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广东省实验中学2013-2014学年高一上学期期中模块数学试卷 Word版含答案


广东实验中学 2013—2014 学年(上)高一级模块考试


注意事项:



本试卷分基础检测与能力检测两部分,共 4 页.满分为 150 分。考试用时 120 分钟.

1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上, 并用 2B 铅笔填涂学号. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液.不按以上要求作答的答案无效.

第一部分 基础检测(共 100 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 U ? ? 1,2,3,4?, A ? ? 1,3,4?, B ? ?2,3,4? ,那么 CU ( A ? B) ? ( A. ? 1,2? B. ? 1,2,3,4? C. ? D. ? ?? )

2.给定映射 fA→B:(x,y)→(2x,lg(y2+1)),在映射 f 下 A 中与 B 中元素(1,0)的对应元素 为( .... A. (0, 0) B. (2,lg3) C. (0,3) D. (2, 0)

)

3.下列幂函数中过点 (0,0) , (1,1) 的偶函数是(
1


1

A. y ? x 2

B. y ? x

4

C. y ? x

?2

D. y ? x 3

4.已知 3 ? 2 ,则 2 log3 6 ? log3 8 等于(
a

)Ks5u C. 2 ? 5 a D. a ? 3a
2

A. 2 ? a

B. a ? a ? 1
2

5.若 x0 是方程 lnx + x = 3 的解,则 x0 属于区间( A.(0,1) B.(1,2)

) C.(2,3)

D.(3,4)

ln x ln x 6.若 x ? e ?1 , 1 , a ? ln x , b ? ( ) , c ? e ,则( )

?

?

A. c ? b ? a

1 2 B. b ? a ? c

C. a ? b ? c

D. b ? c ? a

? 1 x ( ? ), x ? ?? 1,0? 7.若函数 f ( x) ? ? 4 ,则 f (log4 3) ? ( ?4 x , x ? ?0,1? ?
A.



1 3

B. 3

C.

1 4

D. 4

8.对于函数 f (x) 中任意的 x1、x2(x1≠x2)有如下结论: ① f (x1· x2) = f (x1) + f (x2); 1 ③ f (-x1) = f (x ) ; 1
x 1

② f (x1 + x2) = f (x1)· f (x2); f (x1) -1 ④ < 0 (x1 ≠ 0); x ) C.4 个 D.5 个 f (x1)-f (x2) ⑤ > 0. x1-x2

当 f (x) = 2 时,上述结论中正确结论的个数是( A.2 个 B.3 个

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分. 9.函数 f ( x) ?

3x 2 1? x
x

? lg(3x ? 1) 的定义域是___________. Ks5u
x ?1

10.函数 f ( x) ? 4 ? 2

? 2?( x ? 0) 的值域是

11.已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? 2 ,则 f ( x ) = 12.若直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? | x | ?a 有四个交点,则实数 a 的取值范围是
2

.

三、解答题:本大题共 3 小题,每项小题 12 分,共 36 分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 13.化简或求值: (本小题满分 12 分)
2 ? 27 ? 2 49 0.5 2 3 ? ( ) ? (0.008) 3 ? (1) ( ) 8 9 25

(2)计算

lg 5 ? lg 8000 ? (lg 2 3 ) 2 . 1 1 lg 600 ? lg 36 ? lg 0.01 2 2

14. (本小题满分 12 分) 已 知 全 .集 . U ? {x | x ? 0} , 集 合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? , B ? ?x | 2 ? x ? 10? ,

C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?.
(1) 求 A ? B , ? CU A?

B;

(2) 若 C ? ? A ? B ?,求 a 的取值范围.

15. (本小题满分 12 分)

? 2x ? a ( a , b 为实常数) 。 2 x ?1 ? b (1)当 a ? b ? 1 时,证明:① f ( x) 不是奇函数;
设 f ( x) ? ② f ( x ) 是 R 上的单调递增函数。 (2)设 f ( x) 是奇函数,求 a 与 b 的值。

第二部分 能力检测(共 50 分)
四、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 16.已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,则 当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ? .

