc 2bc
∴ S?ABC ?

1 3 bcsin A ? 2 2

【思路点拨】根据三角函数的周期性求出参数范围,根据余弦定理求出边再求面积。

【数学理卷·2015 届河南省实验中学高三上学期期中考试(201411) 】6.在△ABC 中, a ? 2, A ? 45 ,若 此三角形有两解,则 b 的范围为( )
?

A. 2 ? b ? 2 2

B.b > 2

C.b<2

D. 1 ? b ? 2
2

【知识点】解三角形 C8 【答案解析】A ∵在△ABC 中,a=2,A=45° ,且此三角形有两解, ∴由正弦定理

a b ? =2 2 ,∴b=2 2 sinA,B+C=180° -45° =135° , sin A sin B
-6-

由 B 有两个值,得到这两个值互补,

若 B≤45°,则和 B 互补的角大于等于 135° ,这样 A+B≥180°,不成立; ∴45° <B<135° ,又若 B=90,这样补角也是 90° ,一解, ∴

2 <sinB<1,b=2 2 sinB,则 2<b<2 2 ,故选:A. 2

【思路点拨】利用正弦定理列出关系式,把 a,sinA 的值代入,表示出 b,B+C,根据 B 为两值,得到两 个值互补,确定出 B 的范围,进而求出 sinB 的范围,即可确定出 b 的范围.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试(201411) 】6、如果把直角三角形的三边都增加 同样的长度,则得到的这个新三角形的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 【知识点】余弦定理.C8 【答案】 【解析】A 解析:解:设增加同样的长度为 x,原三边长为 a、b、c,且 c =a +b ,c 为最大边; 新的三角形的三边长为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,其对应角最大. 2 2 2 2 而(a+x) +(b+x) -(c+x) =x +2(a+b-c)x>0,
2 2 2



B.直角三角形 D.由增加的长度决定

? a ? x ? ? ?b ? x ? ? ?c ? x ? 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦= 2 ? a ? x ?? b ? x ?
2 2

2

? 0 则为锐角, 那么它为锐角三角

形.故选 A 【思路点拨】先设出原来的三边为 a、b、c 且 c =a +b ,以及增加同样的长度为 x,得到新的三角形的三边 为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,所以所对的角最大,然后根据余弦定理判断出余弦值为正数,所以 最大角为锐角,得到三角形为锐角三角形.
2 2 2

【数学理卷·2015 届安徽省“江淮十校”高三 11 月联考(201411)WORD 版】10.设函数 f ( x) ? ln x 的定义
域为 ( M , ?? ) ,且 M

? 0 ,且对任意 a, b, c ? ( M , ??), 若 a, b, c 是直角三角形的三边长,且 f (a), f (b), f (c) 也
M
的最小值为 ( ) A.

能成为三角形的三边长,则 C. 3

2

B.

2 2

2

D. 2

【知识点】三角形的形状判断,函数的值 C8 B3 【答案】 【解析】 A 解析:不妨设 c 为斜边,则 M ? a ? c, M ? b ? c , ? ab ? M 由题意可得
2

?a 2 ? b2 ? c2 ?a 2 ? b2 ? c2 ?? ? ?ln a ? ln b ? ln c ?ab ? c

a 2 ? b2 ? 2ab ? 2c ?c2 ? 2c 即 c ? 2

?ab ? 2, M 2 ? 2 即 M ? 2 所以选 A.
-7-

【思路点拨】不妨设 c 为斜边,则 M ? a ? c, M ? b ? c ,可得 ab ? M 结合 a ? b ? 2ab 可求 c 的范围,进而可求 M 的范围,即可求解.
2 2

2

结合题意可得 ?

?a 2 ? b 2 ? c 2 ?ab ? c



B 【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 11 月月考(201411)(1)】17.(12 分)如图,海上有 A , 60 ? BO 两个小岛相距 10 km , 船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为 , 现从船 O 上派下一只小艇沿 方向驶至 C 处进行作业,且 OC ? BO .设 AC ? x km 。 (1)用 x 分别表示 OA2 ? OB2 和 OA ? OB ,并求出 x 的取值范围; (2) 晚上小艇在 C 处发出一道强烈的光线照射 A 岛, B 岛至光线 CA 的距离为 BD , 求 BD 的最大值.

