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多角度分析,“最”能解决二次函数难题

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 多角度分析,“最”能解决二次函数难题 作者:郑小雨 来源:《新课程· 教师》2016 年第 08 期 摘 要:二次函数是初中数学学习的重点与难点,是各类考卷中的必考题型。身为教师, 通过思路清晰、综合有效的教学使学生掌握这部分知识内容是教师的重要使命。根据多年的教 学经验,浅谈几点有效解决二次函数求最值问题,提高学生学习效果的教学策略,具有一定的 参考意义。 关键词:初中数学;二次函数;多角度;区间 二次函数求最值类的问题千变万化,然而只要掌握一定的技巧,学会多角度分析,定能找 到解题思路,以不变应万变,顺利解决难题。本文以二次函数求最值问题的题型为基础,进行 了解题模式的探讨。 一、确定区间,结合图象性质 数形结合是解决数学问题的有力武器,在解决二次函数求最值的问题中也不例外,通过结 合图象性质,快速准确地确定区间,开辟出解题思路。 1.定轴定区间,直接判断 当二次函数所给的函数区间固定,对称轴固定时,我们可以通过做出函数图形,清晰直观 地判断和计算出函数的最值。这类题型比较简单,所以我在教学中,主要教会大家准确地做出 函数图形,从而解决问题。 比如,对于定轴定区间函数求最值问题:求函数 y=-x2+4x-3 在区间[1,4]的最大值及最小 值。首先我们分析二次函数的表达式,二次项系数小于零,说明函数图象开口向下,函数的对 称轴为 x==2。然后我们根据区间范围,函数的对称轴,开口方向可以做出该二次函数的草 图。通过观察这一函数的图象,我们可以得出二次函数的最大值应在对称轴处取得,二次函数 的最小值在端点 x=4 处取得,通过将 x 轴的坐标轴代入函数表达式,即可求出相应的最大值与 最小值,从而得解。 讲完例题后我向学生强调了这类题型的易错点。定轴定区间类的二次函数求最值问题相对 来说是最简单的求最值问题,然而学生因为粗心大意也会发生错误,比如画错开口方向,大家 一定要记住二次项系数大于零开口向上,二次项系数小于零开口向下。然后端点处和对称轴处 的函数值只要将对应的 x 值代入函数表达式,便可准确地求出,进而做出函数图象。 在这部分知识的教学中,我通过强调做函数图象的细节,引导学生在做题时通过直接地观 察,准确地得到最值,提高了课堂的效率。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 2.定轴动区间,相对位置 定轴动区间类的二次函数其对称轴确定,然而闭区间是不确定的。这类问题考查的是对称 轴与函数区间的相对位置关系,当函数区间发生变化时,随着与对称轴的相对位置发生变化, 函数的最值也可能会发生变化,所以学生要掌握分类讨论的思想,讨论不同情况下的函数最 值。 例如,求函数 y=x2+2x-1 在区间[t,t+2]上的最大值与最小值。这道题的类型属于定轴动 区间类问题,首先我们确定函数的对称轴为 x=-1。随着 t 的取值不同,我们发现可以将这一问 题分为三种情况进行讨论,一是当对称轴位于区间[t,t+2]的函数右侧时,二是当对称轴位于 区间[t,t+2]的函数内时,三是当对称轴位于区间[t,t+2]的函数的左侧时,进而可以将 t 的值 也划分为三个范围进行讨论。在第一种情况下,t+2-3 时,二次函数在 x=t 处取得最小值 t2+2t1,为在 x=t+2 处取得最大值(t+2)2+2(t+2)-1。 在上述例题的教学中,我通过引导学生进行分类讨论,将问题分为各种情况然后求出最 值,思路清晰,条理明确,能够完整准确地确定该类二次函数的最值,取得了很好的教学效 果。 3.定区间动轴,考虑变量 对于定区间动轴类的二次函数问题,由于区间固定而对称轴不确定,因此函数的最值也会 随着对称轴与区间的相对位置变化而发生变化,因此解决这类问题同样需要进行分类讨论,与 定轴动区间类最值问题相似。 例如,求二次函数 y=x2-ax+1 在区间[0,2]上的最小值。我引导学生依照定轴动区间问题 的求解思路,将该问题分成三种情况进行讨论。通过计算,可得到二次函数对称轴为 x=,当 区间范围内的函数位于对称轴左侧时,即 a>4 时,函数在区间[0,2]内是单调递减的,因此二 次函数在 x=2 处取得最小值,为 5-2a。当对称轴包含在区间范围内的函数时,即 0≤a≤4,由于 该二次函数开口向上,所以在对称轴处取得最小值,为-+1。分析到这一步的时候我向学生强 调了求最大值的做法,这道题仅让求最小值,而恰好对称轴处为最小值,若这道题还要求求出 最大值的话,学生也应按照定轴动区间类问题中这种情况下的解题思路再次进行分类讨论。当 区间范围内的函数位于对称轴右侧时,即 a>0 时,函数在区间[0,2]内是单调递增的,因此, 二次函数在 x=0 处求得最小值 1。 在上述问题的教学中,我通过引导学生利用定轴动区间类最值问题的求解技巧与思路,顺 利地探求出动轴定区间类问题的求解方法,通过这样类比与分类的讨论思想,让学生成功地理 解与学会了这部分数学知识,高效地完成了教学目标。 二次函数的对称轴位置、函数区间都会对二次函数的最值造成影响,学生在解题时,一定 要看清题目对对称轴和区间的要求,多角度分析问题,采取正确的解题策略。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 二、含有系数,字母视为常数 有时求最值问题所给的二次函数的系数是用字母表示的,对于这类问题的求解方法是将字 母视为常数,并根据字母所表示的系数的位置不同,可能需要进行分类讨论。 二次函数的表达式可写作 y=ax2+bx+c,当所给函数的常数项用字母表示时,自然将其视 为常数处理。例如,求二次函数 y=x2+2x+a 在区间[0,1]上的最大值。二次函数在[0,1]上单 调递增,x=1 时函数的最大值为 3+a。当所给函数的一次项系数用字母表示时,这类问题就是 上述所讲的动轴定区间类问题,将字母视为常数,再结合自变量的范围,按照分类讨论的思想 进行求解。当所给函数的二次项系数用字母

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