?log 1 ? x ? 1? , x ? ? 0,1? ? 2 17 . 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? , 当 x ≥ 0 时 , f ? x ? ? ? ,则方程 ? ?1 ? x ? 3 , x ? ?1, ?? ?

f ? x? ?

1 的所有解之和为 2



五、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 13 分) 设 不 等 式 2(log 1 x)2 ? 3log 1 x ? 1 ? 0 的 解 集 为 M , 求 当 x∈ M 时 函 数
2 2

x x f ( x) ? (log 2 )(log 2 ) 的最大、最小值. 2 8

19. (本题满分 13 分) 定 义 在 (? 1 , 1 上 ) 的 函 数 f ( x) 满 足 : ①对 任 意 x , y ? (?1,1) 都 有 :

x? y 当 x ? (?1, 0) 时, f ( x) ? 0 ,回答下列问题. f ( x) ? f ( y ) ? f ( ); ② 1 ? xy
(1)证明:函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上的图像关于原点对称; (2)判断函数 f ( x) 在 (0,1) 上的单调性,并说明理由. (3)证明: f ( ) ? f (

1 7

1 )? 13

? f(

1 1 ) ? f ( ) , (n ? Z ) 。 n ? 3n ? 3 2
2

20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? kx ? log4 (4x ? 1), k ? R) 是偶函数. (1)求 k 的值; (2)证明:对任意实数 b ,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? (3)设 g ( x) ? log 4 ( a ? 2 ?
x

1 x ? b 最多只有一个交点; 2

4 a), 若函数 f ( x)与g ( x) 的图像有且只有一个公共点,求实数 3

a 的取值范围.

广东实验中学 2013—2014 学年高一级模块考试

数学参考答案 第一部分 基础检测(共 100 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1~8 C A B A C D B B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分. 9. ( ? ,1)

1 3

10. (2,5]

11. f ( x ) = x ? 4 x ? 5
2

12. (1, ) .

5 4

三、解答题:本大题共 3 小题,每项小题 12 分,共 36 分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 13.化简或求值: (本小题满分 12 分)
2 ? 27 ? 2 49 0.5 2 3 ? ( ) ? (0.008) 3 ? (1) ( ) 8 9 25

(2)计算

lg 5 ? lg 8000 ? (lg 2 3 ) 2 . 1 1 lg 600 ? lg 36 ? lg 0.01 2 2
2 1 2

8 49 1000 3 2 解: (1)原式= ( ) 3 ? ( ) 2 ? ( ) ? 27 9 8 25
? 4 7 2 17 1 ? ? 25 ? ?? ?2? 9 3 25 9 9
2

………………………………3 分 ………………………………6 分

(2)分子= lg 5(3 ? 3 lg 2) ? 3(lg 2) ? 3 lg 5 ? 3 lg 2(lg 5 ? lg 2) ? 3;…9 分 分母= (lg 6 ? 2) ? lg 6 ? 1 ? 3 ;

? 原式= 1 . …………………………Ks5u………………12 分
14( (本小题满分 12 分) 已 知 全 .集 . U ? {x | x ? 0} , 集 合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? , B ? ?x | 2 ? x ? 10? ,

C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?.

(1) 求 A ? B , ? CU A?

B;

(2) 若 C ? ? A ? B ?,求 a 的取值范围. 解:1) A

B ? {x | 2 ? x ? 10} ;……………………………3 分

CU A ? {x | 0 ? x ? 3或x ? 7} ……………………………4 分

?CU A?

B ? {x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10} ……………………………6 分

5 ………………………8 分 2 5 ②若 C 不是空集,则 2 ? 5 ? a ? a ? 10 ,解得: ? a ? 3 ………11 分 2 综上所述, a ? 3 ………………………12 分
2)①若 C 为空集,则 5 ? a ? a ,解得: a ?