【知识点】解三角形.C8 【答案】 【解析】(1) 10<x≤10 3 (2) BD 的最大值为 10 解析: (1)在 ?OAC 中, ?AOC ? 120? , AC ? x , 由余弦定理得, OA2 ? OC 2 ? 2OA ? OC ? cos120? ? x 2 , 又 OC ? BO ,所以 OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos120? ? x 2 ①, ??1 分 在 ?OAB 中, AB ? 10 , ?AOB ? 60? 由余弦定理得, OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos60? ? 100 ②, ???3 分 2 x ? 100 ①+②得 OA2 ? OB 2 ? , 2 x 2 ? 100 ①-②得 4OA ? OB ? cos60? ? x 2 ? 100 ,即 OA ? OB ? , ????4 分 2 x 2 ? 100 x 2 ? 100 ≥ 2? 又 OA2 ? OB2 ≥2OA ? OB ,所以 ,即 x 2 ≤300 , 2 2 x 2 ? 100 > 0 ,即 x 2 >100 , 所以 10<x≤10 3 又 OA ? OB ? ?????????6 分 2 (2)易知 S?OAB ? S?OAC ,

1 3( x 2 ? 100) 故 S?ABC ? 2S?OAB ? 2 ? ? OA ? OB sin 60? ? , 2 4

?????????8 分

1 ? AC ? BD ,设 BD ? f ( x) , 所以 2 3( x 2 ? 100) f ( x) ? , x ? (10 , 10 3] , 2x 3 100 (1 ? 2 ), 又 f ?( x) ? 2 x 则 f ( x) 在 (10 , 10 3] 上是增函数,
又 S?ABC ?

???????????9 分 ???????????10 分

所以 f ( x) 的最大值为 f (10 3) ? 10 ,即 BD 的最大值为 10. ????????12 分
-8-

(利用单调性定义证明 f ( x) 在 (10 , 10 3] 上是增函数,同样给满分;如果直接说出 f ( x) (10 , 10 3] 上是 增函数, 【思路点拨】根据三角形边与角的关系,利用余弦定理和等面积法可求出结果

【数学文卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试(201411) 】18. (本题满分 12 分)在锐角三角形

ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,
且 3a ? 2c sin A ? 0 . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 2, 求 a ? b 的最大值.

【知识点】解三角形 C8 π 【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)4 3 (Ⅰ)由 3a-2csin A=0 及正弦定理,得 3sin A-2sin Csin A=0(sin A≠0), ∴sin C= 3 π ,∵△ABC 是锐角三角形,∴C= 2 3

π π 2 2 2 2 (Ⅱ)∵c=2,C= ,由余弦定理,a +b -2abcos =4,即 a +b -ab=4 3 3 ∴(a+b) =4+3ab≤4+3·?
2

?a+b?2,即(a+b)2≤16, ? ? 2 ?

∴a+b≤4,当且仅当 a=b=2 取“=”故 a+b 的最大值是 4. 【思路点拨】根据正限定求出角,根据余弦定理和均值不等式求出最大值。

【数学文卷·2015 届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考(201411) 】17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x , ( m ? 0) 的最大值为 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 ?0, ? ? 上的值域; (Ⅱ)已知 ?ABC 外接圆半径 R ?

