当前位置:首页 >> 高三数学 >>

高中数学教学中的数学情境与提出问题


高中数学教学中的数学情境与提出问题 ——“二项式定理”教学案例
沛县中学
1 教学设计 1.1 教学背景 江苏省沛县中学是一所省级重点中学, 学校对 “数学情境与提出问题” 教学方式十分重视. 笔 者任教的高二(32)班共有学生53人,主要来自农村.多数学生完全依赖于教师的讲解,不 会自学,不敢提问题,也不知怎样提出问题.通过笔者近2个学期的实验教学,多数学生已 比较适应这种新的教学方式,能主动思考,敢于提出自己关心的问题和想法,初步掌握了一 些提问的方法,保守、依赖的个性特征逐步向开放、自主的方向转变. 1.2 教材分析 “二项式定理”是全日制普通高中课程标准实验教科书选修2-3的第一章第五节的主要内容 之一,是初中内容多项式乘法的继续,定理的证明是计数原理的应用及生产、生活实际问题 的重要工具,因此具有广泛的应用价值.本次课是“二项式定理”教学的第一节课,其主要 任务是引入二项式定理,在课型上属于“求解探索性教学课” .因此,做好“二项式定理” 的教学, 不仅能复习巩固旧知识, 使学生掌握新的有用的知识, 体会联系、 发展等辩证观点, 而且能培养学生归纳猜想、抽象概括、演绎证明等理性思维能力。 1.3 设计思路 本节课的教学目标是掌握二项式定理及其通项公式, 利用从特殊到一般的归纳思想, 得到一 类探索性问题的求解方法, 同时深化数学归纳法的应用, 提高学生分析问题和解决问题的能 力。 这是一节求解探索性问题的课型, 这就决定了本节课应该是调动学生积极性, 充分讨论, 积极思考,集思广益,探索方法和结论的过程.所以采用“情境—问题”教学法.笔者具体 做出了如下设计:① 将全班同学分为若干小组,每组7人左右,原则自愿组合,老师适当调 整, 使每组尽可能具备讨论问题氛围基础; 创设一个数学问题情境作为提出问题的背景; ② ③做好相应的多媒体演示课件,根据教学情况之需适时演示.在上课的第一步,通过介绍杨 辉三角的话题, 借此具有感染力的事例调节课堂气氛, 同时埋下归纳猜想这一探索真理重要 方法的伏笔.关键之二,是使情境、问题形成锁链,相互孕育,有序展开。 2 教学过程 2.1问题情境

李伟

教师:今天是星期三,下年的今天是星期几? 学生:星期四 教师:很好,那再过 2 2 oo1 天是星期几? 学生抓耳挠腮,不知如何下手 教师:求 1.002 的近似值,精确到0.001,怎么求? 学生议论纷纷:要是计算也能算,就是太麻烦,肯定有什么简单方法? 教师:要想尽快的解决上述问题,需要用二项式定理来解决,接下来我们共同研究二项式定 理。 2.2 学生活动 通过课件展示,由多项式的四则运算,师生共同完成下列问题:
20

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4
教师:请各组展开讨论,怎样写出 ( a + b) n ( n ∈ N ? ) 的展开式? 学生1:各个展开项之间肯定有规律可循,为了更好的找到规律应该把 a + b = a + b 补上。 学生2:展开式的每一项确定下来,展开式就确定下来了,展开式的每一项如何确定呢? 各小组纷纷赞同,并展开讨论、踊跃发言提出了各自的疑问及想法,综合起来大致归为如下 几点: (1)各项都有a、b或a,b共同构成 (2)多项式每一项的次数都一样 (3)字母a按降幂排列,字母b按升幂排列 进而得到猜想:

(a + b) n = _ a n + _ a n ?1b + _ a n ?2b 2 + ? ? ? + _ a n ?r b r + ? ? ? + _ b n
老师:很好,那么上述猜想中各项系数如何确定呢? 学生1:每一个多项式首项和末项系数都是1,中间各项系数不一样 学生2:肯定也有规律,还要找规律,应该还是从简单入手, 教师:对,那我们现在就从最简单的着手来看一下,各个项系数究竟怎样来的。 2.3建构数学 通过多媒体的展示,引导学生从简单的、特殊情况下的展开式中的项是怎样得的进行探讨:

( a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
教师: 上述展开式中的每一项都是从两个括号中各取一个字母的乘积, 所有可能性之和构成 多项式,然后再合并同类项而得到的。 学生纷纷陷入沉思...