15. (本小题满分 12 分)

? 2x ? a ( a , b 为实常数) 。 2 x ?1 ? b (1)当 a ? b ? 1 时,证明:① f ( x) 不是奇函数;
设 f ( x) ? ② f ( x ) 是 R 上的单调递减函数。 (2)设 f ( x) 是奇函数,求 a 与 b 的值。

? ?1 ? 2x ?1 ? 2 ?1 1 1 ? ? , f (?1) ? 2 15 解: (1)① f ( x) ? x ?1 , f (1) ? 2 ? , 5 2 ?1 2 ?1 2 4
所以 f (?1) ? ? f (1) , f ( x) 不是奇函数; ②设 x2 ? x1 ,则 f ( x2 ) ? ……………2 分

1

1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 , f ( x ) ? ……………3 分 1 1 ? 2 x2 ?1 1 ? 2 x1 ?1

1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 (1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ?1 ) ? (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ?1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? 1 ? 2x2 ?1 1 ? 2 x1 ?1 (1 ? 2 x2 ?1 )(1 ? 2 x1 ?1 ) ? 3(2 x1 ? 2 x2 ) (1 ? 2 x2 ?1 )(1 ? 2 x2 ?1 )
x x

……………5 分

x ?1 x ?1 因为 x2 ? x1 ,所以 2 1 ? 2 2 ? 0 ,又因为 (1 ? 2 1 )(1 ? 2 2 ) ? 0 ,

所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 所以 f ( x ) 是 R 上的单调递减函数。

……………6 分 Ks5u ……………7 分

(2) f ( x) 是奇函数时, f (? x) ? ? f ( x) , 即

? 2?x ? a ? 2x ? a 对任意实数 x 成立, ? ? 2 ? x ?1 ? b 2 x ?1 ? b
2x

化简整理得 (2a ? b) ? 2

? (2ab ? 4) ? 2 x ? (2a ? b) ? 0 ,这是关于 x 的恒等式,
……………10 分

所以 ?

?a ? ?1 ?a ? 1 ?2a ? b ? 0, 所以 ? 或? 。 ?b ? ?2 ?b ? 2 ?2ab ? 4 ? 0

……………12 分 ……………8 分 ……………9 分 ……………10 分

(2)另解:若 b ? 0 ,则由 f (0) ? 0 ,得 a ? 1 由 f (?1) ? ? f (1) ,解得: b ? 2 ; 经检验符合题意。 若 b ? 0 ,则由 2
x ?1

? b ? 0 ,得 x ? log2 (?b) ? 1,因为奇函数的定义域关于原点对称,
……………11 分

所以 log2 (?b) ?1 ? 0 ,所以 b ? ?2 , 由 f (?1) ? ? f (1) ,解得: a ? ?1 ; 经检验符合题意。 所以 ?

?a ? ?1 ?a ? 1 或? 。 ?b ? ?2 ?b ? 2

……………12 分

第二部分 能力检测(共 50 分)
四、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 16. ? x ? x .
4

17. 1 ? 2 .

五、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 13 分) 设 不 等 式 2(log 1 x)2 ? 3log 1 x ? 1 ? 0 的 解 集 为 M , 求 当 x ∈ M 时 函 数
2 2

x x f ( x) ? (log 2 )(log 2 ) 的最大、最小值. 2 8 2 解:由 2(log 1 x) ? 3log 1 x ? 1 ? 0 得 (2log 1 x ? 1)(log 1 x ? 1) ? 0 ,……………2 分
2 2
2 2

解得:

1 ? log 1 x ? 1 , 2 2

…Ks5u…4 分

所以

1 2 ?x? , 2 2

……………5 分

所以 M ? [ 2, 2]

……………6 分

x x f ( x) ? (log 2 )(log 2 ) = (log2 x)2 ? 4log2 x ? 3 ……………8 分 2 8 1 令 t ? log2 x, ,则 t ? [?1, ? ] ……………9 分 2 1 所以 y ? (t ? 2)2 ? 1 在 t ? [?1, ? ] 上单调递减, ……………10 分 2 1 21 所以当 t ? ? 时取最小值为 ,当 t ? ?1 取最大值为 8……………13 分。 2 4

19.(本题满分 13 分)

) 的 函 数 f ( x) 满 足 : ① 对 任 意 x , y ? (?1,1) 都 有 : 定 义 在 (? 1 , 1上

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) ; ②当 x ? (?1, 0) 时, f ( x) ? 0 ,回答下列问题. 1 ? xy
(1)证明:函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上的图像关于原点对称; (2)判断函数 f ( x) 在 (0,1) 上的单调性,并说明理由. (3)证明: f ( ) ? f (