? ? 3 , f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A, B 所对的边分别是
4 4

1 1 a , b ,求 ? 的值. a b
【知识点】三角函数;不等式;正弦定理.C4,C8,E1 【答案】 【解析】(1) [? 2 ,2] (2)

1 1 ? ? 2 解析: (1)由题意, f ( x) 的最大值为 m2 ? 2 ,所以 a b

m2 ? 2=2 .?????????2 分
π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) .?????????????4 分 4 ? ?π ? 在 [0, ] 上递增.在 ? , π ? 递减, 4 ? ? 4
-9-

所以函数 f ( x) 在 ?0,π? 上的值域为 [? 2 ,2] ;?????????????5 分
π π (2)化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin Asin B 得 4 4
sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .??7 分

由正弦定理,得 2R ? a ? b ? ? 2 6ab ,?????????????????9 分 因为△ABC 的外接圆半径为 R ? 所以

3 . a ? b ? 2ab .??????????11 分

1 1 ? ? 2 ?????????????????????????12 分 a b

【思路点拨】根据题意求出解析式,再求出定义域下的值域,化简已知条件求出边的关系,再求出

1 1 ? ? 2 a b
【数学文卷·2015 届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考(201411) 】18. (本小题满分 12 分)如图, π 在△ABC 中,B= ,BC=2,点 D 在边 AB 上,AD=DC,DE⊥AC,E 为垂足. 3 3 6 (1)若△BCD 的面积为 ,求 CD 的长;(2)若 DE= ,求角 A 的大小. 3 2

【知识点】解三角形.C8 【答案】 【解析】(1) π 2 7 ;(2) A= 。 3 4

1 3 解析:(1)由已知得 S△BCD= BC· BD· sin B= , 2 3 3 2 又 BC=2,sin B= ,得 BD= . 2 3 在△BCD 中,由余弦定理得 2 2 1 CD= BC2+BD2-2BC· BD· cos B= 22+? ?2-2×2× × 3 3 2 2 7 = . 3 2 7 所以 CD 的长为 . 3 DE 6 (2)(方法一)因为 CD=AD= = , sin A 2sin A BC CD 在△BCD 中,由正弦定理得 = , sin ∠BDC sin B 2 6 2 π 又∠BDC=2A,得 = ,解得 cos A= ,所以 A= 即为所求. sin 2A 2sin Asin 60° 2 4 (方法二)在△ABC 中, 2 AC 由正弦定理得 = ,又由已知得,E 为 AC 的中点,所以 AC=2AE, sin A sin B

- 10 -

所以 AE· sin A=sin B=

3 DE sin A ,又 =tan A= , 2 AE cos A

6 2 π cos A,得 cos A= ,所以 A= 即为所求 2 2 4 【思路点拨】 (1)利用三角形的面积公式,求出 BD,再用余弦定理求 CD; (2)先求 CD,在△BCD 中, 所以 AE·sin A=DE·cos A= BC CD 由正弦定理可得 = ,结合∠BDC=2∠A,即可得结论. sin ∠BDC sin B

【数学文卷·2015 届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考(201411) 】12 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则角 A 的大小为__ __ 【知识点】同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦;正弦定理.C2C6 C8 【答案】 【解析】 =

? 6

解析:由 sinB+cosB= 2得 1+2sinBcosB=2,即 sin2B=1,因为 0<B<π ,所以 B

π 2 2 1 .又因为 a= 2,b=2,所以在△ABC 中,由正弦定理得 = ,解得 sinA= .又 a<b,所以 A<B 4 sinA π 2 sin 4



? π ,所以 A= . 4 6
得 1+2sinBcosB=2,即 sin2B=1,根据三角形的内角和定理得到 0<B

【思路点拨】由条件由 sinB+cosB=

<π 得到 B 的度数.利用正弦定理求出 A 即可.

【数学文卷·2015 届江西省赣州市十二县(市)高三上学期期中联考(201411) 】18. (本小题满分 12

分) 在 ?ABC 中, (1)求角 B

sin A ? sin B 2 sin A ? sin C ? sin( A ? B) sin A ? sin B
(2)若 tan A ?

4 ,求 sin C 的值 3

【知识点】余弦定理;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正弦函数。C2 C5 C8 【答案】 【解析】 (1) B ?

?
4

; (2)

7 2 10
?????2 分 ?????4 分

解析:(1) sin 2 A ? sin 2 B ?