(a + b)3 = ( a + b )( a + b )( a + b ) = ( a 2 + ab + ba + b 2 )( a + b ) = a 3 + a 2 b + a 2 b + ab 2 + b 2 a + b 2 a + b 2 a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
学生1:上述展开式中的每一项也都是从三个括号中各取一个字母的乘积,所有可能性之和 构成多项式,然后再合并同类项而得到的。 学生哗然:那 ( a + b) n 其展开式也应该是从每一个括号里各取一个字母的所有可能乘积的 和。 各小组展开讨论、踊跃发言提出了各自的疑问及想法,综合起来大致归为如下几点: (1) ( a + b) n 展开后不合并同类项有多少项? (2)合并后有多少项? (3)没有合并前每一项系数都是1, 而合并后每一项系数就是没合并前这项出现的个数, 即 得到这个项系数的方法数 (4)得到一个项:如 a
n ?1

b , a n? 2b 2 , a n ? r b r 等可以用排列组合的方法
n?r

学生1:类比n=2,n=3, ( a + b) n 的展开项都具有 a

b r (r=0,1....n)的形式。其系数就是

在 (a + b)( a + b) ? ? ? ( a + b) 的n个括号中选r个取b的方法总数。 学生2: 具体的说, 每一个不取b的情况有1种, 所以 a 的系数是 cn ; 恰有一个取b的情况有 cn 种,所以 a
n ?1 2 2 b 的系数是 c1 ;恰有2个取b的情况有 cn 种,所以 a n ? 2b 2 的系数是 cn 。 n
n

0

1

学生3:由此,每一项前的系数我们都可以确定下来了。 教师:很好,我们把它用式子表示出来,即:

0 2 r n (a + b) n = cn a n + c1 a n ?1b + cn a n? 2b 2 + ? ? ? + cn a n ? r b r + ? ? ? + cn b n n

这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做 ( a + b) n 的二项展开式,它一共有n+1项, 其中 cn a
r n?r

b r 叫做二项展开式的第r+1项
r n?r

(也称通项) ,用 Tr +1 表示,即: Tr +1 = cn a
r cn (r=0,1...n)项的二项式系数。

br

2.4 数学应用 多媒体展示例1,各小组迅速派出代表,利用二项式定理展开下列各式: (1) ( a ? b) 6 (2) (1 + )

1 x

4

(3) (1 + 2 x + x 2 ) 3 (4) (1 + x + x 2 ) 3 学生1:第2小题可以利用公式直接展开,但有分式,若直接利用展开计算麻烦,可以将式子 变形为

1 4 ( x + 1) ,再利用公式展开。 x4

学生2:第3题将式子直接变形为 (1 + x ) 6 ,再利用公式直接展开。 学生3:第4题不好变形,可以让其中两项看作一项,利用公式展开再化简即可。 多媒体展示例2:求 (1 + 2 x ) 7 的展式开中第4项的二项式系数和系数。 注意区分2个概念,二项式系数、系数是两个不同的概念。 多媒体展示例3:求 ( x ? 2.5总结反思 学生讨论,教师总结: 二项展开式的特征: (1)有n+1项 (2)每一项次数都是n (3)字母a按降幂排列,次数从n到0;字母b按升幂排列,次数从0到n; (4)各项系数依次为 cn , cn , cn ,... cn
0 1 2
n

1 7 ) 二项展开式中的常数项。 2x

通项的特征: (1)通项是第r+1项,而不是r项 (2)字母b指数与其组合数上标相同,a,b指数之和为n 教师:看下面一个图表,当n依次取0,1,2,3...时, ( a + b) n 展开式的二项式系数即为表 格所示