1 7

1 )? 13

? f(

1 1 ) ? f ( ) , (n ? Z ) 。 n ? 3n ? 3 2
2

19 解: (1)令 x ? y ? 0 ? f (0) ? 0 ,令 y ? ? x ,则 f ( x) ? f (? x) ? 0 ? f (? x)

? ? f ( x) ? f ( x) 在 (?1,1) 上是奇函数.………………4 分
(2)设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f (

x1 ? x2 ) ,…………6 分 1 ? x1 x2

而 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? x1 x2 ? 0 ?

x1 ? x2 x ?x ? 0 ? f ( 1 2 ) ? 0 .………………7 分 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2

即当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴f(x)在(0,1)上单调递减.………………8 分

1 1 1 (n ? 1)(n ? 2) ) ? f[ ]? f[ ] (3) f ( 2 1 n ? 3n ? 3 (n ? 1)(n ? 2) ? 1 1? (n ? 1)(n ? 2)

1 1 ? 1 1 1 1 ? f [ n ?1 n ? 2 ] ? f ( ) ? f (? )? f( )? f ( ) 1 1 n ? 1 n ? 2 n ? 1 n ? 2 1? (? ) n ?1 n ? 2 1 1 1 ? f ( )? f ( )? ? f ( 2 ) 7 13 n ? 3n ? 3 1 1 1 1 1 1 ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? [ f ( )? f( )] 2 3 3 4 n ?1 n?2 1 1 ? f ( )? f ( ) 2 n?2 1 1 0? ? 1, 且f ( x)在(0,1)单减, ?f( ) ? f (0) ? 0 n?2 n?2 1 1 1 ? f ( )? f ( )? f( ) 2 n?2 2 1 1 1 1 ? f ( )? f ( )? ? f ( 2 ) ? f ( ) ………………13 分 7 13 n ? 3n ? 3 2
20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? kx ? log4 (4x ? 1), k ? R) 是偶函数. (1)求 k 的值; (2)证明:对任意实数 b ,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? (3)设 g ( x) ? log 4 ( a ? 2 ?
x

1 x ? b 最多只有一个交点; 2

4 a), 若函数 f ( x)与g ( x) 的图像有且只有一个公共点,求实数 3
1 2 1 满足题意;………2 分 2

a 的取值范围.
解: (1)由 f (?1) ? f (1)得 : k ? ? . 经检验的 k ? ?

1 ? x y ? log ( 4 ? 1 ) ? x 4 ? ? 2 最多只有一组解 . (2)证明: 即证方程组? 1 ?y ? x ? b ? 2 ?

Ks5u

? 即证方程: 4 x ? 1 ? 4 x?b 最多只有一个实根 .
下面用反证法证明: 假设上述方程有两个不同的解 x1 , x2 ( x1 ? x2 ). 则有:

………4 分

x x ?b ? ?4 1 ? 1 ? 4 1 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 b (4 x1 ? 4 x2 ) ? b ? 0 .但 b ? 0时,4 x ? 1 ? 4 x 不成立. ? x2 x2 ? b ? ?4 ? 1 ? 4

故假设不成立.从而结论成立. ………7 分

(3)问题转化为方程: (a ? 1) ? (2 ) ?
x 2

4 a ? 2 x ? 1 ? 0只有唯一解 . 3

………9 分



4 t ? 2 x , 则可化为关于 t的方程 : (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0(t ? 0)只有唯一正根 . ………10 3


4 x ? 2 ? 1 ? 0 ,无解.故 a ? 1. ………11 分 3 ?1 ? 0 ? a ? 1 . 此 时 方 程 (*) 有 唯 一正 根 , 满 足 条 若 二 次 方 程 (*) 两 根 异 号 , 即 a ?1
若 a ? 1 ,则上述方程变为 ? 件; ………12 分
? ? ? 若二次方程(*)两根相等且为正,则 ?? ? 0 ? ?1 ?0 ? a ? ?3. ? ? a ?1 4 ? ? ?3a ?0 ?? ? 2(a ? 1)

………13 分

故 a 的取值范围是: a a ? ?3或a ? 1 .

?

?

………14 分

Ks5u


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