2 sin A ? sin C ? sin 2 C ,

? a 2 ? b 2 ? 2ac ? c 2 ,? cos B ?
B ? (0, ? ) ? B ?
(2)

2 2

?
4

?????6 分

4 4 3 tan A ? ,? sin A ? , cos A ? , 3 5 5
- 11 -

?????8 分

? sin C ? sin( A ? B)

? sin A cos B ? cos A sin B
? 7 2 10

?????10 分 ?????12 分

【思路点拨】 (1)原式由正弦定理可化简为 a2 - b2 = 2ac - c2 , 从而由余弦定理可求得 cos B = 而可求角 B; (2)若 tan A =

2 ,从 2

4 ,可先求 sin A , cos A 的值,从而可求 sinC 的值. 3

【数学文卷·2015 届江西省师大附中高三上学期期中考试(201411) 】18. (本小题 12 分) 已知向量 a = ( cos ? x,sin ? x ) , b =( cos?x , 3 cos?x ),

? ? 0 ,函数 f ( x) ? a ? b ?

1 ,其最小正周期为 ? . 2

(1)求函数 f ( x ) 的表达式及单调递增区间; (2)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,S 为其面积,若 f ( ) =1,b=l,S△ABC= 3 ,求 a 的值. 【知识点】向量的数量积 三角函数的性质 解三角形 F3 C3 C8 【答案】 【解析】(1) f ? x ? ? sin ? 2 x ? (2) a ? 13 .

A 2

? ?

??

? ?? ? ? ,单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ; 6? 3 3? ?

1 1 ?? ? ? cos 2 ? x ? 3 sin ? x cos ? x ? ? sin ? 2? x ? ? ,因为最小正周期 2 2 6? ? 2? ? ? ? ?? ? ? ? ,得 ? ? 1 ,所以 f ? x? ? sin? 2x ? ? ,由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 得 为 ? ,所以 2? 2 6 2 6? ? ? ? ? ?? ? k? ? ? x ? k? ? ,所以函数的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ; 3 3 3 3? ? ? ? ? 7? ? ? ?A ? ?? ? ? ? (2) 因 为 f ? , 则 ? ? 1 ,? ?? , , 所 ? 以 A ? ? , A ? ? s i nA ?? ? A 6 2 3 6 6 6 ? ?2 ? ? 6 ? ?
解析:(1) 因为 f ? x ? ? a ? b ?

1 1 b sc i ? nA ? 2 2

? 3 ?1 c ? ,得 ?c=4 3,所以 a ? 1 ? 16 ? 2 ?1? 4 ? cos ? 13 . 2 3

【思路点拨】一般研究与三角相关的函数的性质通常先把函数化成一个角的三角函数再进行解答,再解三 角形中可运用三角形面积公式及余弦定理进行解答.

【数学文卷·2015 届江西省师大附中高三上学期期中考试(201411) 】8. 若 ?ABC 的三个内角 A,B,C 满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 ?ABC ( ) A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形
- 12 -

C. 一定是钝角三角形 【知识点】解三角形 C8

D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

【答案】 【解析】C 解析:因为 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,由正弦定理得 6a=4b=3c,则三角形最大的边

1 2 9 2 2 c ? c ?c a ?b ?c 1 4 16 为 c,又 cosC= ? ? ? ,所以角 C 为钝角,则选 C. 1 3 2ab 2 c? c 2 4
2 2 2

【思路点拨】遇到角的正弦关系,可利用正弦定理把角的关系转化为边的关系,在利用余弦定理判断角的 范围.

14. 在 ?ABC 中,A、B、C 2015 届安徽省 WORD 版】 【数学文卷· “江淮十校” 高三 11 月联考 (201411) 的对边分别为 a、b、c ,若 【知识点】余弦定理 基本不等式 C8 E1 ,则此三角形周长的最大值为________

b2 ? c 2 ? a 2 【答案】 【 解 析 】 6 3 解 析 : 由 余 弦 定 理 可 得 cos A ? ? bc ? b 2 ? c 2 ? 12 , 整 理 可 得 2bc

?b ? c ?

2

b?c? 2 ? 12 ? 3bc ,由不等式可得 ? b ? c ? ? 12 ? 3bc ? 3 ? ? ? 解得 b ? c ? 4 3 ,故三角形周长的最 ? 2 ?