教师:类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》一书里就已 经出现了,这个表称为杨辉三角。在书中,还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩 上两个数的和,杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11 世纪)已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲,这个表被认为是法国数 学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说,杨辉三 角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我国数学家的成就是非常值得中华民族自豪的。 3 教学反思 结合评课及学生学习效果反馈情况,进行认真思考,形成以下认识: (1)课堂气氛活跃.整堂课学生们自始至终保持了较高的讨论思考问题的兴趣和热情,显 示了学生学习的积极性和自信心,奠定了实现课堂教学目标的良好基础. ,教师立足于所创 设的情境,通过学生自主探索、合作交流,亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过 程,知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实.为今后的“定理教学”提供了一 些有用的借鉴. (2)由于课堂民主和谐气氛贯穿始终,同学们讨论思考非常积极,思维明显活跃,不仅对 老师预期的问题展开了充分讨论,实现了预期目标,而且有的同学还提出了其它解法.这在 传统教学中,会因“不符本堂课主题”被忽视,客观上打击了学生的思维热情,造成学生不 敢游离老师的既定思维半步,而只能枯燥地接受老师的填鸭,久而久之,学生便失去了数学 学习的兴趣和能力;而在今天的课堂上,这种积极活跃的思维品质,得到充分肯定.同学们

可以围绕要解决的课题,积极思维,提出自己的见解,在广泛的讨论交流比较中,提高分析 问题和解决问题的能力. (3)在高中阶段,怎样处理培养数学思想与解题训练的关系是一个值得探讨的问题.多年 的应试教育,形成了高中数学课的“概念、 例题、训练”机械化填鸭模式,认为由于时间紧,老师争分夺秒不厌其烦地讲个不停,而学 生囫囵吞枣,死记硬背.生搬硬套老师灌输的知识、技巧、题型等内容.看起来,每节课的 容量大,但这些知识、技巧、题型的存在背景、来龙去脉,彼此间的相互关系,很多学生没 有精力和时间去消化,其结果,熟悉的内容得高分,不熟的内容得0 分.在本案例中,师生 围绕知识的发生发展过程,展开了充分的讨论,学生在质疑、讨论、评价、总结的过程中, 形成了自己的数学思想方法,更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力,开发了学生的智慧 源泉,实现了举一反三、触类旁通的效果. (4)3 个练习题,老师没有做任何提示,原则上由各自独立完成,结果与预期相吻合.在 几分钟的时间里,同学们几乎都能够利用公式,顺利地得出结论.但在具体的数学应用过程 中,个别同学遇到计算上的困难,有的时候通过等价变形可以简化运算。 (5)对陪养数学情感的体会:激励学生的民族自豪感和为国富民强而奋发的学习热情。这 将对国家倡导的“大力弘扬民族精神”有深远的意义.


相关文章:
我国高中数学课堂教学过程的演变与评析
高中数学教学设计大赛中 72页 免费 高中数学在教学设计大赛上... 64页 免费 ...1 2.1 整体概况 .我们选择“五环节”“创设情境”“提出问题”“学生探究”...
高中数学必修1
高中数学必修1_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 1“函数单调性”的教与...解决问题的能力 2、重视学生的学习过程,在教学中注重培养学生独立思考、相 互...
中职数学课堂中教与学的双重主体性
中职数学课堂中教与学的双重主体性_数学_高中教育_教育专区。教学是教师与学生...本课案例的教学过程包括:创设情境提出问题→大胆猜测→探索 研究→几何解释→...
§1 从位移、速度、力到向量_高一数学_数学_高中教...
教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 回顾在现实世界中,我们遇到 从物理学中, 由教师设 通过问题情境 的量有两类.一类如长度、 面积、 学习过的 “位置的问题...
变量与函数说课稿
函数这一章在高中数学中,起着承上启下的作用,它...确定此教学目标体现了“知识与能力、过程与方法、...另 一方面,依据本节为概念学习的特点,以问题的提出...
积极构建符合高中教育规律的教科研制度
教学过程中, 教师针对不同层次学生的知识基础与个性...把握关键,规划教学流程,创设问题情境,精 心设计教案...数学、英语等 13 门 学科的教研组长和备课组长参加...
教学内容的确定
初中语文和高中语文, 高一语文和高二语文,课堂教学...为什么学生在数学、物理、 化学等学科的学习中更容易...进入诗歌的情境,感受古代社会生活与古人的情感世界,...
葫芦岛市小学语文教学常规实施要求
教学活动主要应在具体的交际情境中进行。努力贴近生活...葫芦岛市小学数学教学常... 6页 5下载券 葫芦岛...葫芦岛市高中信息技术教... 暂无评价 9页 5下载...
XX高考数学复习知识点
XX高考数学复习知识点_高考_高中教育_教育专区。XX 过通。 节环践要币常非一...数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.能在具体的 问题情境中,识别数列的...
更多相关标签: