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多角度分析,“最”能解决二次函数难题


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 多角度分析,“最”能解决二次函数难题 作者:郑小雨 来源:《新课程· 教师》2016 年第 08 期 摘 要:二次函数是初中数学学习的重点与难点,是各类考卷中的必考题型。身为教师, 通过思路清晰、综合有效的教学使学生掌握这部分知识内容是教师的重要使命。根据多年的教 学经验,浅谈几点有效解决二次函数求最值问题,提高学生学习效果的教学策略,具有一定的 参考意义。 关键词:初中数学;二次函数;多角度;区间 二次函数求最值类的问题千变万化,然而只要掌握一定的技巧,学会多角度分析,定能找 到解题思路,以不变应万变,顺利解决难题。本文以二次函数求最值问题的题型为基础,进行 了解题模式的探讨。 一、确定区间,结合图象性质 数形结合是解决数学问题的有力武器,在解决二次函数求最值的问题中也不例外,通过结 合图象性质,快速准确地确定区间,开辟出解题思路。 1.定轴定区间,直接判断 当二次函数所给的函数区间固定,对称轴固定时,我们可以通过做出函数图形,清晰直观 地判断和计算出函数的最值。这类题型比较简单,所以我在教学中,主要教会大家准确地做出 函数图形,从而解决问题。 比如,对于定轴定区间函数求最值问题:求函数 y=-x2+4x-3 在区间[1,4]的最大值及最小 值。首先我们分析二次函数的表达式,二次项系数小于零,说明函数图象开口向下,函数的对 称轴为 x==2。然后我们根据区间范围,函数的对称轴,开口方向可以做出该二次函数的草 图。通过观察这一函数的图象,我们可以得出二次函数的最大值应在对称轴处取得,二次函数 的最小值在端点 x=4 处取得,通过将 x 轴的坐标轴代入函数表达式,即可求出相应的最大值与 最小值,从而得解。 讲完例题后我向学生强调了这类题型的易错点。定轴定区间类的二次函数求最值问题相对 来说是最简单的求最值问题,然而学生因为粗心大意也会发生错误,比如画错开口方向,大家 一定要记住二次项系数大于零开口向上,二次项系数小于零开口向下。然后端点处和对称轴处 的函数值只要将对应的 x 值代入函数表达式,便可准确地求出,进而做出函数图象。 在这部分知识的教学中,我通过强调做函数图象的细节,引导学生在做题时通过直接地观 察,准确地得到最值,提高了课堂的效率。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 2.定轴动区间,相对位置 定轴动区间类的二次函数其对称轴确定,然而闭区间是不确定的。这类问题考查的是对称 轴与函数区间的相对位置关系,当函数区间发生变化时,随着与对称轴的相对位置发生变化, 函数的最值也可能会发生变化,所以学生要掌握分类讨论的思想,讨论不同情况下的函数最 值。 例如,求函数 y=x2+2x-1 在区间[t,t+2]上的最大值与最小值。这道题的类型属于定轴动 区间类问题,首先我们确定函数的对称轴为 x=-1。随着 t 的取值不同,我们发现可以将这一问 题分为三种情况进行讨论,一是当对称轴位于区间[t,t+2]的函数右侧时,二是当对称轴位于 区间[t,t+2]的函数内时,三是当对称轴位于区间[t,t+2]的函数的左侧时,进而可以将 t 的值 也划分为三个范围进行讨论。在第一种情况下,t+2-3 时,二次函数在 x=t 处取得最小值 t2+2t1,为在 x=t+2 处取得最大值(t+2)2+2(t+2)-1。 在上述例题的教学中,我通过引导学生进行分类讨论,将问题分为各种情况然后求出最 值,思路清晰,条理明确,能够完整准确地确定该类二次函数的最值,取得了很好的教学效 果。

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