2

大值为 a ? b ? c ? 6 3 . 【 思 路 点 拨 】 根 据 已 知 由 余 弦 定 理 可 得 bc ? b 2 ? c 2 ? 12 , 再 由 不 等 式 可 得

b?c? ? b ? c ? ? 12 ? 3bc ? 3 ? ? ? ,即可得到 b ? c ? 4 3 ,进而求得三角形周长的最大值. ? 2 ?
2

2

14. 在 ?ABC 中,A、B、C 2015 届安徽省 WORD 版】 【数学文卷· “江淮十校” 高三 11 月联考 (201411) 的对边分别为 a、b、c ,若 【知识点】余弦定理 基本不等式 C8 E1 【答案】 【 解 析 】 6 3 解 析 : 由 余 弦 定 理 可 得 cos A ? ,则此三角形周长的最大值为________

b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ? b 2 ? c 2 ? 12 , 整 理 可 得 2bc
2

?b ? c ?

2

b?c? 2 ? 12 ? 3bc ,由不等式可得 ? b ? c ? ? 12 ? 3bc ? 3 ? ? ? 解得 b ? c ? 4 3 ,故三角形周长的最 ? 2 ?

大值为 a ? b ? c ? 6 3 . 【 思 路 点 拨 】 根 据 已 知 由 余 弦 定 理 可 得 bc ? b 2 ? c 2 ? 12 , 再 由 不 等 式 可 得

b?c? ? b ? c ? ? 12 ? 3bc ? 3 ? ? ? ,即可得到 b ? c ? 4 3 ,进而求得三角形周长的最大值. ? 2 ?
2

2

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【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 11 月月考(201411) 】17.(12 分)如图,海上有 A , B两 个小岛相距 10 km , 船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为 60? , 现从船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业,且 OC ? BO .设 AC ? x km 。

10 3 km ,求出 x 的取值; 3 (2)用 x 分别表示 OA2 ? OB 2 和 OA ? OB ,并求出 x 的取值范围.
(1)若 AO=

【知识点】余弦定理;基本不等式;解不等式. 【答案】 【解析】(1)

C8

E3

E6

10 21 x 2 ? 100 x 2 ? 100 ; (2) OA2 ? OB 2 ? , OA ? OB ? 10< x ≤10 3 . 2 2 3 ,

解析: (1)设 OB=m, 在△AOB 中,由余弦定理得: 3m2 ? 3m ? 20 ? 0 ? m ? 中,由余弦定理得:x=

5 3 (负值舍去) , 在△AOC 3

(2)在 ?OAC 中, ?AOC ? 120? , AC ? x , 由余弦定理得, OA2 ? OC 2 ? 2OA ? OC ? cos120? ? x 2 , 又 OC ? BO , 所以 OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos120? ? x 2 ①, ……7 分 在 ?OAB 中, AB ? 10 , ?AOB ? 60? 由余弦定理得, ………9 分 OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos 60? ? 100 ②, 2 x ? 100 ①+②得 OA2 ? OB 2 ? , 2 x 2 ? 100 ①-②得 4OA ? OB ? cos 60? ? x 2 ? 100 ,即 OA ? OB ? ,…………10 分 2 x 2 ? 100 x 2 ? 100 又 OA2 ? OB 2 ≥ 2OA ? OB ,所以 ,即 x 2 ≤ 300 , ≥2? 2 2 2 x ? 100 2 又 OA ? OB ? >0 ,即 x >100 , 所以 10< x ≤10 3 ……………12 分 2 【思路点拨】 (1)依次在△AOB、△AOC 中使用余弦定理,求得 x 值; (2)在△AOB、△AOC 中使用余弦定 理 , 得 两 个 等 式 , 这 两 个 等 式 相 加 、 相 减 , 得 用 x 分 别 表 示 OA2 ? OB 2 和 OA ? OB 的 表 达 式 . 再 由

10 21 . 3

OA2 ? OB 2 ≥ 2OA ? OB , OA ? OB ?

x 2 ? 100 >0 得 x 的取值范围. 2 ,

- 14 -

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